Cũng giống như cấp số cộng, cấp số nhân là 1 phần kiến thức quan trọng trong chương trình đại số và giải tích lớp 11. Ngoài ra, công thức cấp số nhân còn hay được áp dụng để tính toán lãi ngân hàng. Bài viết này, Boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn các lý thuyêt cơ bản, kèm công thức tính cấp số nhân chi tiết, đầy đủ nhất.
Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số [hữu hạn hoặc vô hạn] mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi. Nghĩa là:
[un] là cấp số nhân ⇔ ∀n ≥ 2, un = un-1.q
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân
Ví dụ: dãy số 2, 4, 8, 16, 32, …., 2n là một cấp số nhân, với số hạng đầu tiên u1 = 2 và công bội q= 2
Dãy số -2, 6, -18, 54, -162 là một cấp số nhân, với số hạng đầu tiên u1 = -2 và công bội q= -3
Tính chất
Nếu [un] là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ 2, bình phương của mỗi số hạng [trừ số hạng cuối của cấp số nhân hữu hạn] bằng tích của hai số hạng đứng liền kề nó trong dãy. Nghĩa là:
Số hạng tổng quát
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu là u1 và công bội q ≠ 0, thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức:
un= u1. qn-1
Ví dụ: cho cấp số nhân [un] với u1 = 4, công sai q =3, tính u7
Ta có:
u7= u1. q7-1 =4.37-1 = 2916
Công thức tính tổng cấp số nhân
Tính tổng n số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân
Nếu [un] là một cấp số cộng với công bội q ≠ 1 thì n số hạng đầu tiên của nó [Sn] được tính bằng công thức:
Ví dụ 1: Tính tổng 7 số hạng đầu tiên của cấp số nhân biết u1 = 3, và công sai q =4
Ta có:
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân [un] có u3 = 20 và u4 = 40, tính tổng của 5 số hạng đầu tiên
Gọi q là công bội của cấp số nhân [un], ta có:
Theo công thức tính số hạng tổng quát, ta có:
20=u3= u1. q3-1= u1. 22
Từ đó suy ra:
u1= 20/22=5
Tổng của 5 số hạng đầu tiên:
Trên đây là những kiến thức cơ bản và công thức cấp số nhân mà bạn đang tìm kiếm. Nếu có bất kỳ thắc mắc gì, hãy để lại bình luận bên dưới bài viết nhé!
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Bài 3: Cấp số nhân - Thầy Lê Thành Đạt [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
Cấp số nhân là một dãy số [hữu hạn hoặc vô hạn], trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu [un] là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:
un+1 = unq với n ∈ N*
Đặc biệt:
+ Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…, 0,…
+ Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,…
+ Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0…
Định lí 1
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức
un = u1.qn-1 với n ≥ 2
Định lí 2
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng [trừ số hạng đầu và cuối] đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
uk2 = uk-1.uk+1 với k ≥ 2
Định lí 3
Cho cấp số nhân [un] với công bội q ≠ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un. Khi đó
Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1,…, u1,… khi đó Sn = nu1.
Quảng cáo
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ tới bạn đọc về lý thuyết cấp số nhân, tính chất cấp số nhân, công thức tính cấp số nhân và các dạng bài tập về cấp số nhân từ cơ bản đến nâng cao để các bạn cùng tham khảo nhé
Cấp số nhân là gì?
Cấp số nhân là một dãy số thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi. Hằng số này được gọi là công bội của cấp số nhân.
Vì vậy, một cấp số nhân có dạng: a, ar, ar2, ar3, ar4,…trong đó r là công bội và a là số hạng đầu tiên.
Công bội q
q = [Un+ 1]/Un
Trong đó: q là công bội của cấp số nhân.
Tính chất cấp số nhân
uk2=uk–1.uk+1, ∀k≥2
Số hạng tổng quát: un=u1.qn–1, n≥2
Khi q = 0 thì dãy là U1; 0; 0;…; 0;… và Sn = U1 [ Sn : Tổng n số hạng đầu].
Khi q = 1 thì dãy có dạng U1; U1; U1;…;U1;…và Sn = n.U1.
Khi U1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0;…; 0;…và Sn = 0.
Công thức tổng quát cấp số nhân
Nếu [Un] là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un+1=q.un, ∀n≥1,n ∈ N∗ [Với: N* là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 0.]
Ngoài ra, các bạn có thẻ tham khảo: Trung bình cộng là gì? Công thức tính trung bình cộng chuẩn 100%
Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
Giả sử có cấp số nhân [un] với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n gọi sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Ta có công thức như sau:
sn = u1 + u2 + …+ Un = u1[1 – qn]/[1 – q]
Nếu q = 1 thì cấp số nhân là sn = n.u1
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Nếu cấp số nhân có công bội thỏa mãn -1 nhỏ hơn q và q nhỏ hơn 1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.
Sn = u1[1 – qn]/[1 – q] = u1[qn -1]/[q – 1]
Trong đó: Sn là tổng n số hạng đầu tiên.
Các dạng bài tập về cấp số nhân
Dạng 1: Nhận biết cấp số nhân
Bước 1: Tính q = [Un + 1] / Un ,∀ n ≥ 1
Bước 2: Kết luận:
- Nếu q là số không đổi thì dãy [Un] là cấp số nhân.
- Nếu q thay đổi theo n thì dãy [Un] không là cấp số nhân.
Ví dụ 1: Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất là 3 và công bội là 2. Viết 6 số hạng đầu tiên.
Lời giải:
6 số hạng đầu tiên là 3, 6, 12, 24, 48, 96.
Ví dụ 2: Một cấp số nhân có số hạng thứ hai và thứ năm thứ tự là 10, 1250. a] Tìm số hạng thứ nhất.
b] Viết 6 số hạng đầu tiên.
Lời giải
a] Gọi r là công bội của cấp số nhân. Tỷ số của số thứ năm với số thứ hai là r[5 – 2] = r3 hay r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ đó r = 5. Số thứ nhất là 10 : 5 = 2.
b] 2, 10, 50, 250, 1250, 6250.
Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân
Sử dụng các tính chất của cấp số nhân, biến đổi để tính công bội của cấp số nhân.
Ví dụ: Cho cấp số nhân Un có U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.
Áp dụng công thức ta có: q = U2 / U1 = 4 / 2 = 2.
Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát Un = U1.qn – 1, n ≥ 2.
Ví dụ: Cho cấp số nhân un với u1 = 3, q = -1/2. Tìm u7
Giải:
Áp dụng công thức Un = U1.qn – 1 suy ra u7 = u1.q7-1 = 3 . [-1/2]6 = [3/64]
Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy
Để tính tổng của cấp số nhân với n số hạng đầu tiên trong dãy số, ta sử dụng công thức:
Dạng 5: Tìm cấp số nhân
Tìm các yếu tố xác định một cấp số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q.
Tìm công thức cho số hạng tổng quát Un = U1.qn – 1, n ≥ 2.
Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nắm được lý thuyết về cấp số nhân là gì từ đó vận dụng giải bài tập nhé