Đề bài
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.
a] \[\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.\];
b] \[\left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hệ a] ta nhân phương trình thứ nhất với\[-\sqrt 2\], rồi cộng từng vế hai phương trình.
Hệ b] ta nhân phương trình thứ nhất với\[\sqrt 2\], rồi cộng từng vế hai phương trình.
Lời giải chi tiết
a] Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \[-\sqrt 2\], rồi cộng từng vế hai phương trình, ta được:
\[\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y = -\sqrt{2}& & \\ 2x + \sqrt{2}y = -2 & & \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y+2x+ \sqrt{2}.y = -\sqrt{2}-2& & \\ 2x + \sqrt{2}y = -2 & & \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4\sqrt{2}.y = -\sqrt{2} - 2& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2& & \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = \dfrac{-\sqrt{2} - 2}{4\sqrt 2}& & \\2x + y\sqrt{2} = -2 & & \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\2x = -y\sqrt{2} -2& & \end{matrix}\right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\2x =- \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}.\sqrt{2} -2& & \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\2x =\dfrac{\sqrt 2 -6}{4}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =\dfrac{\sqrt 2 -6}{8}& & \\ y= \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \end{matrix}\right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: [\[\dfrac{\sqrt 2 -6}{8};\dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}\]]
b] Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \[\sqrt{2}\], rồi cộng từng vế hai phương trình.
Ta có \[\left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.\]
Suy ra
\[\left\{\begin{matrix} 5\sqrt 6 x + y \sqrt 2 = 4 & & \\ x \sqrt 6 - y \sqrt 2=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6 \sqrt 6 x=6 & & \\ x \sqrt 6 -y \sqrt 2 =2 & & \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y \sqrt 2 = x \sqrt 6 -2& & \end{matrix} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y \sqrt 2 = \dfrac{\sqrt 6}{6}. \sqrt 6 -2& & \end{matrix} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y =- \dfrac{\sqrt 2}{2}& & \end{matrix} \right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \[ {\left[\dfrac{\sqrt 6}{6}; -\dfrac{\sqrt 2}{2} \right]}\]