1. Các kiến thức cần nhớ
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Ngoài ra, nhắc lại một số dấu hiệu đã biết:
+] Nếu một đường thằng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
+] Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Phương pháp:
Để chứng minh đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left[ {O;R} \right]$ tại tiếp điểm là $A$, ta có thể làm theo cách sau:
Cách 1. Chứng minh $OA \bot d$ tại $A$ và $A \in \left[ O \right]$.
Cách 2. Vẽ $OH \bot d$. Chứng minh $OH \equiv OA = R$.
Cách 3. Vẽ tiếp tuyến $d'$ của $\left[ O \right]$. Ta chứng minh $d \equiv d'$.
Dạng 2: Bài toán tính độ dài
Phương pháp:
Vận dụng định lý về tiếp tuyến và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.
1. Các kiến thức cần nhớ
a] Tính chất của tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Trong hình trên a là tiếp tuyến của đường tròn \[[O].\]
\[\Rightarrow a\perp OH\] tại \[H\] [với H là tiếp điểm].
b] Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Ngoài ra, nhắc lại một số dấu hiệu đã biết:
+] Nếu một đường thằng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
+] Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Phương pháp:
Để chứng minh đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left[ {O;R} \right]$ tại tiếp điểm là $A$, ta có thể làm theo cách sau:
Cách 1. Chứng minh $OA \bot d$ tại $A$ và $A \in \left[ O \right]$.
Cách 2. Vẽ $OH \bot d$. Chứng minh $OH \equiv OA = R$.
Cách 3. Vẽ tiếp tuyến $d'$ của $\left[ O \right]$. Ta chứng minh $d \equiv d'$.
Dạng 2: Bài toán tính độ dài
Phương pháp:
Vận dụng định lý về tiếp tuyến và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Dựng tiếp tuyến của đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Dựng tiếp tuyến của đường tròn: Phương pháp Các yêu cầu dựng tiếp tuyến của đường tròn [O] cho trước thường gặp phải giải quyết một trong ba dạng sau Dạng 1. Dựng tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước. Dạng 2. Dựng tiếp tuyến song song với đường thẳng a cho trước. Dạng 3. Dựng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng a cho trước. Phương pháp thực hiện các dạng toán trên được trình bày trong ba dạng toán sau Dạng 1. Từ một điểm A cho trước, hãy dựng tiếp tuyến với đường tròn [O] cho trước, biết 1 Điểm A nằm trên đường tròn. 2 Điểm A nằm ngoài đường tròn. O A R [d] Phương pháp dựng 1 Vì A nằm trên đường tròn nên tiếp tuyến là đương thẳng qua A và vuông góc với OA. 2 Ta thực hiện bốn phần Phân tích: Giả sử đã dựng được tiếp tuyến qua A với đường tròn [O] và có tiếp điểm B, ta có ABO = 90◦ ⇒ B thuộc đường tròn đường kính OA. A O B Cách dựng: Ta thực hiện Dựng đường tròn đường kính AO, kí hiệu [AO], đường tròn này cắt [O] tại B và B 0. Dựng đường thẳng AB và AB0, đó chính là các tiếp tuyến cần dựng. A O B B 0 I Chứng minh: Trong đường tròn [AO] ta có ngay ABO = 90◦ ⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn [O]. AB 0O = 90◦ ⇒ AB0 là tiếp tuyến của đường tròn [O]. Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình [tức là, qua A luôn kẻ được hai tiếp tuyến tới [O]]. 4! Nếu điểm A nằm bên trong đường tròn [O] thì qua A không thể kẻ được tiếp tuyến tới đường tròn [O]. Ví dụ 1. Cho 4ABC vuông tại A. Hãy nêu cách dựng tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp 4ABC, biết tiếp tuyến đi qua 1 điểm A. 2 điểm B. Lời giải. Vì 4ABC vuông tại A nên đường tròn ngoại tiếp 4ABC có tâm O là trung điểm của BC. 1 Tiếp tuyến qua A là đường thẳng [a] qua A và vuông góc với OA. 2 Tiếp tuyến qua B là đường thẳng [b] qua B và vuông góc với OB. B C A O [a] [b].
Dạng 2. Cho đường tròn [O] và một đường thẳng [d]. Dựng tiếp tuyến của đường tròn sao cho tiếp tuyến này song song với đường thẳng [d]. Phương pháp dựng Phân tích: Giả sử đã dựng được tiếp tuyến [t] của đường tròn [O] và tiếp tuyến song song với [d], gọi H là tiếp điểm, ta có OH ⊥ [t] ⇔ OH ⊥ [d]. Vậy, với điểm H là giao điểm của đường tròn [O] với đường thẳng qua O vuông góc với [d]. [t] [d] H O Cách dựng: Ta thực hiện Dựng đường thẳng xO y ⊥ [d] và cắt [O] tại H. Dựng đường thẳng [t] qua H và vuông góc với OH, đó chính là tiếp tuyến cần dựng. Chứng minh: Ta có ngay: [t] ⊥ OH và [d] ⊥ OH ⇒ [t] ∥ [d] ⇒ [t] là tiếp tuyến cần dựng. Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình. [t1] [d] H1 H2 [t2] O Ví dụ 2. Cho đường tròn đường kính AB. Hãy nêu các dựng tiếp tuyến với đường tròn, biếp tiếp tuyến song song với AB. Lời giải. Gọi O là trung điểm AB, ta thực hiện Dựng đường thẳng [d] qua [O] và vuông góc với AB. Dựng đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm H1 và H2. Dựng hai đường thẳng [a],[b] theo thứ tự đi qua hai điểm H1,H2 và song song với AB. Khi đó [a],[b] là hai tiếp tuyến cần dựng. [a] [b] H1 H2 A B Dạng 3. Cho đường tròn [O] và một đường thẳng [d]. Dựng tiếp tuyến của đường tròn sao cho tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng [d]. Phương pháp dựng Phân tích: Giả sử đã dựng được tiếp tuyến [t] của đường tròn [O] và tiếp tuyến vuông góc với [d], gọi H là tiếp điểm, ta có OH ⊥ [t] ⇔ OH ∥ [d]. Vậy, với điểm H là giao điểm của đường tròn [O] với đường thẳng qua O song song với [d]. [d] [t] O H Cách dựng: Ta thực hiện Dựng đường thẳng xO y ∥ [d] và cắt [O] tại H. Dựng đường thẳng [t] qua H và vuông góc với OH, đó chính là tiếp tuyến cần dựng. Chứng minh: Ta có ngay: [t] ⊥ OH và [d] ∥ OH ⇒ [t] ∥ [d] ⇒ [t] là tiếp tuyến cần dựng. Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình.
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến và cách dựng tiếp tuyến của đường tròn
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến và cách dựng tiếp tuyến của đường tròn
1. Tính chất của tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Trong hình trên a là tiếp tuyến
\[\Rightarrow a\bot OC\][C là tiếp điểm].
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
3. Bài toán dựng tiếp tuyến:
Dựng tiếp tuyến với [O] từ điểm A nằm ngoài đường tròn
Giả sử \[AB\] là tiếp tuyến qua \[A\] ngoài \[\left[ O \right],B\] là tiếp điểm.
\[\Rightarrow AB\bot OB\]
\[\vartriangle ABO\] vuông tại \[B\], gọi \[M\]là trung điểm của \[AO\]\[\Rightarrow MB=\frac{AO}{2}.\]
Hay \[B\] thuộc \[\left[ M;R=\frac{AO}{2} \right].\]
Vậy \[B=[O]\cap \left[ M;R=\frac{AO}{2} \right].\]
Dựng \[M\] là trung điểm của \[AO\]
Dựng \[\left[ M;R=\frac{AO}{2} \right].\]
Dựng \[B,C=[O]\cap \left[ M;R=\frac{AO}{2} \right].\]
Nối \[A\] và \[B\], \[A\]và \[C\]ta có \[AB,AC\] là tiếp tuyến của \[[O]\]
\[A,B,O\] thuộc \[\left[ M;R=\frac{AO}{2} \right].\]
\[\Rightarrow MB=AM=MO=\frac{AO}{2}.\]
Nên \[\vartriangle ABO\]vuông tại \[B\]\[\Rightarrow AB\bot OB\].
Vậy \[AB\] là tiếp tuyến của \[[O]\]
Tương tự \[AC\] là tiếp tuyến của \[[O]\].