Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[x - 1 = {2 \over {x - 1}}\] \[\Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} = 2\Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \]
Đề bài
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f[x] = x + {2 \over {x - 1}}\]với x > 1.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thêm bớt 1 và áp dụng bđt Cô si cho hai số dương x-1 và \[{2 \over {x - 1}}\].
Lời giải chi tiết
Vì x > 1 nên x 1 và \[{2 \over {x - 1}}\]là hai số dương.
Do đó:
\[f[x] = x + {2 \over {x + 1}} = 1 + [x - 1] + {2 \over {x - 1}} \] \[\ge 1 + 2\sqrt {[x - 1]{2 \over {x - 1}}} = 1 + 2\sqrt 2 \]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[x - 1 = {2 \over {x - 1}}\] \[\Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} = 2\Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \]
Vậy giá trị nhỏ nhất của f[x] là \[ 1 + 2\sqrt 2 \] khi \[x = 1 + \sqrt 2 \].