Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] thỏa mãn \[ 10 < m < 10\] và hàm số \[y = f\left[ {{x^2} + 2x + m} \right]\]đồng biến trên khoảng \[\left[ {0;1} \right]\]?
A. \[5\].
B. \[4\].
C. \[6\].
D. \[1\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \[y = \left[ {2x + 2} \right]{f^}\left[ {{x^2} + 2x + m} \right]\].
Hàm số đã cho đồngbiến trên khoảng \[\left[ {0;1} \right]\]\[ \Leftrightarrow \left[ {2x + 2} \right]{f^}\left[ {{x^2} + 2x + m} \right] \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\] \[ \Leftrightarrow {f^}\left[ {{x^2} + 2x + m} \right] \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\] \[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x + m \le 2}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x + m \ge 0}\\{{x^2} + 2x + m \le 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\].
Đặt \[t = {x^2} + 2x\]. Với \[x \in \left[ {0;1} \right]\] thì\[t \in \left[ {0;3} \right]\]
Do đó \[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + m \le 2}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + m \ge 0}\\{t + m \le 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.,\forall t \in \left[ {0;3} \right]\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 2 t}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge t}\\{m \le 3 t}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.,\forall t \in \left[ {0;3} \right]\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 5}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 0}\\{m \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 5}\\{m = 0}\end{array}} \right.\].
Vì \[m\] nguyên và \[ 10 < m < 10\]nên \[m \in \left\{ { 9; 8; 7; 6; 5;0} \right\}\].
Vậy có \[6\]giá trị \[m\] thỏa yêu cầu bài toán.
=======Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC