Đề bài
Câu 1. Một tam giác cân có cạnh đáy và một cạnh bên có phương trình lần lượt là \[x - y + 5 = 0\] và \[x + 2y - 1 = 0\] .Viết phương trình tham số của cạnh bên còn lại, biết rằng nó đi qua điểm \[\left[ {11;1} \right]\].
Câu 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng song song với đường thẳng \[\Delta :\left\{ \matrix{ x = 2t - 3 \hfill \cr y = t - 5 \hfill \cr} \right.\] và cách điểm \[A[1;1]\] một khoảng bằng \[3\sqrt 5 \]
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Phương trình cạnh bên cần tìm dạng
\[a\left[ {x - 11} \right] + b\left[ {y - 1} \right]\]
\[\Leftrightarrow ax + by - 11a - b = 0\]\[\,\left[ {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right]\].
\[\eqalign{ & \cos B = \cos C \cr&\Leftrightarrow {{\left| {a - b} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = {{\left| {1 - 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt 5 }} \cr & \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {a - b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & \Leftrightarrow 5\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right] = {a^2} + {b^2} \cr & \Leftrightarrow 2{a^2} - 5ab + 2{b^2} = 0 \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {2{a^2} - 4ab} \right] - \left[ {ab - 2{b^2}} \right] = 0\\
\Leftrightarrow 2a\left[ {a - 2b} \right] - b\left[ {a - 2b} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {2a - b} \right]\left[ {a - 2b} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2a - b = 0\\
a - 2b = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 2a\\
a = 2b
\end{array} \right.
\end{array}\]
+] Với b = 2a thì chọn \[a = \dfrac{1 }{ 2},b = 1\] ta có đường thẳng \[\dfrac{1}{ 2}x + y - \dfrac{13} {2} = 0 \] \[\Leftrightarrow x + 2y - 13 = 0\].
Đường thẳng này song song với cạnh bên đã cho nên loại.
+] Với a=2b thì chọn \[a = 2, b = 1\] ta có đường thẳng \[2x + y - 23 = 0\]
Đây là phương trình cạnh bên còn lại.
Câu 2. Đường thẳng \[\Delta \] có véc tơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2;1} \right]\] nên nhận\[\overrightarrow n = \left[ {1;-2} \right]\]làm VTPT
Mà \[\Delta\] đi qua điểm [-3;-5] nên có phương trình:
\[\Delta :\]\[1\left[ {x + 3} \right] - 2\left[ {y + 5} \right] = 0 \] \[\Leftrightarrow x - 2y - 7 = 0\]
Phương trình đường thẳng \[\Delta '\] song song với \[\Delta \] có dạng: \[x - 2y + c = 0,c \ne - 7\]
Theo giả thiết
\[d\left[ {A;\Delta '} \right] = 3\sqrt 5 \]
\[\Leftrightarrow\dfrac{{\left| {1 - 2 + c} \right|}}{{\sqrt 5 }}= 3\sqrt 5 \]
\[\Leftrightarrow \left| {c - 1} \right| = 5\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c - 1 = 15 \hfill \cr c - 1 = - 15 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c = 16 \hfill \cr c = - 14 \hfill \cr} \right.\]
Vậy có hai đường thẳng
\[\Delta ':x - 2y + 16 = 0 \]
\[\Delta '':x - 2y - 14 = 0 \].