Cho hàm số f(x) = (x-1)(x 2 x 2020 có bao nhiêu giá trị nguyên của m)

Ta có g(x) = f(3 - x) nên g'(x) = -f'(3 - x)

• g'(x) = 0 ⇔ f'(3 - x) = 0

• g'(x) không xác định khi 3 - x = 1 hay x = 2

Bảng biến thiên

Vậy hàm số g(x) = f(3 - x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Đồ thị hàm số u( x) = f(x - 2017) + 2018 có được từ đồ thị f(x) bằng cách tịnh tiến đồ thị f(x) sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.

Suy ra bảng biến thiên của u(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x) = |u(x)| có 3 điểm cực trị (tại x = 0, x = 2016, x = 2020).

Suy ra chọn đáp án B.

Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số |f(x)| bằng A + B với:

• A là số điểm cực trị của hàm f(x).

• B là số giao điểm của f(x) với trục hoành (không tính các điểm trùng với A ở trên)

Áp dụng: Vì hàm f(x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f(x) + m cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) + m với trục hoành là 1.

Để số giao điểm của đồ thị f(x) + m với trục hoành là 1, ta cần

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị nên m ≤ -1

• Hoặc tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị nên m ≥ 3

Vậy m ≤ -1 hoặc m ≥ 3

Suy ra chọn đáp án A.

Vì hàm số f(x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f(x) - 2m cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) - 2m với trục hoành là 3.

Để số giao điểm của đồ thị f(x) – 2m với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới lớn hơn 4 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 11 đơn vị nên:

Suy ra chọn đáp án C.

* Vẽ đồ thị hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 9x - 5 như hình bên dưới

* Ta thấy hàm số f(x) có 2 điểm cực trị nên f(x) + m/2 cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) + m/2 với trục hoành là 3.

Để số giao điểm của đồ thị f(x) + m/2 với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên nhưng phải nhỏ hơn 32 đơn vị nên:

0 < m/2 < 32 ⇔ 0 < m < 64 -m ∈ Z→ m ∈ {1; 2; 3;...; 63}

Do đó, tổng các giá trị của m thỏa mãn là:

1 + 2 + 3 + ... + 63 = [(1 + 63).63]/2 = 2016

Suy ra chọn đáp án D.

+ Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x) - m cũng luôn có 3 điểm cực trị.

+ Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) – m với trục hoành là 2.

+ Để số giao điểm của đồ thị f(x)- m với trục hoành là 2, ta cần tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới ít nhất 2 đơn vị (bằng 2 đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị trùng với điểm chung của đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một lần)

⇒ -m ≤ -2 ⇒ m > 2

Suy ra chọn đáp án C.

* Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x + 2018) + m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

* Do đó yêu cầu bài toán tìm trở thành: Tìm các giá trị của m để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m với trục hoành là 4.

Để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m với trục hoành là 4, ta cần đồng thời:

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới nhỏ hơn 2 đơn vị nên m > -2

• Tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị nên m < 3

Vậy -2 < m < 3 -m ∈ Z+→ m ∈ {1;2}

Suy ra chọn đáp án A.

Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x + 2018) + m2 cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

Ta đi tìm các giá trị nguyên dương của tham số m để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m2 với trục hoành là 2.

Để số giao điểm của đồ thị f(x + 2018) + m2 với trục hoành là 2, ta cần

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị ⇒ m2 ≤ -2: vô lý

• Hoặc tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị

⇒ 2 ≤ m2 < 6

Suy ra chọn đáp án B.

Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x - 1) + m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

Do đó yêu cầu bài toán trở thành: Tìm các giá trị nguyên của m để số giao điểm của đồ thị hàm số f(x - 1) + m với trục hoành là 2.

Để số giao điểm của đồ thị hàm số f(x - 1) + m với trục hoành là 2, ta cần:

• Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị

• Hoặc tịnh tiến đồ thị hàm số f(x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị

⇒ 3 ≤ m < 6

Vậy

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: y' = m(3x2 – 6x)

Với mọi m ≠ 0, ta có:

Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị.

Giả sử A(0, 3m - 3), B( 2; -m - 3) .

Suy ra: OA2 = (3m - 3)2, OB2 = 4 + (-m - 3)2 = m2 + 6m + 13 và AB2 = 4 + 16m2

Ta có: 2AB2 – (OA2 + OB2) = 20

⇔ 2.(4 + 16m2) – [(3m - 3)2 + m2 + 6m + 13] = 20

⇔ 8 + 32m2 – (10m2 - 12m + 22) - 20 = 0

⇔ 22m2 + 12m - 34 = 0

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là:

Suy ra chọn đáp án D.

* Nhận xét: Hàm số g(x)= f(|x| + m) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng .

Suy ra: x = 0 là một điểm cực trị của hàm số.

* Ta có

Do đó g'(x) = 0 ⇔ f'(|x| + m) = 0

Để hàm số g(x) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0.

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có: g(x) = f2(x) + f(x) + m nên g'(x)= f'(x).[2f(x) + 1]

Ta tính được

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |f2(x) + f(x) + m|

có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc) nên m ≥ 1/4

Suy ra chọn đáp án B.

Từ giả thiết suy ra

Ta có g(x) = f(x2 – 2x) nên g'(x) = 2(x - 1).f'(x2 - 2x)

Vì g'(x) = 0 có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội lẻ nên g(x) có 3 điểm cực trị (là x = 0, x = 1, x = 2).

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có f'(x)= 3x2 – 2(2m - 1)x + 2 - m

Hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có hai cực trị dương

Suy ra phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt:

Suy ra chọn đáp án C.

Để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị thì phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

f(x) = 0 ⇔ (x - 1)(mx2 - 2mx + m - 2) = 0

Do đó để phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1:

⇔ m > 0 -m ∈ Z; m ∈ [-10;10]→ m ∈ {1; 2; 3;...; 10}

Suy ra chọn đáp án C.

Ta có: g(x)= |ax2.|x| + bx2 + c.|x| + d| = |f(|x|)|

* Hàm số f(x) có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực trị dương khi và chỉ khi hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị (1).

* Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực trị A(0;3) ∈ Oy và điểm cực trị B(2; -1) thuộc góc phần tư thứ IV nên đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm (1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có hoành độ dương)

Suy ra, đồ thị hàm số f(|x|) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt (2).

*Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số g(x) = |f(|x|)| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Hàm số g(x)= f(x) - 2018 (là hàm số bậc ba) liên tục trên R.

Ta có:

Suy ra, g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.

Khi đó đồ thị hàm số f(x) - 2018 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) = |f(x) - 2018| có đúng 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c (là hàm số bậc ba) liên tục trên R.

Ta có:

Nên hàm số f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.

Khi đó đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) = |f(x)| có đúng 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Ta có:

và lim f(x) = +∞ ⇒ ∃p > 2 sao cho f(p) > 0 (x → +∞)

Suy ra f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt c1 ∈ (0;1), c2 ∈ (1;2) và c3 ∈ (2;p) (1)

Suy ra đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị x1 ∈ (c1; c2) và x2 ∈ (c2; c3) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số f(x) có dạng như hình bên dưới

Từ đó suy ra hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị nên hàm số |f(|x|)| có 11 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Vì hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại các điểm x1, x2 và hàm số đồng biến trên khoảng (x1, x2) nên suy ra a < 0.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d < 0.

Ta có y' = 3ax2 + 2bx + c. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa mãn x1 ∈ (-1;0), x2 ∈ (1;2) nên suy ra y' = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 mà a < 0 nên c > 0.

Mặt khác x1 ∈ (-1;0), x2 ∈ (1;2) nên x1 + x2 > 0

Vậy a < 0, b > 0, c > 0, d < 0

Suy ra chọn đáp án A.

Đặt h(x) = f(x) – 2018 = ax4 + bx2 + c - 2018

Từ giả thiết

nên đồ thị hàm số h(x) có 3 điểm cực trị (1).

Ta có:

Suy ra h(1).h(0) < 0 có nghiệm thuộc (0, 1).

Do đó, phương trình h(x) =0 có 4 nghiệm phân biệt (2) .

Từ (1) và (2) suy ra hàm số g(x) = |f(x) – 2018| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án D.

Ta có:

Suy ra

• f'(x) = 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt vì -(m4 + 1)(2m+1.m2 + 4) < 0 với mọi m.

• f(x) – 1 = 0 vô nghiệm do:

Δ' = (2m.m2 + 2)2 - (m4 + 1).(4m + 15)

= 4.2m.m2 + 4 - 15m4 - 4m - 15 = -(2m - m2)2 - 11m4 - 11 > 0

Vậy hàm số đã cho có 3 cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Xét hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) và đạo hàm cấp hai là f''(x) = (x0 – 2).x + m2 – m + 2

Ta có f'(x0) = 0 nên x0 là điểm cực trị của hàm số. Và f''(x0) = (x0 - 2).x0 + m2 – m + 2.

⇒ f''(x0) = x02 - 2x0 + m2 - m + 2

Suy ra x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) .

Suy ra chọn đáp án A.

Xét hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1, ta có y' = 3x2 - 6x - 9, ∀x ∈ R

Phương trình:

Như vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6).

Suy ra phương trình đường thẳng AB là: (Δ): 8x + y + 2 = 0

Tọa độ giao điểm của (Δ) và (d1) là:

Vì (Δ), (d1), (d2) đồng quy nên M ∈ (d2) suy ra: (m + 1).1 + 10 + m2 – 2 = 0

Hay m2 + m + 9 = 0 vô nghiệm .

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Suy ra chọn đáp án D.

Ta có đao hàm: y' = 6x2 – 6(m + 1).x + 6m

Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m ≠ 1.

Tọa độ các điểm cực trị là A(1, m3 + 3m - 1) và B(m, 3m2).

Suy ra AB2 = (m - 1)2 + (m3 – 3m2 + 3m - 1)2 = (m - 1)2 + (m - 1)6

Theo bài ra ta có:

AB2 = 2 ⇔ (m - 1)6 + (m - 1)2 = 0 ⇔ [(m - 1)2]3 - 1 + [(m - 1)2 - 1] = 0

⇔ [(m - 1)2 - 1].[(m - 1)4 + (m - 1)2 + 2] = 0 ⇔ (m - 1)2

Suy ra chọn đáp án B.

Đạo hàm y' = 3x2 + 6x + m có Δ'y' = 9 - 3m.

Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt: Δ'y' > 0 ⇔ m = 3.

Ta có:

Gọi x1, x2 là hoành độ của 2 điểm cực trị. Suy ra: y'(x1) = y'(x2) = 0 nên từ (*) suy ra:

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi:

Suy ra chọn đáp án A.

+ Xét hàm số y = x4 - 2x2. Ta có y' = 4x3 - 4x

+ Suy ra A(0;0), B(1; -1), C(-1; -1) là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Đồng thời điểm A(0,0) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

+ Phương trình đường thẳng Δ có hệ số góc m và đi qua điểm A là y = mx hay mx - y = 0

+ Ta có:

khi đó

với

Mặt khác 2ab ≥ 0 ⇔ (a + b)2 ≥ a2 + b2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Suy ra chọn đáp án D.

Xét hàm số y = ax4 + bx2 + c ta có y' = 4ax3 = 2bx

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0,2) và B(1,m) nên:

Lấy (1) – 2.(2) ta được:

(2a + b)2 – 2(a + b)2 = -2(m - 2)2 hay 2a2 – b2 = -2(m - 2)2

Khi đó: P = 2a2 – b2 – 2m2 = -2(m - 2)2 – 2m2 = - 4 – 4(m - 1)2 ≤ -4

Do đó max P = -4.

Dấu “=” xảy ra khi m = 1 .

Vậy

⇒ P = a + b + c + m = 2

Suy ra chọn đáp án B.

Ta xét hai trường hợp sau đây:

* TH1: m + 1 = 0 hay m = -1.

Khi đó y = x2 + 3/2 ⇒ hàm số chỉ có cực tiểu (x = 0) mà không có cực đại

Do đó m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1.

Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có:

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ y' = 0 có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm này

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có -1 ≤ m ≤ 0.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có

Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x = 1 (nghiệm kép thì y' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta có các nhận xét sau:

• f'(x) đổi dấu từ “-” sang “+” khi đi qua điểm x = -2

Suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

• f'(x) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -1, x = 1

Suy ra x = -1, x = 1 không là các điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = -2

Suy ra chọn đáp án C.

Từ đồ thị hàm số f'(x) ta thấy f'(x) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm)

Suy ra: f(x) có 2 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị ( gồm 2 điểm cực trị âm, 2 điểm cực trị dương và điểm x = 0).

Suy ra: f(|x + m|) có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số).

Chú ý: Đồ thị hàm số f(|x + m|) có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.

Đồ thị hàm số f(|x| + m) có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

Suy ra chọn đáp án D.

Từ đồ thị f'(x) ta có:

Suy ra bảng biến thiên của f(x)

Yêu cầu bài toán trở thành hàm số f(x + m) có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f(|x| + m) có đúng 5 điểm cực trị).

Từ bảng biến thiên của f(x) suy ra f(x + m) luôn có 2 điểm cực trị dương ⇔ tịnh tiến f(x) (sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn

• Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị nên m < 1.

• Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị nên .

Suy ra -2 ≤ m < 1 -m ∈ Z→ m ∈ {-2; -1; 0}

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có đạo hàm: y' = 4x2 - 4mx

- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1)

Gọi A(0;4), B(-√m; -m4 + 4), C(-√m; -m4 + 4)

SABC = 1/2.d(A;BC).BC = 1/2.|yB - yA|.|xC - xB| = 1/2.m2.2√m

+ Ta có:

và

Ta tìm min của R:

* Ta có:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi:

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g(x) = f(x) – x nên:

g'(x) = f'(x) – 1 = (x + 1).(x - 1)2.(x - 2).

g' = 0 ⇔ (x + 1).(x - 1)2.(x - 2) = 0

Ta thấy x = -1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn x = 1 là nghiệm kép nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'(x) = -f'(3 - x) = [(3 - x)2 - 1][4 - (3 - x)] = (2 - x)(4 - x)(x + 1);

g'(x) = 0 ⇔ (2 - x)(4 - x)(x + 1) = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g(x) = f(x2) nên g'(x) = 2xf'(x2) = 2x5(x2 - 1)(x2 - 4)2

g'(x) = 0 ⇔ 2x5(x2 - 1)(x2 - 4)2 = 0

Ta thấy x = 1, x = -1(là hai nghiệm đơn) và x = 0 (là các nghiệm bội lẻ) nên hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Tại x = 2 và x = -2 là nghiệm bội chẵn nên hai điểm này không là điểm cực trị của của hàm số.

Vậy hàm số g(x) = f(x2) có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x2 - 8x) = 2(x - 4)[(x2 - 8x)2 - 2(x2 - 8x)];

g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4)[(x2 - 8x)2 - 2(x2 - 8x)] = 0

Ta thấy x = 4 + 3√2 hoặc x = 4 - 3√2, x = 0, x = 8 và x = 4 đều là các nghiệm đơn nên hàm số g(x) có 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Ta có: g'(x) = 2f''(x).f'(x) - 2f'(x).f''(x) - 2f(x).f'''(x) = -2f(x).f'''(x);

g'(x) = 0 ⇔ f(x).f'''(x) = 0 ⇔ x(x - 1)2(x + 4)3 = 0

Ta thấy x = 0 và x = -4 là các nghiệm đơn, x = 1 là nghiệm bội chẵn nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị tại x = 0 và x = -4.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'(x) = [f'(x)]2 + f(x).f''(x) = 15x4 + 12x

g'(x) = 0 ⇔ 15x4 + 12x = 0

Nhận thấy x = 0 và

là các nghiệm bội lẻ nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: f'(x) = 0 ⇔ (x + 1)4(x - 2)5(x + 3)3 = 0

Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua x = -3 và x = 2.

⇒ hàm số f(x) có 2 điểm cực trị x = -3 và x = 2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị (cụ thể là x = -2, x = 0, x = 2 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|).

Suy ra chọn đáp án B.

* Ta có: f'(x) = 0 khi (x - 1).(x - 2)4.(x2 - 4) = 0

* Do f'(x) đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x = 1, x = 2 hoặc x = -2 nên hàm số f(x) có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x = 1 và x = 2.

* suy ra: hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị (cụ thể là x = 2 hoặc x = -2; x = 1 hoặc x = -1; x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|)).

Suy ra chọn đáp án C.

Ta có f'(x) =0 khi và chỉ khi: x.(x + 2)4.(x2 + 4) = 0

* Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x = 0 ∈ Oy

Nên hàm số f(x) có 1 điểm cực trị x = 0 ∈ Oy

Suy ra, hàm số f(|x|) có 1 điểm cực trị (cụ thể là x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|).

Suy ra chọn đáp án B.

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f(|x|) nên yêu cầu bài toán khi và chỉ khi f(x) có 2 điểm cực trị dương. (*)

Xét:

Do đó (*) xảy ra khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt :

-m > -10, m ∈ Z→ m ∈ {-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3}.

Suy ra chọn đáp án B.

Xét f'(x) = 0

Để hàm số g(x) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có 1 điểm cực trị dương. Khi đó, (1) có hai nghiệm trái dấu nên: m2 - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4

-m ∈ Z→ m ∈ {0; 1; 2; 3}

Suy ra chọn đáp án B.

Xét f'(x) = 0

• Nếu m = -1 thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị âm (x = -3, x = -1). Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó m = -1 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Nếu m = -3 thì hàm số f(x) không có cực trị. Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1cực trị là x = 0. Do đó m = -3 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Khi

thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị là x = m và x = -3 < 0

Để hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị thì hàm số f(x) phải có hai điểm cực trị trái dấu

⇔ m > 0 -m ∈ Z, m ∈ [-5;5]→ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Suy ra chọn đáp án C.

Xét f'(x) = 0

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1. Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt:

Trường hợp này không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn.

Trường hợp 2. Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

⇔ Δ' = m2 - 5 ≤ 0

⇔ -√5 ≤ m ≤ √5 -m ∈ Z-→ m ∈ {-2; -1}

Suy ra chọn đáp án A.

Xét f'(x) = 0 ⇔ (x - 1)2(x2 - 2x) = 0

Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x2 - 8x + m);

g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4).f'(x2 - 8x + m) = 0

Yêu cầu bài toán trở thành g'(x) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ hay mỗi phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. (*)

Xét đồ thị (C) của hàm số y = x2 – 8x và hai đường thẳng d1: y = -m, d2: y= -m + 2 (như hình vẽ).

Khi đó (*) xảy ra khi d1, d2 cắt (C) tại bốn điểm phân biệt ⇔ -m > -16 ⇔ m < 16

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn: {1, 2, 3, .., 15}

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có: g'(x) = f'(x) - 1; g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 1

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = 1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = -1

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có g'(x) = (-2x + 3).f'(x2 + 3x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điềm cực đại.

Suy ra chọn đáp án A.

Dựa vào đồ thị ta có:

g'(x) = 2f'(x).f(x); g'(x) = 0

Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g(x) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án C.

Dựa vào đồ thị ta thấy f(x) đạt cực trị tại x = 0, x = 2.

Suy ra

Ta có: g'(x) = f'(x).f'[f(x)];

Dựa vào đồ thị suy ra:

• Phương trình (1) có hai nghiệm x = 0 (nghiệm kép) và x = a (a > 2)

• Phương trình (2) có một nghiệm x = b (b > a)

Vậy phương trình g'(x) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g(x) = f[f(x)] có 4 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'(x) = f'(x)[2f(x).ln2 - 3f(x).ln3];

Dựa vào đồ thị ta thấy:

• có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị).

• f(x) ≥ -1, ∀x ∈ R nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy hàm số g(x)= 2f(x) – 3f(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

• Tập xác định: D = R \ {-m}.

• Đạo hàm:

• Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y'(2) = 0

• Với m = -3

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m = -3 ta nhận.

• Với m = -1

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 nên m = - 1 ta loại.

Suy ra chọn đáp án B.

Xét g(x) = 2f(x) + 3 nên g'(x) = 2.f'(x)

g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0

Ta tính được:

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

• Đồ thị hàm số g(x) có 4 điểm cực trị.

• Đồ thị hàm số g(x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |2f(x) – 3| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Đồ thị hàm số g(x) = f(|x - 2|) + 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f(x) như sau:

Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.

Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở bước 1 sang phải 2 đơn vị.

Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở bước 2 lên trên 1 đơn vị.

Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến bước 2 và bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g(x) = f(x2 + 1) nên g'(x) = 2x.f'(x2 + 1)

Vậy g'(x) = 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g(x) có 1 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.