Bài toán về khoảng cách trong hàm số
|
Việc sử dụng phương pháp tọa độ vào việc giải bài toán ta có cách làm đơn giản dễ hiểu và có thể dùng cho mọi đối tượng học sinh. Ví dụ kế tiếp ta chuyển sang một đối tượng hình không gian khác, đó hình chóp đặc biệt hình tứ diện có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc nhau (gọi tắt là tam diện vuông) phương án tọa độ hóa còn hiệu quả hơn. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB =
Giải Nhận xét: Tại vị trí điểm A hoặc điểm C ta nhận thấy đã có một cặp cạnh vuông góc (AB A C(0; a). Tính độ dài đoạn MN theo a và t. Tìm t sao cho MN ngắn nhất. Theo giả thiết M thuộc tia AS và AM = t Tương tự, N thuộc tia CB và CN = t Vậy ta có Hơn nữa,
Khi MN ngắn nhất, ta có Mặt khác hay MN là đường vuông góc chung của SA và BC. Nhận xét: Qua ví dụ đã trình bày, ta nhận thấy một yếu tố thuận lợi cho việc tọa độ hóa là điều kiện đôi một vuông góc của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của đa diện, thông thường điều kiện này được ẩn chứa ngay trong các giả thiết cho trước. Tuy vậy, không phải lúc nào điều kiện trên cũng được thỏa mãn nên trong một số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ một cách khéo léo hơn. Ta xét ví dụ sau đây. Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, Tính theo Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với A Do đó: (SCD) có VTPT là hay (SCD): Vậy Từ đó suy ra khoảng cách từ H đến (SCD) là Nhận xét: Nếu so với cách tổng hợp trong việc tính d(H,(SCD)) thì lời giải này rõ ràng và trực tiếp hơn, dễ hiểu hơn kể cả với học sinh học ở mức độ trung bình. Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Gọi O là tâm của đáy ABCD. Vì hình chóp đã cho là hình chóp đều nên SO Ta chọn hệ trục Oxyz với O là gốc tọa độ, tia OC tia OS Khi đó ta có O(0;0;0), A( B(0; S E đối xứng với D qua trung điểm của SA M là trung điểm của AE N là trung điểm của BC Mặt khác Lại có Mà Nhận xét: Bài toán này có thể được tọa độ hóa với gốc tọa độ là một đỉnh của đáy bằng việc kẻ thêm đường thẳng qua đỉnh, song song với SO, tạo thành bộ ba đường thẳng đôi một vuông góc tại đỉnh đó. Cái hay của việc tọa độ hóa ở lời giải chính là việc chọn biến x chưa biết đối với tọa độ điểm S, nhưng kết quả lại không phụ thuộc vào x. Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH Giải Để tính khoảng cách giữa haiđường thẳng DM và SC bằng phương pháp tọa độ như sau: Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, ta có C N là trung điểm AD H phương Vậy H( Khi đó, Mặt khác Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, mặt phẳng (SBC) vuông góc (ABC). Biết SB = Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Ta có : SB = Để ta tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) bằng phương pháp tọa độ. Chọn hệ trục Oxyz với B là gốc tọa độ, tia BA là tia Ox, tia BC là tia Oy, tia Oz là tia Bz song song và cùng hướng với tia HS. Khi đó: B(0;0;0), A(3a;0;0), C(0;4a;0), S(0;3a; Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là Nhận xét: Nếu so với cách tính khoảng cách từ điểm B đến (SAC) thông qua khoảng cách từ điểm H thì cách trên là trực tiếp, dễ định hướng hơn và dễ thực hiện hơn. Ví dụ 7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Giải: *Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Theo giả thiết ta có Ví dụ 8.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Giải Theo giả thiết (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC) nên SA Mặt phẳng qua SM, song song BC, cắt AC tại N N là trung điểm AC Mặt khác * Tiếp theo ta đề cập một số ví dụ về hình lăng trụ: Giải Từ giả thiết ta có tam giác đáy ABC vuông cân tại B, kết hợp với tính chất của lăng trụ đứng, ta chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với B Bây giờ ta tính khoảng cách giữa AM và B’C. M là trung điểm của BC Mặt khác, Lại có Nhận xét: Theo phương pháp tổng hợp việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C trong bài toán này hoàn toàn không dễ, đòi hỏi dựng được mặt phẳng chứa AM và song song với B’C, rồi qui việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này về khoảng cách từ C, rồi lại từ B đến mặt phẳng mới dựng đó. Lời giải bằng tọa độ rõ ràng là rất ngắn gọn và trực tiếp. Ví dụ 10.Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = Giải Gọi I = AC Chọn hệ trục Oxyz với B là gốc tọa độ, tia BA là tia Ox, tia BC là tia Oy, tia Oz là tia Bz song song và cùng hướng với tia IA’. Khi đó B(0;0;0), A(a;0;0), C(0; D(a; A’ có hình chiếu lên (Oxy) là I nên A’( Ta tìm z: + Mặt phẳng (ABCD) chính là mặt phẳng (Oxy) nên có VTPT là + + Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600 nên ta có Vậy A’( Do đó mặt phẳng (A’BD) có VTPT là Mặt khác Vậy khoảng cách từ B’ đến (A’BD) là 3.2 Các bài tập áp dụng Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng Bài 3.Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC cân với AB = AC = a và góc Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC’. Bài 4. Cho hình chóp Bài 5.Cho hình chóp S.ABC có ABC, SBC là các tam giác đều cạnh a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60 độ. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) nằm trong tam giác ABC. Tính khoảng cách từ B đến (SAC) theo Bài 6.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB= 2a , |
