Đại cương về phương trình lý thuyết

Lý thuyết đại cương về phương trình

Tổng quát lý thuyết đại cương về phương trình

1. Định nghĩa phương trình một ẩn

– Phương trình một ẩn số với biến x là một mệnh đề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1)
trong đó f(x), g(x) là các biểu thức với biến số x. Ta gọi f(x) là vế trái và g(x) là vế phải của phương trình.
– Điều kiện xác định của phương trình là điều kiện của biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.
– Nếu có số $\displaystyle {{x}_{0}}$ thỏa mãn điều kiện xác định và $\displaystyle f({{x}_{0}})=g({{x}_{0}})$ là mệnh đề đúng thì ta nói $\displaystyle {{x}_{0}}$ là nghiệm của phương trình (1).
Một phương trình có thể có nghiệm và cũng có thể vô nghiệm.
Ví dụ: Phương trình: 2 = 3x – 4 có một nghiệm là 2
Phương trình $\displaystyle x_{{}}^{2}+3=1$ vô nghiệm

2. Khái niệm phương trình trương đương

Hai phương trình:
$\displaystyle {{f}_{1}}(x)={{g}_{1}}(x)$ (1)
$\displaystyle {{f}_{2}}(x)={{g}_{2}}(x)$ (2)
đươc gọi là tương đương và được kí hiệu là: $\displaystyle {{f}_{1}}(x)={{g}_{1}}(x)$ ⇔ $\displaystyle {{f}_{2}}(x)={{g}_{2}}(x)$ nếu các tập nghiệm của 2 phương trình này bằng nhau.
Định lí:
a) Nếu h(x) là biểu thức thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình f(x) = g(x) thì ta có:
f(x) + h(x) = g(x) + h(x) ⇔ f(x) = g(x)
b) Nếu h(x) thỏa mãn điều kiện xác định và # 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định thì ta có:
f(x).h(x) = g(x).h(x) ⇔ f(x) = g(x)
⇔ f(x) = g(x)

3. Khái niệm phương trình hệ quả

Phương trình $\displaystyle {{f}_{2}}(x)={{g}_{2}}(x)$ là phương trình hệ quả của phương trình $\displaystyle {{f}_{1}}(x)={{g}_{1}}(x)$, kí hiệu $\displaystyle {{f}_{1}}(x)={{g}_{1}}(x)$ => $\displaystyle {{f}_{2}}(x)={{g}_{2}}(x)$
nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.
Ví dụ: 2x =6 – x => (x-2)(x+1)=0

Đại số, Toán lớp 10 - Tags: đại cương, đại số 10, lý thuyết, phương trình

• Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

• Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

• Hàm số bậc nhất y=ax+b

• Lý thuyết hàm số

• Tổng hợp kiến thức cơ bản Toán lớp 10

• Lý thuyết hàm số bậc 2

• Lý thuyết đường tiệm cận

Tài liệu Lý thuyết Đại cương về phương trình hay, chi tiết Toán lớp 10 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Đại cương về phương trình từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 10.

1. Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f(x) = g(x) (1)

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).

Nếu có số thực x0 sao cho f(xo) = g(xo) là mệnh đề đúng thì xo được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

2. Điều kiện của một phương trình

Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

3. Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn

3x + 2y = x2 – 2xy + 8, (2)

4x2 – xy + 2z = 3z2 + 2xz + y2 ( 3)

Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x và y), còn (3) là phương trình ba ẩn (x, y và z).

Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp (x; y) = (2; 1) là một nghiệm của phương trình (2).

Tương tự, bộ ba số (x; y; z) = (–1; 1; 2) là một nghiệm của phương trình (3).

4. Phương trình chứa tham số

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

2. Phép biến đổi tương đương

Định lí

Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

3. Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x)

Ta viết

f(x) = g(x) => f1(x) = g1(x).

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

1. Khái niệm phương trình

a) Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn \(x\) là mệnh đề chứa biến có dạng $f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\left( 1 \right)$

trong đó $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là những biểu thức của $x.$

Ta gọi $f\left( x \right)$ là vế trái, $g\left( x \right)$ là vế phải của phương trình $\left( 1 \right).$

Nếu có số thực ${x_0}$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = g\left( {{x_0}} \right)$ là mệnh đề đúng thì ${x_0}$ được gọi là một nghiệm của phương trình $\left( 1 \right).$

Giải phương trình $\left( 1 \right)$ là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

b) Điều kiện xác định của một phương trình

Khi giải phương trình $\left( 1 \right)$, ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số $x$ để $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

c) Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn

$\begin{array}{l}3x + 2y = {x^2} - 2xy + 8,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\4{x^2} - xy + 2z = 3{z^2} + 2xz + {y^2}.\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}$

Phương trình $\left( 2 \right)$ là phương trình hai ẩn ($x$ và $y$), còn $\left( 3 \right)$ là phương trình ba ẩn ($x,\,y$ và $z$).

Khi $x = 2,\,\,y = 1$ thì hai vế của phương trình $\left( 2 \right)$ có giá trị bằng nhau, ta nói cặp $\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)$ là một nghiệm của phương trình $\left( 2 \right).$

Tương tự, bộ ba số $\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \,1;1;2} \right)$ là một nghiệm của phương trình $\left( 3 \right).$

d) Phương trình chứa tham số

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

2. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả

a) Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

b) Phép biến đổi tương đương

Định lí:

Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác $0$ hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác $0.$

Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

c) Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ đều là nghiệm của phương trình ${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$ thì phương trình ${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$ được gọi là phương trình hệ quả của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right).$

Ta viết:

$f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right).$

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu.

Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

I.Khái niệm phương trình

1. Phương trình một ẩn

+ Phương trình ẩn \(x\) là mệnh đề chứa biến có dạng:

\(f(x) = g(x)\)     (1)

trong đó \(f(x), g(x)\) là các biểu thức của \(x\). Ta gọi \(f(x)\) là vế trái, \(g(x)\) là vế phải của phương trình (1).

+ Điều kiện xác định của phương trình là điều kiện của ẩn \(x\) để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.

+ Nếu có số \(x_0\) thỏa mãn ĐKXĐ và \(f(x_0)= g(x_0)\) là mệnh đề đúng thì ta nói \(x_0\) là nghiệm đúng phương trình (1) hay \(x_0\) là một nghiệm của phương trình (1).

Nếu phương trình không có nghiệm, ta nói phương trình vô nghiệm hoặc tập nghiêm là rỗng.

+ Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm)

2. Phương trình nhiều ẩn

Chẳng hạn: 

\(3x + 2y = {x^2} - 2xy + 8\) (Phương trình hai ẩn \(x\) và \(y\))

\(4{x^2} - xy + 2z = 3{z^2} + 2xz + {y^2}\)  (Phương trình ba ẩn \(x, y\) và \(z\))

3. Phương trình chứa tham số

Chẳng hạn: \((m + 1)x - 3 = 0\) (Phương trình ẩn \(x\) chứa tham số \(m\))

II. Phương trình tương đương và Phương trình hệ quả

1. Phương trình trương đương

Hai phương trình 

\({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) (1)

\({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) (2)

được gọi là tương đương, kí hiệu \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)⇔ {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) nếu các tập nghiệm của (1) và (2) bằng nhau.

Định lí:

a) Nếu \(h(x)\) là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình \(f(x) = g(x)\) thì 

\(f(x) + h(x) = g(x) + h(x) \)\(⇔ f(x) = g(x)\).

b) Nếu \(h(x)\) thỏa mãn ĐKXĐ và khác \(0\) với mọi \(x\) thỏa mãn ĐKXĐ thì 

\(f(x).h(x) = g(x).h(x)  ⇔ f(x) = g(x)\)

\(\dfrac{f(x)}{h(x)}=\dfrac{g(x)}{h(x)}  ⇔ f(x) = g(x)\).

2. Phương trình hệ quả

Phương trình \({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) là phương trình hệ quả của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\), kí hiệu 

\({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) \(\Rightarrow \)\({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\)
nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.

Ví dụ: \(2x = 3 - x \Rightarrow (x - 1)(x + 2) = 0\).

HocTot.Nam.Name.Vn