- LG a
- LG b
- LG c
Tính các tính phân sau
LG a
\[\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} \]
Phương pháp giải:
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \[x=\tan t\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[x = \tan t \Rightarrow dx = {1 \over {{{\cos }^2}t}}dt\] \[= \left[ {1 + {{\tan }^2}t} \right]dt\]
Đổi cận:
\[\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 0\\
x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}
\end{array}\]
\[\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{[1+\tan ^2 t]dt} \over {{{\tan }^2}t + 1}}} = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {dt} = {\pi \over 4}\]
LG b
\[\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + x + 1}}} \]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[I = \int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + x + 1}}} = \int\limits_0^1 {{{dx} \over {{{[x + {1 \over 2}]}^2} + {{[{{\sqrt 3 } \over 2}]}^2}}}} \]
Đặt \[x + {1 \over 2} = {{\sqrt 3 } \over 2}\tan t \] \[\Rightarrow dx = {{\sqrt 3 } \over 2}[1 + {\tan ^2}t]dt\]
Đổi cận:
\[\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\\
x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{3}
\end{array}\]
\[I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {1 + {{\tan }^2}t} \right]dt}}{{\frac{3}{4}{{\tan }^2}t + \frac{3}{4}}}} \] \[ = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {1 + {{\tan }^2}t} \right]dt}}{{\frac{3}{4}\left[ {{{\tan }^2}t + 1} \right]}}}\] \[ =\int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 3}} {{{{{\sqrt 3 } \over 2}dt} \over {{3 \over 4}}}} = {4 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}.{\pi \over 6} = {{\sqrt 3 \pi } \over 9}\]
LG c
\[\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} \]
Phương pháp giải:
Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.
Lời giải chi tiết:
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\]
Do đó: \[\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} \] \[= {x^2}{e^x}|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx = e - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx\,\,\,\,\,\,\,[*]} } \]
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\]
Suy ra:
\[\int\limits_0^1 {x{e^x}dx = x{e^x}|_0^1} - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \] \[= e - {e^x}|_0^1=e-[e-1]= 1\]
Từ [*] suy ra: \[\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} = e - 2\]