Ta có: $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$
=> Bộ ba số [ x; y; z ] là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz .
Ký hiệu: M = [ x; y; z ] hay M[ x; y; z ].
Ta có: $\overrightarrow{a}=a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2}\overrightarrow{j}+a_{3}\overrightarrow{k}$
=> Bộ ba số $[ a_{1}; a_{2}; a_{3} ]$ là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ với hệ trục tọa độ Oxyz .
Ký hiệu: $\overrightarrow{a}=[a_{1};a_{2};a_{3}]$ hay $\overrightarrow{a}[a_{1};a_{2};a_{3}]$.
II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
- Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}[a_{1};a_{2};a_{3}]$ và $\overrightarrow{b}[b_{1};b_{2};b_{3}]$. Ta có:
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=[a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3}]$ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=[a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2};a_{3}-b_{3}]$ $k\overrightarrow{a}=k[a_{1};a_{2};a_{3}]$ với k là số thực |
==> Hệ quả:
$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}a_{1}=b_{1};a_{2}=b_{2};a_{3}=b_{3}$ $\overrightarrow{0}=[0;0;0]$ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương $a_{1}=kb_{1};a_{2}=kb_{2};a_{3}=kb_{3}$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=[x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A}]$ |
III. Tích vô hướng
Định lí
- Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}[a_{1};a_{2};a_{3}]$ và $\overrightarrow{b}[b_{1};b_{2};b_{3}]$ xác định bởi:
| $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=[a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}]$ |
Ứng dụng
| $\overrightarrow{a}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$ |
- Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho $A[x_{A},y_{A},z_{A}]$ và $B[x_{B},y_{B},z_{B}]$, ta có:
| $AB=\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{[x_{B}-x_{A}]^{2}+[y_{B}-y_{A}]^{2}+[z_{B}-z_{A}]^{2}}$ |
- Góc giữa hai vectơ: Góc giữa $\overrightarrow{a}[a_{1};a_{2};a_{3}]$ và $\overrightarrow{b}[b_{1};b_{2};b_{3}]$ là $\varphi $
| $\cos\varphi =\cos [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$ |
| $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b} a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$ |
IV. Phương trình mặt cầu
Định lí
- Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I[ a; b; c ] bán kính r có phương trình là:
| $[x-a]^{2}+[y-b]^{2}+[z-c]^{2}=r^{2}$ |
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=[2;-5;3]$, $\overrightarrow{b}=[0;2;-1]$, $\overrightarrow{c}=[1;7;2]$
a] Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$
b] Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho ba điểm A[1; -2; 1], B[0; 1; 2], C[1;0;1]. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết $A = [1; 0; 1], B = [2; 1; 2], D = [1; -1; 1],C' [4; 5; -5]$.
Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 4: Trang 68 - sgk hình học 12
a] Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ với $\overrightarrow{a}=[3;0;-6]$ và $\overrightarrow{b}=[2;-4;0]$
b] Tính $\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}$ với $\overrightarrow{c}=[1;-5;2]$ và $\overrightarrow{b}=[4;3;-5]$
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 5: Trang 68 - sgk hình học 12
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau đây:
a] $x^{2} + y^{2} + z^{2}– 8x – 2y + 1 = 0$
b] $3x^{2}+ 3y^{2} + 3z^{2}– 6x + 8y + 15z – 3 = 0$
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 6: Trang 68 - sgk hình học 12
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a] Có đường kính AB với A[4; -3; 7], B[2; 1; 3]
b] Đi qua điểm A[5; -2; 1] và có tâm C[3; -3; 1]
=> Xem hướng dẫn giải
Dạng 1: Tìm toạ độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thoả mãn một số điều kiện cho trước
=> Xem hướng dẫn giải
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức vectơ
=> Xem hướng dẫn giải
Trắc nghiệm hình học 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gianBài tập 2 – Trang 68 – SGK Hình học 12: Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 2. Cho ba điểm \[A = [1; -1; 1], B = [0; 1; 2], C = [1; 0; 1]\].
Tìm tọa độ trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\].
\[G\] là trọng tâm của tam giác ABC thì \[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\] [*]
Giả sử \[G[x; y; z]\] thì \[\overrightarrow{GA} = [1 – x; -1 – y; 1 – z]\];
\[\overrightarrow{GB} = [-x; 1 – y; 2 – z]\];
\[\overrightarrow{GC} = [1 – x; -y; 1 – z]\];
=> \[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = [2 – 3x; -3y; 4 – 3z]\]
Quảng cáoDo hệ thức [*], ta có :
\[2 – 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\] ;
\[-3y = 0 \Rightarrow y = 0\];
\[ 4 – 3z = 0 \Rightarrow z = \frac{4}{3}\].
Vậy \[G[\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}]\].
Nhận xét : Trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\] bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \[3\] đỉnh của tam giác.
Bài tập 5 – Trang 68 – SGK Hình học 12: Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu.
Bài 5. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a] \[{x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} – {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] ;
b] \[3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].
a] Ta có phương trình : \[{x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} – {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}{4^2}\]
Đây là mặt cầu tâm \[I[4; 1; 0]\] và có bán kính \[r = 4\].
Quảng cáob] Ta có phương trình:
\[3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2}{\rm{ – }}2x + {8 \over 3}y + 5z{\rm{ – }}1 = 0\]
\[⇔ [x-1]^{2}+[y+\frac{4}{3}]^{2}+[z+\frac{5}{2}]^{2}= [\frac{19}{6}]^{2}\].
Đây là mặt cầu tâm \[J[1; -\frac{4}{3};-\frac{5}{2}]\] và có bán kính là \[R = \frac{19}{6}\].