Đề bài
Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \[y={\cos}^6 x-{\sin}^6 x\] tương ứng là
A. \[0\] và \[2\]
B. \[-1\] và \[\dfrac{1}{2}\]
C. \[-1\] và \[1\]
D. \[0\] và \[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số \[y = \sin x\] có \[ - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\]
Hàm số \[y = \cos x\] có \[ - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\]
Nên ta có \[0\le {\sin}^6 x\le 1\] và \[0\le {\cos}^6 x\le 1\] sử dụng hai bất đẳng thức này để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \[y\].
Lời giải chi tiết
Ta có:\[y={\cos}^6 x-{\sin}^6 x\le{\cos}^6 x\le 1\]
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \[1\] đạt được khi \[\cos x=1, \sin x=0\] \[\Leftrightarrow x=k2\pi,k\in\mathbb{Z}\]
Hàm số \[y={\cos}^6 x-{\sin}^6 x\ge -{\sin}^6 x\ge -1\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \[-1\] đạt được khi \[\cos x=0, \sin x=1\] \[\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\]
Đáp án: C.
Cách trắc nghiệm:
Khi x = 0 thì y = 1 lớn hơn 1/2 và 2/2 nên các phương án B và D bị loại.
Khi x = π/2 thì y = -1, do đó phương án A bị loại.