Đề bài
Cho tam giác đều \[ABC\] cạnh \[a\]. Chọn hệ tọa độ \[[O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ]\], trong đó \[O \] là trung điểm của cạnh \[BC\], \[\overrightarrow i \] cùng hướng với \[\overrightarrow {OC} \], \[\overrightarrow j \] cùng hướng với \[\overrightarrow {OA} \].
a] Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác \[ABC\].
b] Tìm tọa độ trung điểm \[E\] của \[AC\].
c] Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựng hình, tìm tọa độ các điểm dựa vào các tính chất hình học đã biết.
Lời giải chi tiết
a] Do \[O\] là trung điểm \[CB\] nên \[OB = OC = \dfrac{a}{2}\] và \[OA = \sqrt {A{C^2} - O{C^2}} \] \[ = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
Từ hình vẽ ta suy ra \[A\left[ {0;\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right],B\left[ { - \dfrac{a}{2};0} \right],C\left[ {\dfrac{a}{2};0} \right]\]
b] Do \[E\] là trung điểm của \[AC\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}{x_E} = \dfrac{{0 + \dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}\\{y_E} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + 0}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right.\] nên \[E\left[ {\dfrac{a}{4};\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right]\]
c] Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm của tam giác.
Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác thì \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{0 + \left[ { - \dfrac{a}{2}} \right] + \dfrac{a}{2}}}{3} = 0\\{y_G} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + 0 + 0}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array} \right.\] hay \[G\left[ {0;\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right]\].