BT BIẾN NGẪU NHIÊNXác đònh biến ngẫu nhiên.Bài 1. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạnga] [ ][ ]Ax khi x 0,1f [x]0 khi x 0,1∈=∉b] [ ][ ]A sin x khi x 0,f [x]0 khi x 0,∈ π=∉ πc] [ ][ ]1212A cos x khi x 0,f [x]0 khi x 0,π ∈=∉d] 41A khi x 1f [x]x0 khi x 1≥=0 khi x ,2F[x] a b sin x khi x ,2 21 khi x2với a, b là hằng số.a] Tìm a và b. b] Với a và b tìm được ở câu a], tính hàm mật độ f[x] của X; [ ]Mod x; [ ]Me x; P X4π > . Vectơ ngẫu nhiên.Bài 6. Số trẻ em sinh ra trong một tuần ở một làng A nào đó là một đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất làX 0 1 2 3P 0,4 0,3 0,2 0,1Số người chết trong một tuần ở làng A là một đại lượng ngẫu nhiên Y có phân bố xác suất làY 0 1 2 3 4P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05Giả sử rằng X và Y độc lập.a] Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y.b] Tính P[X > Y].Bài 7. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y như sau :YX4 51 0,1 0,062 0,3 0,183 0,2 0,16a] Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y.b] Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y.c] Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y.Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.2Bài 8. Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời như sauYX1 2 31 0,12 0,15 0,032 0,28 0,35 0,07a] Chứng minh rằng X và Y độc lập.b] Lập bảng phân phối xác suất của Z = XY. Từ đó tính E[Z] và kiểm tra rằng E[Z] E[X]E[Y]=.Bài 9. Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau YX-1 1-116140161811618Hãy tính E[X], E[Y], cov[X,Y] và [X, Y]ρ.Bài 10. Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau YX-1 0 1-141511541501152151151 02150a] Tìm µX, µY, cov[X,Y] và [X, Y]ρ.b] X và Y có độc lập không ?Bài 11. Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2 bi mang số 2, 3 bi mang số 3. Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số 3. Rút từ mỗi hộp 1 bi. Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp một, Y là số ghi trên bi rút ra từ hộp hai. a] Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của [ ]V X, Y=.b] Bảng phân phối xác suất lề của X , Y.c] Kỳ vọng, phương sai của X , Y.3d] Hiệp phương sai, hệ số tương quan.Bài 12. Tung ba lần độc lập một con xúc xắc. Gọi X là số lần mặt chẵn xuất hiện và Y là số lần mặt lẻ xuất hiện.a] Lập bảng phân phối xác suất của X và Y.b] Tính hệ số tương quan [X, Y]ρ. Nhận xét?ĐÁP ÁNBài 1.a] =A 2, µ =X23, σ =2X0.055,[ ]≤ ≤= 2x khi 0 x 1F x 0 khi x 01 khi x 1.b] =A 0.5, πµ =X2, πσ = −22X24,[ ][ ]− ≤ ≤ π= π11 cos x khi 0 x2F x 0 khi x 01 khi x.c] = πA, µ = −πX1 12, π −σ =π2X23,[ ][ ]π ≤ ≤= 1sin x khi 0 x2F x 0 khi x 011 khi x2.d] =A 3, µ =X32, σ =2X34,[ ]− ≥=sin x 1khi x2 2 2F x 0 khi x21 khi x2.b] 0.1465.Baøi 5.a] =1a2, =1b2.b] [ ]=Mod x 0, [ ]=Me x 0, π > = P X 0.14654,[ ]π π ∈ − =π π ∉ − 1cos x khi x ,2 2 2f x0 khi x ,2 2.Vectô ngaãu nhieân.5Bài 6.a]YX0 1 2 3 40 0.04 0.12 0.16 0.06 0.021 0.03 0.09 0.12 0.0450.0152 0.02 0.06 0.08 0.03 0.013 0.01 0.03 0.04 0.0150.005b] 0.19.Bài 7.a]X 1 2 3PX0.16 0.48 0.36Y 4 5PY0.6 0.4b]YX4 5 1 0.17 0.152 0.5 0.45 3 0.33 0.4 XY1 2 34 0.6250.6250.565 0.3750.3750.44c] =cov[X, Y] 0.02, ρ =[X, Y] 0.059.Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.Bài 8.b]Z 1 2 3 4 6P 0.12 0.43 0.03 0.35 0.07[ ]=E Z 2.89, [ ]=E X 1.7, [ ]=E Y 1.7.Bài 9.µ = −X18, µ =Y0, = −cov[X, Y] 0.125, ρ = −[X, Y] 0.1502.Bài 10.a] µ = −X0.467, µ =Y0, =cov[X, Y] 0, ρ =[X, Y] 0.6b] X và Y độc lập.Bài 11.a]YX1 2 3123633613624366362363636936336b]X 1 2 3PX136236336Y 1 2 3PY236336136c] µ =X2.33, µ =Y1.83, σ =2X0.555, σ =2Y0.472.d] =cov[X, Y] 0.0139, ρ =[X, Y] 0.027.Bài 12.a]X 0 1 2 3PX0.125 0.375 0.375 0.125Y 0 1 2 3PY0.125 0.375 0.375 0.125b] ρ = −[X, Y] 1, X và Y phụ thuộc chặt, nghòch biến.7
BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUS
Chương 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Mục tiêu1. Thông qua các công cụ giải tích, cung cấp cho sinh viên khái niệm về biến ngẫu nhiên, phân loại các biến ngẫu nhiên, các quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên, các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên cùng một số quy luật phân phối xác suất thông dụng của biến ngẫu nhiên.2. Với các kiến thức nền tảng đó, sinh viên biết tính các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên; hiểu và vận dụng được ý nghĩa của các đặc trưng của biến ngẫu nhiên cùng các
quy luật phân phối xác suất trong các bài toán xác suất thuộc các lĩnh vực kỹ thuật, kinh tế, xã hội. . .
Nội dungHai nội dung quan trọng nhất của chương là quy luật phân phối xác suất và các tham số đặc trưng của một biến ngẫu nhiên.1. Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên [bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất]3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên [kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, mốt, trung vị. . . ]
4. Một số phân phối xác suất thông dụng
BÀI 6
2.2.3 Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Định nghĩa 2.7 [Hàm mật độ xác suất]. Giả sử X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất F X [ x ] , x ∈ R. Nếu tồn tại hàm f X [ x ] sao cho
Như vậy, hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đó,
Hàm mật độ xác suất có các tính chất sau.
[a] Tìm a và b.
[b] Tìm hàm mật độ xác suất f X [ x ] .
[c] Tìm xác suất để khi tiến hành 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng [− 1; 1 ] .
[b] Tìm hàm phân phối xác suất tương ứng.
[c] Tìm xác suất để X nhận giá trị trong khoảng [0, π/4]
Lời giải Ví dụ 2.102.3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Đặc trưng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên là phân phối xác suất của nó. Nhưng trong thực tế nhiều khi không xác định được hàm phân phối và không phải cứ nhất thiết phải biết hàm phân phối. Vì vậy nảy sinh vấn đề phải đặc trưng cho biến ngẫu nhiên bằng một hoặc nhiều số, mỗi số hạng đặc trưng phản ánh được các tính chất cơ bản nhất của biến ngẫu nhiên X. Trong mục này ta chỉ xét một vài tham số quan trọng nhất.2.3.1 Kỳ vọng
Định nghĩa 2.8 [Kỳ vọng]. Kỳ vọng [expected value] của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là E [ X ] [hoặc µ X hoặc đơn giản là µ] được xác định như sau:
Nhận xét 2.5.1. Kỳ vọng mang ý nghĩa là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. Kỳ vọng là số xác định.
Thật vậy, giả sử đối với biến ngẫu nhiên X, tiến hành n phép thử,
trong đó n 1 lần X nhận giá trị x 1 , n 2 lần X nhận giá trị x 2 , . . . , n k lần X nhận giá trị x k , n 1 + n 2 + · · · + n k = n. Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X trong n phép thử này là
Lời giải Ví dụ 2.11 Gọi X là lợi nhuận của công ty bảo hiểm nhận được. Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận giá trị -990, 10. Bảng phân phối xác suất của X là
Ví dụ 2.13. Xét trò chơi trả lời hai câu hỏi A và B; người chơi có quyền chọn câu hỏi nào để trả lời đầu tiên. Câu hỏi A được trả lời đúng với xác suất 0,8 và khi đó người chơi sẽ được thưởng 100 USD, câu hỏi B được trả lời đúng với xác suất 0,6 và người chơi được thưởng 200 USD. Nếu không trả lời đúng lần thứ nhất sẽ không được trả lời tiếp. Vậy người chơi nên chọn câu hỏi nào trả lời đầu tiên để tiền thưởng trung bình nhận được cao hơn. Lời giải Ví dụ 2.13 Gọi X là số tiền thưởng nhận được khi người chơi chọn câu hỏi A trả lời đầu tiên,
Gọi Y là số tiền thưởng nhận được khi người chơi chọn câu hỏi B trả lời đầu tiên,
Vậy nên chọn câu hỏi A để trả lời đầu tiên để có khả năng nhận thưởng cao hơn. Ví dụ 2.14. Theo thống kê ở một cửa hàng đậu tương, người ta thấy số lượng đậu tương bán ra X là một biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối là:
Lời giải Ví dụ 2.14 [a] Từ bảng phân phối xác suất ta có hàm phân phối xác suất
E [ T 3 ] = 2000 × 0, 15 + 41000 × 0, 2 + 80000 × 0, 65 = 60500 VNĐ.
[b4] Phương án nhập 19kg: số lượng bán ra có thể là 10, 13, 16, 19 với xác suất tương ứng là 0,15; 0,2; 0,35 và 0,3. Suy raE [ T 4 ] = [− 22000 ] × 0, 15 + 17000 × 0, 2 + 56000 × 0, 35 + 95000 × 0, 3 = 48200 VNĐ.[b5] Phương án nhập 22kg: số lượng bán ra có thể là 10, 13, 16, 19, 22 với xác suất tương ứng là 0,15; 0,2; 0,35; 0,2 và 0,1. Suy raE [ T 5 ] = [− 46000 ] × 0, 15 + [− 7000 ] × 0, 2 + 32000 × 0, 35 + 71000 × 0, 2 + 110000 × 0, 1 = 28100 VNĐ.
Từ các kết quả trên, ta thấy E [ T 3 ] là cao nhất nên phương án nhập hiệu quả nhất là 16kg.
Chú ý 2.1. Nếu trong bảng phân phối xác suất mà giá trị nào của biến ngẫu nhiên X không được đề cập đến thì xem như xác suất tại đó bằng 0.
Ví dụ 2.15. Một dây chuyền tự động khi hoạt động bình thường có thể sản xuất ra phế phẩm với xác suất p = 0, 001 và được điều chỉnh ngay lập tức khi phát hiện có phế phẩm. Tính số trung bình các sản phẩm được sản xuất giữa 2 lần điều chỉnh.
Lời giải Ví dụ 2.15 Gọi X là số sản phẩm được sản xuất giữa hai lần điều chỉnh. Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 1, 2, . . . với xác suất tương ứng
Sử dụng công thức [2.11], tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên là
Bây giờ ta xét một biến ngẫu nhiên mới g [ X ] , phụ thuộc vào X; nghĩa là, mỗi giá trị của g [ X ] được xác định bởi giá trị của X. Chẳng hạn, g [ X ] có thể là X 2 hoặc 3X − 1 và giả sử X nhận giá trị 2, thì g [ X ] sẽ nhận giá trị g [ 2 ] .
Ví dụ 2.17. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là
[a] Y là một hàm của X xác định bởi
Chứng minh. Theo định nghĩa,
Định lý 2.6. Cho X là một biến ngẫu nhiên, h [ X ] , g [ X ] là các hàm của X. Khi đó,
Trong Hình 2.5, ta có biểu đồ của hai phân phối xác suất rời rạc có cùng giá trị trung bình, µ = 2, nhưng khác nhau đáng kể về độ biến thiên hoặc độ phân tán của các quan sát của chúng so với giá trị trung bình. Do đó cần xác định mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó.
1. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất [2.2] thì
Từ số liệu của công ty A ta tính E [ X A ] = [ 1 ][ 0, 3 ] + [ 2 ][ 0, 4 ] + [ 3 ][ 0, 3 ] = 2, 0 và
V [ X A ] = [ 1 − 2 ] 2 [ 0, 3 ] + [ 2 − 2 ] 2 [ 0, 4 ] + [ 3 − 2 ] 2 [ 0, 3 ] = 0, 6. ới công ty B ta có
E [ X B ] = [ 0 ][ 0, 2 ] + [ 1 ][ 0, 1 ] + [ 2 ][ 0, 3 ] + [ 3 ][ 0, 3 ] + [ 4 ][ 0, 1 ] = 2, 0,
và V [ X B ] = [ 0 − 2 ] 2 [ 0, 2 ] + [ 1 − 2 ] 2 [ 0, 1 ] + [ 2 − 2 ] 2 [ 0, 3 ] + [ 3 − 2 ] 2 [ 0, 3 ] + [ 4 − 2 ] 2 [ 0, 1 ] = 1, 6. Công thức tương đương của [2.14] được cho trong định lý dưới đây. Định lý 2.7.
Chứng minh. Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất [2.2],
Hệ quả 2.2.
1. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất [2.2] thì
Ví dụ 2.22. Dùng Định lý 2.7 tính phương sai của biến ngẫu nhiên xét trong Ví dụ [2.16]. Lời giải Ví dụ 2.22 Từ kết quả của Ví dụ 2.16 và 2.19 suy ra
Bây giờ ta sẽ mở rộng khái niệm về phương sai của biến ngẫu nhiên X cho biến ngẫu nhiên liên quan đến X, biến ngẫu nhiên g [ X ] .
Định lý 2.8. Cho X là một biến ngẫu nhiên và Y = g [ X ] là một hàm của X.
1. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất [2.2] thì
Phương sai của biến ngẫu nhiên X có tính chất sau. Định lý 2.9. Nếu a và b là các hằng số thì 1. V [ aX ] = a 2 V [ X ] .2. V [ b ] = 0.
Hoặc V [ aX + b ] = a 2 V [ X ] .
Định nghĩa 2.10 [Độ lệch chuẩn]. Độ lệch chuẩn [standard deviation] của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là σ [ X ] , được định nghĩa như sau:
Lời giải Ví dụ 2.23 Từ kết quả trong Ví dụ 2.21
Định nghĩa 2.12 [Trung vị]. Trung vị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là medX, là giá trị của biến ngẫu nhiên X chia phân phối thành hai phần có xác suất giống nhau, nghĩa là
Ví dụ 2.25. Cho hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X:
Lời giải Ví dụ 2.25 Theo [2.7], hàm phân phối xác suất của X là
Hàm mật độ xác suất f X [ x ] có