Đề bài
Một mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] đi qua hai đường sinh của hình nón, cắt mặt đáy hình nón theo một dây cung có độ dài gấpklần đường cao hình nón. Tính góc \[\varphi \] giữa mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] và mặt đáy hình nón nếu \[\varphi \] bằng nửa góc tạo bởi hai đường sinh của hình nón nằm trên mp[\[\alpha \]].
Lời giải chi tiết
Giả sửOlà tâm của đáy hình nón và mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] đi qua hai đường sinhSA, SB.
GọiIlà trung điểm củaABthì \[OI \bot AB\] và \[SI \bot AB,\] từ đó \[\widehat {SIO}\] = \[\varphi \]. Theo giả thiết \[\varphi \] = \[\widehat {ISB}\].
Từ tam giác vuôngSIO, ta có \[\sin \varphi = {{SO} \over {SI}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,[1]\]
Từ tam giác vuôngSIB, ta cũng có \[\tan \varphi = {{IB} \over {SI}}\;\;\;\;\;[2]\]
Từ [1] và [2] suy ra \[{{\sin \varphi } \over {\tan \varphi }} = {{SO} \over {IB}} = {{SO} \over {{k \over 2}SO}} = {2 \over k}.\]
Vậy \[\cos \varphi = {2 \over k}.\]