Đề bài
Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.
Lời giải chi tiết
Giả sử \[ABC\] đều có trọng tâm \[G\]. Các điểm \[E, N, M\] lần lượt là trung điểm của \[AB, BC, AC.\]
\[ \Rightarrow GA = \dfrac{2}{3}AN\]; \[GB = \dfrac{2}{3}BM\]; \[GC = \dfrac{2}{3}EC\].
Vì \[ABC\] đều nên ba trung tuyến \[AN, BM, CE\] bằng nhau [áp dụng chứng minh bài 29 trang 67 SGK toán 7 tập 2]
\[ \Rightarrow GA = GB = GC\]
Xét \[AMG\] và \[CMG\] ta có:
+] \[GA = GC\] [chứng minh trên]
+] \[AM = MC\] [vì \[M\] là trung điểm của \[AC\]]
+] Cạnh \[MG\] chung
Vậy \[AMG =CMG\] [c.c.c]
\[ \Rightarrow\]\[\widehat{AMG}=\widehat{CMG}\]
Mà\[\widehat{AMG}+\widehat{CMG} = 180^o \] [\[2\] góc kề bù]
\[ \Rightarrow\]\[\widehat{AMG} = 90^o\]
\[ \Rightarrow GM AC\] tức là \[GM\] là khoảng cách từ \[G\] đến \[AC\].
Chứng minh tương tự \[GE, GN\] là khoảng cách từ \[G\] đến \[AB, BC.\]
Mà \[GM =\dfrac{1}{3}BM\]; \[GN = \dfrac{1}{3}AN\]; \[GE = \dfrac{1}{3}EC\].
Và \[AN = BM = EC\] nên \[GM = GN = GE.\]
Hay \[G\] cách đều ba cạnh của tam giác \[ABC.\]