Đề bài
Cho \[ ABC\] cân tại A. Vẽ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng:
\[{1 \over {B{K^2}}} = {1 \over {B{C^2}}} + {1 \over {4A{H^2}}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\]. Ta có: \[\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\]
Lời giải chi tiết
Ta có: ABC cân tại A, đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến \[ \Rightarrow HB = HC = {{BC} \over 2}\] [1]
Kẻ \[HI AC\], ta có HI là đường trung bình của BKC
\[ \Rightarrow HI = {{BK} \over 2}\] [2]
Lại có: AHC vuông có đường cao HI.
\[ \Rightarrow {1 \over {H{I^2}}} = {1 \over {H{C^2}}} + {1 \over {A{H^2}}}\] [3] [định lí 4]
Thay [1], [2] vào [3], ta có:
\[{1 \over {{{\left[ {{{BK} \over 2}} \right]}^2}}} = {1 \over {{{\left[ {{{BC} \over 2}} \right]}^2}}} + {1 \over {A{H^2}}}\]
\[\Rightarrow {1 \over {B{K^2}}} = {1 \over {B{C^2}}} + {1 \over {4A{H^2}}}\] [đpcm]