Bài 1 [trang 121 SGK Giải tích 12]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a] y = x2;y = x + 2
b] y =|lnx|; y = 1
c] y = [x - 6]2; y = 6x - x2
Lời giải:
a] Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình :
x2 = x + 2 ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔
Vậy diện tích cần tìm là:
b] Hoành độ giao điểm hai đồ thị là nghiệm của pt :
Vậy diện tích cần tìm là:
[Vì lnx > 0 khi 1 < x < e và lnx < 0 khi
c] Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của pt :
[x - 6]2 = 6x - x2
⇔ [x – 6]2 + x2 – 6x = 0
⇔ [x - 6]. [x - 6+ x] = 0
⇔ [x - 6][2x - 6] = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 6
Vậy diện tích cần tìm là:
Kiến thức áp dụng
+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f[x] ; y = g[x] và hai đường thẳng x = a ; x = b là :
a] \[y={{x}^{2}},\,y=x+2\];
b] \[y=\left| \ln x \right|,\,y=1\];
c] \[y={{\left[ x-6 \right]}^{2}},\,y=6x-{{x}^{2}}\].
Hướng dẫn: Muốn tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong \[f_1[x]\,\text{và}\,f_2[x]\] ta làm như sau:
Tìm nghiệm của phương trình \[f_1[x]-f_2[x]=0\] [giả sử là a và b].
Khi đó, diện tích cần tìm \[S=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}_{1}}\left[ x \right]-{{f}_{2}}\left[ x \right] \right|}dx\]
a] Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là
\[{{x}^{2}}=x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right. \]
Diện tích hình phẳng đã cho là
\[\begin{aligned} S&=\int\limits_{-1}^{2}{\left| {{x}^{2}}-\left[ x+2 \right] \right|dx} \\ & =\int\limits_{-1}^{2} {\left[ x+2-{{x}^{2}} \right]dx} \\ & =\left[ \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right]\left| _{\begin{smallmatrix} \\ -1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 2 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =2+4-\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{2}+2-\dfrac{1}{3} \\ & =\dfrac{9}{2}\,[\text{đvdt}] \\ \end{aligned} \]
b] Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là
\[\left| \ln x \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \ln x=1 \\ & \ln x=-1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=e \\ & x=\dfrac{1}{e} \\ \end{aligned} \right. \]
Diện tích hình phẳng đã cho là
\[\begin{aligned} S&=\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\left| 1-\left| \ln x \right| \right|dx} \\ & =\int\limits_{\frac{1}{e}}^{1}{\left[ 1+\ln x \right]dx}+\int\limits_{1}^{e}{\left[ 1-\ln x \right]dx} \\ \end{aligned} \]
Tính \[\int{\ln xdx}\]
Đặt \[\left\{ \begin{aligned} & \ln x=u \\ & dx=dv \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=\dfrac{1}{x}dx \\ & v=x \\ \end{aligned} \right. \]
\[\int{\ln xdx}=x\ln x-\int{dx=x\ln x-x+C}\]
Vậy một nguyên hàm của hàm số \[y=\operatorname{lnx}\] là \[F\left[ x \right]=x\ln x-x\]
\[\begin{aligned} \Rightarrow S&=x\ln x\left| _{\frac{1}{e}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \end{smallmatrix}}\,+\left[ 2x-x\ln x \right] \right.\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} e \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{1}{e}+2e-e-2 \\ & =\dfrac{{{\left[ e-1 \right]}^{2}}}{e} \,[\text{đvdt}]\\ \end{aligned} \]
c] Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là
\[\begin{aligned} & {{\left[ x-6 \right]}^{2}}=6x-{{x}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-12x+36=6x-{{x}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-9x+18=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=3 \\ & x=6 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \]
Diện tích hình phẳng đã cho là
\[\begin{aligned} S&=\int\limits_{3}^{6}{\left| {{\left[ x-6 \right]}^{2}}-\left[ 6x-{{x}^{2}} \right] \right|dx} \\ & =2\int\limits_{3}^{6}{\left| {{x}^{2}}-9x+18 \right|dx} \\ & =2\int\limits_{3}^{6}{\left[ -{{x}^{2}}+9x-18 \right]dx} \\ & =2\left[ -\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{9{{x}^{2}}}{2}-18x \right]\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 3 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 6 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =2\left[ -72+162-108+9-\dfrac{81}{2}+54 \right] \\ & =9\,[\text{đvdt}] \\ \end{aligned} \]