Đề bài
Trên mặt phẳng \[\displaystyle \left[ \alpha \right]\]cho hình bình hành \[\displaystyle {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\]. Về một phía đối với mặt phẳng \[\displaystyle \left[ \alpha \right]\]ta dựng hình bình hành \[\displaystyle {A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\]. Trên các đoạn \[\displaystyle {A_1}{A_2},{B_1}{B_2},{C_1}{C_2},{D_1}{D_2}\]ta lần lượt lấy các điểm \[A, B, C, D\] sao cho
\[\displaystyle {{A{A_1}} \over {A{A_2}}} = {{B{B_1}} \over {B{B_2}}} = {{C{C_1}} \over {C{C_2}}} = {{D{D_1}} \over {D{D_2}}} = 3\]
Chứng minh rằng tứ giác \[\displaystyle ABCD\] là hình bình hành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Lấy điểm \[O\] cố định.
- Điều kiện cần và đủ để \[ABCD\] là hình bình hành là \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {O{\rm{D}}}\]
[theo bài tập 3.2]
Lời giải chi tiết
Lấy điểm \[O\] cố định rồi đặt \[\overrightarrow {O{A_1}} = \overrightarrow {{a_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{B_1}} = \overrightarrow {{b_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {{c_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{D_1}} = \overrightarrow {{d_1}} \]. Điều kiện cần và đủ để tứ giác \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\]là hình bình hành là \[\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{c_1}} = \overrightarrow {{b_1}} + \overrightarrow {{d_1}} \] [ theo bài tập 3.2] [1]
Đặt \[\overrightarrow {O{A_2}} = \overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {O{B_2}} = \overrightarrow {{b_2}},\] \[\overrightarrow {O{C_2}} = \overrightarrow {{c_2}} ,\overrightarrow {O{D_2}} = \overrightarrow {{d_2}} \].
Điều kiện cần và đủ để tứ giác \[{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\]là hình bình hành là \[\overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{c_2}} = \overrightarrow {{b_2}} + \overrightarrow {{d_2}} \] [2]
Đặt \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow {OD} = \overrightarrow d \].
Ta có \[{{A{A_1}} \over {A{A_2}}} = 3 \Rightarrow \overrightarrow {A{A_1}} = - 3\overrightarrow {A{A_2}} \]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \overrightarrow {O{A_1}} - \overrightarrow {OA} = 3\left[ {\overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {OA} } \right] \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {{a_1}} - \overrightarrow a = - 3\left[ {\overrightarrow {{a_2}} - \overrightarrow a } \right] \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow a = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{a_1}} + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right] \cr} \]
Tương tự: \[\overrightarrow b = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{b_1}} + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right]\],
\[\overrightarrow c = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{c_1}} + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right],\overrightarrow {\,\,d} = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{d_1}} + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right]\].
Ta có: \[\overrightarrow a + \overrightarrow c = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{a_1}} + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right] + {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{c_1}} + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right]\]
\[= {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{c_1}} } \right] + {3 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{c_2}} } \right]\]
Và:
\[\eqalign{
& \overrightarrow b + \overrightarrow d = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{b_1}} + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right] + {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{d_1}} + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right] \cr
& = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{b_1}} + \overrightarrow {{d_1}} } \right] + {3 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{b_2}} + \overrightarrow {{d_2}} } \right] \cr}\]
Từ [1]và [2]ta có \[\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{c_1}} = \overrightarrow {{b_1}} + \overrightarrow {{d_1}} \]và \[\overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{c_2}} = \overrightarrow {{b_2}} + \overrightarrow {{d_2}} \]nên suy ra :
\[\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} \]
⟺tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành.