Đoạn thẳng AB có 11 điểm ở giữa hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng trên đó
Chuyên đề Điểm - đường thẳng - đoạn thẳng - tam giác - Toán lớp 6Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.4 MB, 106 trang ) 1 1.Hìnhgồmđiểm O vàmộtphầnđườngthẳngbịchiarabởiđiểm O đượcgọilàmộttiagốc O . 2.Haitiachunggốctạothànhđườngthẳngđượcgọilàhaitiađốinhau 3.Quanhệgiữamộtđiểmnằmgiữahaiđiểmvớihaitiađốinhau,haitiatrùngnhau: Xét 3 điểm A, O, B thẳnghàng. -Nếu OA và OB đốinhauthìgốc O nằmgiữa A và B -Ngượclạinếu O nằmgiữa A và B thì: 2 +Haitia OA, OB đốinhau +Haitia AO, AB trùngnhau;haitia BO, BA trùngnhau. IV. ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, CỘNG ĐỘ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG 1.Đoạnthẳng AB làhìnhgồmđiểm A ,điểm B vàtấtcảcácđiểmnằmgiữa A và B 2.Mỗiđoạnthẳngcómộtđộdài.Độdàiđoạnthẳnglàmộtsốdương. 3. AB CD AB và CD cócùngđộdài AB CD AB ngắnhơn CD AB CD AB dàihơn CD . 4.Điểmnằmgiữahaiđiểm: Nếuđiểm M nằmgiữađiểm A vàđiểm B thì AM MB AB Ngượclại,nếu AM MB AB thìđiểm M nằmgiữahaiđiểm A và B . Nếu AM MB AB thìđiểm M khơngnằmgiữa A và B . Nếuđiểm M nằmgiữahaiđiểm A và B ;điểm N nằmgiữahaiđiểm M và B thì AM MN NB AB V. VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI 1.Trêntia Ox baogiờcũngvẽđược 1 vàchỉmộtđiểm M saocho OM a (đơnvịdài). 2.Trêntia Ox , OM a, ON b ,nếu 0 a b hayOM N 3.Trêntia Ox có 3 điểm M , N , P ; OM a; ON b; OP c ;nếu 0 a b VI. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG 1.Trungđiểmcủađoạnthẳnglàđiểmnằmgiữahaiđầuđoạnthẳngvàcáchđềuhaiđầuđoạnthẳngđó. 2.Nếu M làtrungđiểmcủađoạnthẳng AB thì MA MB 3.Nếu M nằmgiữahaiđầuđoạnthẳng AB và MA AB 2 AB thì M làtrungđiểmcủa AB 2 4.Mỗiđoạnthẳngcó 1 trungđiểmduynhất. VII. TAM GIÁC 1. Định nghĩa A Tamgiác ABC làhìnhgồmbađoạnthẳng AB, BC , AC khibađiểm A, B, C khơng thẳnghàng.Kíhiệulà ABC . 2. Các yếu tố trong tam giác Tamgiác ABC có: +Bađỉnhlà: A, B, C . B C 3 +Bacạnhlà: AB, BC , AC . , +Bagóclà ABC , BAC ACB . 3. Để vẽ một tam giác ABC có độ dài 3 cạnh cho trước, ta làm như sau: Bước1.Vẽmộtđoạnthẳng AB cóđộdàibằngmộtcạnhchotrước; Bước2.Vẽđỉnh C (thứba)làgiaođiểmcủahaicungtrịncótâmlầnlượtlàhaiđỉnh A và B đãvẽ vàbánkínhlầnlượtbằngđộdàihaicạnhcịnlại. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Bài toán trồng cây thẳng hàng. - Các cây thẳng hàng là các cây cùng nằm trên một đường thẳng. - Giao điểm của hai hay nhiều đường thẳng là vị trí của 1 cây thỏa mãn bài tốn. Bài tập 1.Có10cây,hãytrồngthành5hàngsaochomỗihàngcó4cây. Hướng dẫn Theohình11(mỗiđiểmtrênhìnhvẽlàmộtcây). Hình Bài tập 2.Có9cây,hãytrồngthành8hàngsaochomỗihàngcó3cây. Hướng dẫn Theohình12(mỗiđiểmtrênhìnhvẽlàmộtcây). Hình Bài tập 3. Hãyvẽsơđồtrồng10câythành5hàng,mỗihàng4cây(Giảibằng4cách) Hướng dẫn 4 Cách1 Cách2 Cách3 Cách4 Dạng 2: Đếm số đoạn thẳng (đường thẳng) tạo thành từ các điểm cho trước Cho biết có n điểm (n ∈ N và n ≥ 2). Kẻ từ một điểm bất kỳ với n 1 điểm còn lại được n 1 đoạn thẳng (đường thẳng) Làm như vậy với n điểm nên có n n 1 đoạn thẳng (đường thẳng). Nhưng mỗi đoạn thẳng (đường thẳng) được tính 2 lần Do vậy số đoạn thẳng (đường thẳng) vẽ được là n n 1 : 2 đoạn thẳng (đường thẳng) Bài tập 1.LấynămđiểmM,N,P,Q,R,trongđókhơngcóbađiểmnàothẳnghàng.Kẻcácđường thẳngđiquacáccặpđiểmđó.Cóbaonhiêuđườngthẳngtấtcả?Đólànhữngđườngthẳngnào? Hướng dẫn Cách1:Vẽhìnhrồiliệtkêcácđườngthẳngđó(Chỉdùngkhichỉcóítđiểm) Cách2:Bằngcáchtính: Lấymộtđiểmbấtkì(chẳnghạnđiểmM),cịnlại4điểmphânbiệttanốiđiểmMvới4điểmcịnlại đóđược4đườngthẳng. Với5điểmđãchotacó:4đường×5điểm. Nhưngvớicáchlàmtrên,mỗiđườngtađãtínhhailần.chẳnghạn,khichọnđiểmMtanốiMvớiN,ta cóđườngthẳngMN.NhưngkhichọnđiểmN,tanốiNvớiM,tacũngcóđườngthẳngNM.Haiđường thẳngnàytrùngnhaunêntachỉtínhlàmộtđường. Vậysốđườngthẳngvẽđượclà: 45 10 (đườngthẳng). 2 Bài tập 2.Vẽbốnđườngthẳngđơimộtcắtnhau.Sốgiaođiểm(củahaiđườngthẳnghaynhiềuđường thẳng)cóthểlàbaonhiêu? 5 Hướng dẫn Khivẽbốnđườngthẳngcóthểxảyracáctrườnghợpsau: a)Bốnđườngthẳngđóđồngquy:cómộtđiểmchung(H.a). b)Cóbađườngthẳngđồngquy,cịnđườngthẳngthứtưcắtbađườngthẳngđó:có4điểm(H.b). c)Khơngcóbađườngthẳngnàođồngquy(đơimộtcắtnhau):có6điểm(H.c). a) b) c) Hình 3 Bài tập 3: Trênmặtphẳngcóbốnđườngthẳng.Sốgiaođiểmcủacácđườngthẳngcóthểbằngbao nhiêu? Hướng dẫn Bàitốnđịihỏiphảixétđủcáctrườnghợp: Hình 4 a)Bốnđườngthẳngđồngquy:có 1 giaođiểm(H4a) b)Cóđúngbađườngthẳngđồngquy: -Cóhaiđườngthẳngsongsong: 3 giaođiểm(H4b) -Khơngcóhaiđườngthẳngnàosongsong: 4 giaođiểm(H4c) b)Khơngcóbađườngthẳngnàođồngquy 6 Hình 5 -Bốnđườngthẳngsongsong: 0 giaođiểm(H5a) -Cóđúngbađườngthẳngsongsong: 3 giaođiểm(H5b) -Cóhaicặpđườngthẳngsongsong: 4 giaođiểm(H5c) -Cóđúngmộtcặpđườngthẳngsongsong: 5 giaođiểm(H5d,e) -Khơngcóhaiđườngthẳngnàosongsong: 6 giaođiểm(H5g) Bài tập 4: Cho n điểm (n 2) .Nốitừngcặphaiđiểmtrong n điểmđóthànhcácđoạnthẳng. a)Hỏicóbaonhiêuđoạnthẳngnếutrong n điểmđókhơngcóbađiểmnàothẳnghàng? b)Hỏicóbaonhiêuđoạnthẳngnếutrong n điểmđócóđúngbađiểmthẳnghàng? c)Tính n biếtrằngcótấtcả1770 đoạnthẳng. Hướng dẫn a) Chọnmộtđiểm.Nốiđiểmđóvớitừngđiểmtrong n1 điểmcịnlại,tavẽđược n 1đoạnthẳng. Nhưngmỗiđoạnthẳngđượctínhhailần,dođótấtcảchỉcó n( n 1) đoạnthẳng. 2 b)Tuytronghìnhvẽcóbađiểmthẳnghàng,nhưngsốphậnđoạnthẳngphảiđếmvẫnkhơngthayđổi, dođóvẫncó c)Tacó n( n 1) đoạnthẳng. 2 n(n1) 1770 2 Dođó: n(n 1) 1770.2 22.3.5.59 59.60 Suyra n 60 . Bài tập 5: Cho n điểmtrongđókhơngcóbađiểmnàothẳnghàng.Cứquahaiđiểmtavẽmộtđường thẳng.Biếtrằngcótấtcả 105 đườngthẳng.Tính n ? Hướng dẫn 7 Tacó n( n 1) 105 nên n(n 1) 210 2.3.5.7 15.14 . 2 Vậy n 15 . Bài tập 6: Cho 20 điểm,trongđócó a điểmthẳnghàng.Cứ 2 điểm,tavẽmộtđườngthẳng.Tìm a , biếtvẽđượctấtcả170 đườngthẳng. Hướng dẫn Giảsửtrong 20 điểm,khơngcó 3 điểmnàothẳnghàng.Khiđó,sốđườngthẳngvẽđượclà: 19.20 : 2 190 . Trong a điểm,giảsửkhơngcó 3 điểmnàothẳnghàng.Sốđườngthẳngvẽđượclà: (a 1)a : 2 Thựctế,trong a điểmnàytachỉvẽđược 1 đườngthẳng. Vậytacó: 190 (a 1)a : 2 1 170 a7 Bài tập 7 a)ChobốnđiểmA1,A2,A3,A4 trongđókhơngcóbađiểmthẳnghàng.Cứquahaiđiểmtakẻđượcmột đườngthẳng.Cóbaonhiêuđườngthẳng? b)Cũnghỏinhưthếvới5điểm,10điểm? Hướng dẫn a)QuaA1kẻđược3đườngthẳngA1A2,A1A3,A1A4 QuaA2kẻđược2đườngthẳngA2A3,A2A4 QuaA3kẻđược1đườngthẳngA3A4 QuaA4khơngcịnkẻthêmđượcđườngthẳngnàomới. Vậycótấtcả3+2+1=6đườngthẳng. b)Nếucho5điểmA1,A2,A3,A4,A5trongđókhơngcó3điểmnàothẳnghàngthì(0,25) QuaA1kẻđược4đườngthẳngA1A2,A1A3,A1A4,A1A5 QuaA2kẻđược3đườngthẳngA3A2,A2A5,A2A4 QuaA3kẻđược2đườngthẳngA4A3,A3A5 QuaA4kẻđược1đườngthẳngA4A5 QuaA5khơngcịnkẻthêmđượcđườngthẳngnàomới Vậycótấtcả4+3+2+1=10đườngthẳng. Lậpluậnnhưtrênsốđườngthẳngkẻđượckhicho10điểmtrongđókhơngcóbađiểmnàothẳnghàng là:9+8+7+6+5+4+3+2+1=45đườngthẳng. Bài tập 8. a)Có 25 điểmtrongđókhơngcóbađiểmnàothẳnghàng.Cứquahaiđiểmtavẽđượcmộtđường thẳng.Hỏivẽđượctấtcảbaonhiêuđườngthẳng? 8 Nếuthay 25 điểmbởi n điểm( n N và n 2 )thìsốđườngthẳnglàbaonhiêu? b)Cho 25 điểmtrongđócóđúng 8 điểmthẳnghàng,ngồirakhơngcóbađiểmthẳnghàng.Vẽcác đườngthẳngđiquacáccặpđiểm.Hỏivẽđượctấtcảbaonhiêuđườngthẳng? c)Cho m điểm( m N )trongđókhơngcóbađiểmnàothẳnghàng.Cứquahaiđiểmtavẽđượcmột đườngthẳng.Biếtrằngtấtcảcó 120 đườngthẳng.Tìm m . Hướng dẫn a)Kểtừmộtđiểmbấtkỳvớicácđiểmcịnlạivẽđược 24 đườngthẳng. Làmnhưvậyvới 25 điểmnêncó 24.25 600 đườngthẳng Nhưngmỗiđườngthẳngđãđượctính 2 lần Dovậysốđườngthẳngthựcsựcólà: 600 : 2 300 đườngthẳng Lậpluậntươngtựcó n điểmthìcó: n. n 1 : 2 (đườngthẳng) b)Nếu 25 điểmđãchokhơngcóbađiểmnàothẳnghàngthìsốđườngthẳngvẽđược 300 đường thẳng(câua) Với 8 điểm,khơngcóđiểmnàothẳnghàngvẽđược: 8.7 : 2 28 đườngthẳng Cịnnếu 8 điểmnàythẳnghàngthìchỉvẽđược 1 đườngthẳng.Dovậysốđườngthẳngbịgiảmđilà: 28 1 27 (đườngthẳng) Sốđườngthẳngcầntìmlà: 300 27 273 đườngthẳng c)Tacó: m m 1 : 2 120 m m 1 120.2 m m 1 240 m m 1 16.15 m 15 Bài tập 9. a)Cho 31 đườngthẳngtrongđóbấtkỳhaiđườngthẳngnàocũngcắtnhau,khơngcóbađườngthẳng nàocũngđiquamộtđiểm.Tínhsốgiaođiểmcóđược. b)Cho m đườngthẳng( m N )trongđóbấtkỳhaiđườngthẳngnàocũngcắtnhau,khơngcóba đườngthẳngnàocũngđiquamộtđiểm.Biếtrằngsốgiaođiểmcủacácđườngthẳngđólà 190 .Tính m Hướng dẫn a)Mỗiđườngthẳngcắt 30 đườngthẳngcịnlạitạothành 30 giaođiểm.Có 31 đườngthẳngnêncó 30.31 930 giaođiểm,nhưngmỗigiaođiểmđãđượctínhhailầnnênchỉcó: 930 : 2 465 (giaođiểm) Nếuthay 31 bởi n ( n N và n 2 )thìsốgiaođiểmcóđượclà: n n 1 : 2 (giaođiểm) b) m m 1 : 2 190 m( m 1) 380 m ( m 1) 20.19 . Vậy m 20 9 Bài tập 10. ChonămđiểmA, B, C, D, Ephânbiệt,trongđókhơngcóbađiểmnàothẳnghàng.Cứqua haiđiểmtavẽđượcmộtđoạnthẳng.Hỏitấtcảcóbaonhiêuđoạnthẳng? Hướng dẫn Chọnmộtđiểm.Nốiđiểmđóvớitừngđiểmtrong4điểmcịnlại,tavẽđược4đoạnthẳng.Làmnhư vậy5lần(vìcó5điểm)nêntacó5.4=20đoạnthẳng. Nhưngmỗiđoạnthẳngđượctínhhailần,dođótấtcảchỉcó20:2=10đoạnthẳng. Bài tập 11.ChobốnđiểmA, B, C, D phânbiệt,trongđókhơngcóbađiểmnàothẳnghàng.Cứquahai điểmtavẽđượcmộtđoạnthẳng.Hỏicótấtcảbaonhiêuđoạnthẳng? Hướng Bài tập 12. Chonămđiểmphânbiệt,trongđócóbađiểmthẳnghàng.Cứquahaiđiểmtavẽđượcmột đoạnthẳng.Hỏicótấtcảbaonhiêuđoạnthẳng? Bài tập 13.Chobốnđiểmphânbiệt,trongđócóbađiểmthẳnghàng.Cứquahaiđiểmtavẽđượcmột đoạnthẳng.Hỏicótấtcảbaonhiêuđoạnthẳng? Bài tập 14:Cho20điểmphânbiệttrongđócóđúng7điểmthẳnghàng,ngồirakhơngcóbađiểm nàothẳnghàng.Cứquahaiđiểmtavẽđượcmộtđườngthẳng.Hỏitừ20điểmđóvẽđượctấtcảbao nhiêuđườngthẳng? Hướng dẫn Nếutrong20điểmkhơngcóbađiểmnàothẳnghàngthìvẽđược Trong7điểmkhơngcóbađiểmnàothẳnghàngthìtạothành 20.( 20 1) 190 .(Đườngthẳng). 2 7.(7 1) 21 (Đườngthẳng). 2 Vì7điểmthẳnghàngtạothành1đườngthẳngnênsốđườngthẳnggiảm21-1=20(Đườngthẳng). Vậycó190–20=170(Đườngthẳng). Bài tập 15: a)Cho15điểm.Nốicặphaiđiểmtrong15điểmđóthànhcácđoạnthẳng.Tínhsốđoạnthẳngmàmút thuộc15điểmđãcho. b)Vớicáchnốinhưtrên,nhưngcó60điểmthìcóđượcbaonhiêuđoạnthẳng.(Mỗiđoạnthẳngcómút thuộc60điểmđãcho) Hướng dẫn a)Sốđoạnthẳng:15.14:2=105 b)Tổngqtsốđoạnthẳnglà: n=60nênsốđoạnthẳnglà: n(n 1) (nlàsốđiểm) 2 60(60 1) =1770(đoạn) 2 10 Bài tập 16: Cho1000điểmphânbiệt,trongđócóđúng3điểmthẳnghàng.Hỏicóbaonhiêuđường thẳngtạobởihaitrong1000điểmđó? Hướng dẫn Sốđườngthẳngtạobởi1000điểmphânbiệtlà: 1000.999 đườngthẳng 2 Sốđườngthẳntạobởi3điểmkhơngthẳnghànglà: 3.2 3 đườngthẳng 2 Theobàiravìcó3điểmthẳnghàngnênsốđườngthẳnggiảmđilà: 3–1=2đườngthẳng. Vậysốđườngthẳngtạothànhlà: 1000.999 2 499498 (đườngthẳng) 2 Bài tập 17: Cho2013điểmtrongđóchỉcó13điểmthẳnghàng.Hỏi: a)Cóbaonhiêuđườngthẳngđiquahaitrongcácđiểmtrên? b)Cóbaonhiêuđoạnthẳngđiquahaitrongcácđiểmtrên? Hướng dẫn a) Qua2013điểmtrongđókhụngcó3điểmnàothẳnghàngtavẽđược 2013.2012:2=2025078(đườngthẳng) Do13điểmthẳnghàngnênsốđườngthẳngbớtđilà: 13.12:2-1=77(đườngthẳng) =>Qua2013điểmtrongđúchỉcó13điểmthẳnghàngtavẽđược 2025078-77=2025001(đườngthẳng) b) Vìsốđoạnthẳngtạothànhkhụngphụthuộcvàosốđiểmthẳnghàngnên Qua2013điểmtrongđóchỉcó13điểmthẳnghàngtavẽđược 2013.2012:2=2025078(đoạnthẳng) Bài tập 18: TrêntiaOxvẽcácđiểmM 1;M2;M3.NếutrongmặtphẳngchứatiaOxvẽthêmcácđiểm M4;M5;M6;...;M 101;M102.TrongcácđiểmM1;M2;M3;M4;...;M 101;M102cóđúng3điểmthẳng hàngvàcứquahaiđiểmtavẽmộtđườngthẳng.Cótấtcảbaonhiêuđườngthẳngnhưthế?Tạisao? Hướng dẫn GiảsửtrongcácđiểmM1;M2;M3;M4;...;M101;M102(1)khơngcóbađiểmnàothẳnghàng Từmộtđiểmbấtkỳtrong(1)tavẽđược101đườngthẳngquacácđiểmcịnlạitrong(1) Làmnhưthếvới102điểmtađược101.102=10302đườngthẳng Nhưngmỗiđườngthẳngđãđượctính2lầnnêntấtcảchỉcó 10302:2=5151(đườngthẳng) 11 Vìtrong(1)cóđúngbađiểmthẳnghàngnênsốđườngthẳnggiảmđilà3–1=2 Vậysốđườngthẳngcầntìmlà:5151–2=5149(đườngthẳng). Dạng 3: Tính số giao điểm của các đường thẳng * Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm (1 giao điểm) * Nếu có n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng nào đồng quy => Số giao điểm là: n(n1) 2 * Chú ý: Nếu biết số giao điểm thì tìm được số đường thẳng. Bài tập 1: Cho101đườngthẳngtrongđóbấtcứhaiđườngthẳngnàocũngcắtnhauvàkhơngcóba đườngthẳngnàocùngđiquamộtđiểm.Tínhsốgiaođiểmcủachúng. Hướng dẫn -Mỗiđườngthẳngcắt100đườngthẳngcịnlạinêntạora100giaođiểm. -Có101đườngthẳngnêncó:101.100=10100giaođiểm. -Domỗigiaođiểmđượctínhhailầnnênsốgiaođiểmlà: 10100:2=5050giaođiểm. Vậysốgiaođiểmlà:5050giaođiểm Bài tập 2:Cho2006đườngthẳngtrongđóbấtkì2đườngthẳngnàocũngcắtnhau.Khơngcó3đường thẳngnàođồngqui.Tínhsốgiaođiểmcủachúng. Hướng dẫn Mỗiđườngthẳngcắt2005đườngthẳngcịnlạitạonên2005giaođiểm.Màcó2006đườngthẳng có:2005x2006giaođiểm.Nhưngmỗigiaođiểmđượctính2lần sốgiaođiểmthựctếlà:(2005x2006):2=1003x2005=2011015giaođiểm Bài tập 3: Cho n đườngthẳngtrongđóbấtcứhaiđườngthẳngnàocũngcắtnhau,khơngcóbađường thẳngnàođồngquy.Biếtrằngsốgiaođiểmcủacácđườngthẳngđólà 780 .Tính n ? Hướng dẫn Từ n(n 1) 780 tatínhđược n 40 2 Dạng 4: Vẽ tam giác. Tính số tam giác tạo thành Ba điểm A, B, C không thẳng hàng luôn tạo thành một tam giác ABC. Với n điểm trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng, ta vẽ được Bài tập 1: a)Vẽtamgiác ABC biết BC 5cm, AB 3cm, AC 4cm . n.(n 1).(n 2) tam giác. 6 12 b)Lấyđiểm O ởtrongtamgiác ABC nóitrên.Vẽtia AO cắt BC tại H ,tia BO cắt AC tại I ,tia CO cắt AB tại K .Tronghìnhđócóbaonhiêutamgiác. Hướng dẫn a)Vẽđoạnthẳng BC 5cm Vẽcungtrịn ( B;3cm) Vẽcungtrịn (C ; 4cm) Lấygiaođiểm A củahaicungtrên. Vẽđoạnthẳng AB, AC tađượctamgiác ABC . Có 6 tamgiác“đơn”là AOK ; AOI ; BOK ; BOH ; COH và COI . b) Có 3 tamgiác“Ghépđơi”là AOB; BOC ; COA . Có 6 tamgiác“Ghépba”là ABH ; BCI ; CAK ; ABI ; BCK ; CAH . Cómộttamgiác“Ghép 6 ”làtamgiác ABC . Vậytronghìnhcótấtcả 6 3 1 6 16 (tamgiác). Bài tập2:TrênđoạnthẳngABlấy2006điểmkhácnhauđặttêntheothứtừtừAđếnBlàA1;A2;A3; ...;A2004.TừđiểmMkhơngnằmtrênđoạnthẳngABtanốiMvớicácđiểmA;A1;A2;A3;...;A2004; B.Tínhsốtamgiáctạothành Hướng dẫn TrênđoạnthẳngABcócácđiểmA;A1;A2;A3;...;A2004;Bdođó,tổngsốđiểmtrênABlà2006điểm suyracó2006đoạnthẳngnốitừMđếncácđiểmđó. Mỗiđoạnthẳng(vídụMA)cóthểkếthợpvới2005đoạnthẳngcịnlạivàcácđoạnthẳngtươngứng trênABđểtạothành2005tamgiác. Dođó2006đoạnthẳngsẽtạothành2005 . 2006 = 4022030 tamgiác(nhưnglưuýlàMAkếthợpvới MA1đểđược1tamgiácthìMA1cũngkếthợpvớiMAđược1tamgiácvàhaitamgiácnàychỉlà1) Dođósốtamgiácthựccólà:4022030 : 2 = 2011015 5 Bài tập 3:ChogócxOyvàgócyOzlàhaigóckềbùthỏamãn: xOy yOz .KhiOylàtiaphângiác 4 củagóctOz.QuaOkẻthêm50đườngthẳngphânbiệtsaochocácđườngthẳngnàyđềukhơngchứa cáctiaOx,Oy,OzvàOt.VẽđườngtrịntâmObánkínhr.GọiAlàtậphợpcácgiaođiểmcủađường trịnnóitrênvớicáctiagốcOcótronghìnhvẽ.Tínhsốtamgiácmàcácđỉnhcủanóđềuthuộctập hợpA. Hướng dẫn Hình2 y KhiOylàtiaphângiáccủagóctOzthì4tiaOx,Oy,Oz,Otlà 4tiaphânbiệt. t z O x 13 -Lậpluậnđểcó50.2+4=104tiagốcOphânbiệt,suyraAcó104điểm(phầntử). -Lậpluậnđểcó 104.103 5356 đoạnthẳngnối2trong104điểmcủaA 2 -Nốihaiđầucủamỗiđoạnthẳngđóvới1điểmthuộc102điểmcịnlại(khơngphảilàcácmútcủa đoạnthẳngđó)được102tamgiác -vậycó5356.102tamgiác.Nhưngnhưthếthìmỗitamgiácđượctính3lần. Vậytacó 5356.102 182 104 (tamgiác) 3 Bài tập 4:GiảsửtrêntiaAylầnlượtlấycácđiểm:A1,A2,A3,…..,Anđơimộtkhácnhauvàkhác A.NốiCA1;CA2;CA3;…..;CAn.Ngườitađếmthấytrênhìnhvẽcó171tamgiáckhácnhau.Vậy trênAycóbaonhiêuđiểmphânbiệtkhácA? Hướng dẫn Tínhđược:CónđiểmkhácnhautrênAxthìcó n(n 1) tamgiáckhácnhau 2 Tínhđượcn=19 KếtluậntrênAycó18điểmphânbiệtkhácA Bài tập 5: Cho20điểmcùngnằmtrênmộtđườngtrịnvàkhơngtrùngnhau.Hỏivẽđượcbaonhiêu hìnhtamgiácnhận3trong20điểmlàđỉnh? Hướng dẫn Chọn1trong20điểmnốivới19điểmcịnlạitacó19đoạnthẳng,có20điểmnêncó20.19=380 (đoạnthẳng) Màmỗiđoạntính2lầnnêncó(19.20):2=190đoạnthẳng Haimútđoạnthẳngvới18điểmcịnlạitacó1hìnhtamgiác,có190đoạnthẳngnêncó190.18tam giác Màmỗitamgiáctính3lầnnêncó(190.18):3=1140(tamgiác) Bài tập 6: Cho10 điểmthuộcđườngthẳng a vàmộtđiểmnằmngồiđườngthẳngấy.Cóbaonhiêu tamgiáccócácđỉnhlàbatrong 11 điểmtrên? Hướng dẫn Cóbaonhiêuđoạnthẳngnằmtrênđườngthẳng a thìcóbấynhiêutamgiác. Đápsố: 45 tamgiác. Bài tập 7: Chotamgiác ABC ,điểm D nằmgiữa A và C ,điểm E nằmgiữa A và B .Cácđoạn thẳng BD và CE cắtnhauở K .Nối DE .Tínhxemcóbaonhiêutamgiáctronghìnhvẽ? Đáp số: 14 Có 5 tamgiác“đơn”,có 4 tamgiác“đơi”,có 2 tamgiác“ba”,có 1 tamgiác“năm”,tấtcảcó 12 tam giác. Dạng 5: Bài tập liên quan tới trung điểm đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng. Nếu điểm M nằm giữa điểm A và điểm B thì AM MB AB . Ngược lại, nếu AM MB AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B . Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N nằm giữa hai điểm M và B thì AM MN NB AB Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA MB Nếu M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và MA AB 2 AB thì M là trung điểm của AB 2 Bài tập 1.ĐoạnthẳngAB=36cmđượcchiathànhbốnđoạnthẳngcóđộdàikhơngbằngnhaulàcác đoạnthẳngAM,MN,NPvàPB.GọiE,F,HtheothứtựlàtrungđiểmcủacácđoạnthẳngAM,MN, NPvàPB.BiếtđộdàicủađoạnthẳngEH=30cm.TínhđộdàicủađoạnthẳngFG. Hướng dẫn -Theođầubài:AB=36cm,EH=30cm. VậyAE+HB=36–30=6(cm). Mà AE AM PB (1); HB 2 2 (2)(EvàHlàtrungđiểmcủaAMvàPB) Từ(1)và(2)tacó: AE HB AM PB AM PB 2 2 2 AM PB 6 AM PB 12(cm ) 2 MàAE+HB=6(cm),nên Vậy,MP=AB–(AM+PB)=36–12→MP=24(cm). MN 2 (3) (4) (5) FN -Theođầubài:FlàtrungđiểmcủaMN,nên NG VàGlàtrungđiểmcủaNP,nên NP 2 Từ(3)và(4)suyra: FN NG MN NP MN NP 2 2 2 15 Theothứtựlấycácđiểmchiavàthứtựlấytrungđiểmcácđoạnthẳng,thìNlàđiểmnằmgiữahai điểmFvàG;NlàđiểmnằmgiữahaiđiểmMvàP. VậyFN+NG=FGvàMN+NP=MP. FG Thayvào(5)tacó: MP 24 12(cm ) 2 2 . VậyđộdàiđoạnthẳngFGlà12cm. Bài tập 2.CácđiểmA,B,Cnằmtrêncùngmộtđườngthẳng.CácđiểmMvàNlầnlượtlàtrungđiểm củacácđoạnthẳngABvàAC.Chứngtỏrằng:BC=2MN.Bàitốncómấytrườnghợp,hãychứngtỏ từngtrườnghợpđó. Hướng dẫn Khivẽhìnhcóhaitrườnghợp: -Trườnghợp1(H.a):HaiđiểmBvàCởcùngphíavớiA,tứclàhaitiaABvàACtrùngnhau. +Trườnghợpnàycóthểchialàmhaitrườnghợpnhỏlà:AB>AC,AC>AB(haitrườnghợpchứng minhtươngtự). TachứngtỏAB AC 2 (1) AB 2 (2) (3) MlàtrungđiểmcủaAB,nên: AM Từ(1)và(2)tacó: AN AM AC AB AC AB 2 2 2 TaxétAB (4) AB (5) Thay(4)và(5)vào(3),tacó:MN=BC/2hayBC=2MN -Trườnghợp2(H.b):HaiđiểmBvàCthuộchaitiađốiABvàAC.Suyrahaitrungđiểmcũngthuộc haitiađốinhau. MlàtrungđiểmcủaAB,nên: AM AB 2 (6) 16 NlàtrungđiểmcủaAC,nên: AN AC 2 (7) (8) Từ(6)và(7)có: AM AN AB AC 2 MàABvàAClàhaitiađốinhau,nênđiểmAnằmgiữahaiđiểmBvàC. BC=BA+AC (9) M∈ABvàN∈AClàhaitiađối,nênđiểmAnằmgiữahaiđiểmMvàNvàtacó: MN=AM+AN Thay(9)và(10)vào(8),tacó: MN (10) BC hayBC=2MN. 2 Bài tập 3. cácđiểmA,B,Cnằmtrênmộtđoạnthẳng.BiếtrằngAB=12cm,BC=13,5cm.Độdài đoạnthẳngACcóthểbằngbaonhiêu?Chỉrõtừngtrườnghợp. Hướng dẫn Xéthaitrườnghợp: -Trườnghợp1(H.a):HaiđiểmBvàCởhaitiađốinhauABvàAC. Vậy,điểmAnằmgiữahaiđiểmBvàC. Tacó:BC=BA+AC. Thaysốvàotađược:13,5=12+AC. VậyAC=1,5(cm). -Trườnghợp2(H.b):HaiđiểmBvàCởcùngphíavớiđiểmA.VìBC>BA(13,5cm>12cm),nên khơngthểxảyratrườnghợpđiểmCnằmgiữahaiđiểmAvàB. ChỉcóthểxảyrađiểmBnằmgiữahaiđiểmAvàC. Tacó:AC=AB+BC AC=12+13,5=25,5(cm). VậyAC=25,5(cm). Bài tập 4. ĐoạnthẳngABcóđộdài28cm.Đượcchiathànhbađoạnthẳngkhơngbằngnhautheothứ tựAC,CDvàDB.EvàFlàtrungđiểmcủađoạnthẳngACvàDB.BiếtđộdàiđoạnEF=16cm.Tìm độdàiđoạnCD. Hướng dẫn ĐoạnABđượcchiathànhbađoạntheothứtựAC,CD,DB.Vậy,haiđiểmCvàDnằmgiữahaiđiểm AvàB,hayđoạnthẳngCDnằmgiữahaiđoạnthẳngACvàDB. 17 ElàtrungđiểmcủaACnên AE AC 2 (1) FlàtrungđiểmcủaDBnên FB DB 2 (2) Từ(1)và(2)có: AE FB AC DB AC BD AE FB 2 2 2 TrongđóAE+FB=AB–EF. Vậy, AE FB AC BD 28 16 12 2 Suyra:AC+BD=24(cm). VậyđoạnCD=AB–(AC+BD)=28–24=4(cm). Bài tập 5. ChođoạnthẳngAB=6cm.TrêntiađốicủatiaABlấyđiểmC.BiếtElàtrungđiểmcủa đoạnthẳngCA,FlàtrungđiểmcủađoạnthẳngCB. a)ChứngtỏrằngđộdàiđoạnCBlớnhơnđộdàiđoạnCA. b)TìmđộdàiđoạnEF. Hướng dẫn a)ĐiểmCthuộctiađốicủatiaAB,nênđiểmAnằmgiữahaiđiểmBvàC. Vậytacó:BC=BA+AC. ĐộlớncủacácđoạnBC,BA,BClàcácsốdương,nêntổnghaisốphảilớnhơnmộtsốhạng. Vậy,BCphảilớnhơnAC. CB 2 (1) CA 2 (2) b)FlàtrungđiểmcủađoạnCB,nên: CF ElàtrungđiểmcủađoạnCA,nên: CE MàCA EF=CF–CE Thay(1)và(2)vào(3),tacó: EF (3) CB CA CB CA AB 6 3(cm ) . 2 2 2 2 2 VậyEF=3cm. Bài tập 6. ĐoạnthẳngABcóđộdàibằngađượcchiathànhbađoạnthẳngbởihaiđiểmchiaP,Qtheo thứtựlàđoạnAP,PQvàQBsaochoAP=2PQ=2QB.Tìmkhoảngcáchgiữa a)ĐiểmAvàđiểmIlàtrungđiểmcủaQB b)ĐiểmElàtrungđiểmcủađoạnAPvàđiểmI Hướng dẫn 18 a)ĐoạnABđượcchiathànhbađoạntheothứtựAP,PQ,QB. VậyAB=AP+PQ+QB. MàAP=2PQ (1) 2QP 2QB PQ QB (2) (3) (4) VậyAB=2QB+BQ+QB AB=4QB IlàtrungđiểmcủaQB,nên: IB QB 2 IlàtrungđiểmcủaQB,màQnằmgiữahaiđiểmAvàB,nênIcũngnằmgiữahaiđiểmAvàB. Vậytacó:AB=AI+IB AB 4QB QB Từ(3)tacó: IB Vậy QB AB 2 8 (5) AB QB AB 4 2 8 . (6) Thay(6)vào(5)có: AB AB 8 AB AB 7 AB 7 a AI AB AI (cm) 8 8 8 8 8 AB AI (alàđộdàiđoạnAB). b)Theo(3):AB=4QB. Theo(1):2QB=AP. AB 2 AP AP Vậytasuyra: AB 2 EP MàElàtrungđiểmcủaAP,nên AP AB 2 4 . (7) (8) (9) QB AB 8 Theo(6): 2 SuyraQB= Theo(6): AB AB ,màPQ+QB,vậy:PQ= . 4 4 QB AB AB . QB 2 8 4 MàIlàtrungđiểmcủaQB,nên QI Thay QB AB AB ,có QI 4 8 QB . 2 19 Theođầubài,đoạnABđượcchiathànhbađoạnthẳngtheothứtựAP,PQ,QBnênEI=EP+PQ+QI Thay(7),(8),(9)vào(10)có:EI= EI (10) AB AB AB + + 4 4 8 5 AB 5a EI (cm) ,(alàđộdàiđoạnAB). 8 8 Bài tập 7: TrêntiaOxvẽcácđiểmM1;M2;M3saochoOM1=12cm;OM2=19cm;OM3=26cm.Điểm M2cólàtrungđiểmcủađoạnthẳngM 1M3haykhơng?Vìsao? Hướng dẫn TrêntiaOxtacóOM1 (1) TínhđượcM2M3=7cm TínhđượcM1M2=7cm SuyraM 1M2=M2M3 (2) Từ(1);(2)=>M2làtrungđiểmcủađoạnthẳngM1M3 Bài tập 8: ChođoạnthẳngABvàtrungđiểmMcủanó.ChứngtỏrằngnếuClàđiểmthuộctiađốicủa tiaBAthì CM CA CB 2 Hướng dẫn A CA=MA+CM M C B CB=MB-CM TrừđượcCA-CB=2CM(DoMA=MB) CM CA CB 2 Bài 10: Trêntia Ox cho 4 điểm A, B , C , D ,biếtrằng A nằmgiữa B và C ; B nằmgiữa C và D ; OA 5cm; OA 2cm; BC 4cm vàđộdài AC gấpđơiđộdài BD .Tínhđộdàicácđoạn BD; AC . Hướng dẫn O B D A Vì A nằmgiữa B và C nên BA AC BC BA AC 4 (1) Lậpluận B nằmgiữa A và D . Theogt OD OA D nằmgiữa O và A . Mà OD DA OA 2 DA 5 DA 3cm Tacó DB BA DA DB BA 3 (2) (1)-(2)=> AC BD 1 (3) Theođềra: AC 2 BD thayvào(3) Tacó 2 BD BD 1 BD 1 C x 20 AC 2 BD AC 2cm Bài 11: Gọi A và B làhaiđiểmtrêntia Ox saocho OA 4cm; OB 6cm .Trêntia BA lấyđiểm C saocho BC 3cm .Sosánh AB với AC . Hướng dẫn O C A B x Haiđiểm A và B trêntia Ox mà OA OB (4 6) nênđiểm A nằmgiữa O và B Suyra AB OB OA ; AB 6 4 2(cm) Haiđiểm A và C trêntia BA BC (2 3) nênđiểm A nằmgiữahaiđiểm B và C Suyra AC BC BA 3 2 1(cm) Vậy AB AC (2 1) . Bài 12: Trêntia Ox cho 4 điểm A, B, C , D .Biếtrằng A nằmgiữa B và C ; B nằmgiữa C và D ; OA 7cm; OD 3cm; BC 8cm và AC 3 BD . a) Tínhđộdài AC . b)Chứngtỏrằng:Điểm B làtrungđiểmcủađoạnthẳng AD . Hướng dẫn a)Tínhđộdài AC . O A DxB 3x C x Đặt BD x(cm) AC 3x(cm) Vì D nằmgiữa O và A (Do OD OA )nên: OD DA OA DA 4 DB BA 4 hay x BA 4 (1) Vì A nằmgiữa B và C nên: BA AC BC hay 3 x BA 8 (2) Từ(1)và(2)tacó: (3 x BA) ( x BA) 8 4 2x 4 x 2 AC 3.2 6(cm) b)Chứngtỏrằng:Điểm B làtrungđiểmcủađoạnthẳng AD . Theo(1)tacó: x BA 4 mà x 2 BA 2 Mà BD x 2 BD BA( 2) B làtrungđiểmcủađoạnthẳng AD . Bài 13: Trêntia Ox lấyhaiđiểm M và N ,saocho OM 3cm và ON 7cm . a)Tínhđộdàiđoạnthẳng MN . b)Lấyđiểm P trêntia Ox ,saocho MP 2cm .Tínhđộdàiđoạnthẳng OP . c)Trongtrườnghợp M nằmgiữa O và P .Chứngtỏrằng P làtrungđiểmcủađoạnthẳng MN . 21 Hướng dẫn O M P N P x a)Do M , N cùngthuộctia Ox mà OM ON nên M nằmgiữahaiđiểm O và N OM ON ON 3 MN 7 MN 7 3 4(cm) Vậy MN 4(cm) . b) TH1:Nếu P nằmgiữa M và N thì M nằmgiữa O và P OP OM MP OP 3 2 5(cm) TH2:Nếu P nằmgiữa O và M OM OP PM 3 OP 2 OP 1(cm) . c) M nằmgiữa O và P OP 5(cm) ON 7(cm) nên P nằmgiữa O và N OP PN ON 5 PN 7 PN 2(cm) Dođó: MP PN ,mà P nằmgiữa M và N nên P làtrungđiểmcủa MN Bài 14: Chođườngthẳng xy .Trên xy lấy 3 điểm A, B, C saocho AB a(cm); AC b(cm) (b a) . Gọi I làtrungđiểmcủa AB . a)Tính IC ? b)Lấy 4 điểm M ; N ; P; Q nằmngoàiđườngthẳng xy .Chứngtỏrằngđườngthẳng xy hoặckhông cắt,hoặccắtba,hoặccắtbốnđoạnthẳngtrongcácđoạnthẳngsau: MN , MP, MQ, NP, NQ, PQ . Hướng dẫn a)TH1: B, C nằmcùngphíavớinhausovớiđiểm A x Tínhđược IC b a A I B A I B C y 2 TH2: B, C nằmkhácphíasovớiđiểm A . x a Tínhđược IC b 2 C y b) *)TH1:Nếucả 4 điểmcùngthuộcmộtnửamặtphẳngbờlàđườngthẳng xy thìđườngthẳng xy khôngcắtcácđoạnthẳng: MN , MP, MQ, NP, NQ, PQ . 22 *)TH2:Nếucó 3 điểm(giảsử: M ; N ; P )cùngthuộcmộtnửamặtphẳngbờlàđườngthẳngcịn 1 điểm Q nằmkhácphíabờlàđườngthẳng xy thìđườngthẳng xy cắt 3 đoạnthẳngsau: MQ, NQ, PQ . *)TH3:Nếucó 2 điểm(giảsử M ; N )cùngthuộcmộtnửamặtphẳngbờlàđườngthẳngcịn 2 điểm ( P; Q) nằmkhácphíabờlàđườngthẳng xy thìđườngthẳng xy cắt 4 đoạnthẳngsau: MP; MQ; NP; NQ . Bài tập 15: ChođoạnthẳngAB,điểmOthuộctiađốicủatiaAB.GọiM,Nthứtựlàtrungđiểmcủa OA,OB. a)ChứngtỏrằngOA c)LấyđiểmPnằmngồiđườngthẳngAB.ChoHlàđiểmnằmtrongtamgiácONP.Chứngtỏrằng tiaOHcắtđoạnNPtạimộtđiểmEnằmgiữaNvàP Hướng dẫn P E H O M A N B a)HaitiaAOvàABlàhaitiađốinhau SuyrađiểmAnằmgiữađiểmOvàđiểmB VậyOA SuyraOM=(1/2).OA,ON=(1/2).OB TheocâuavìOA SuyraOM+MN=ON SuyraMN=ON–OM MN=(1/2).OB–(1/2).OA=(1/2).(OB–OA)=(1/2)AB ABcóđộdàikhơngđổinênMNkhơngđổi c)ĐiểmHnằmtrongtamgiácONPsuyraHnằmtronggócO SuyratiaOHnằmgiữahaitiaONvàOP P,NlàcácđiểmkhơngtrùngOvàthuộccáctiaON,OP SuyratiaOHcắtđoạnNPtạiđiểmEnămgiữaNvàP 23 Bài tập 16: Chođoạnthẳng AB,điểmOthuộctiađốicủatiaAB.GọiM,Nthứtựlàtrungđiểmcủa OA,OB. a)ChứngtỏrằngOA c)ChứngtỏrằngđộdàiđoạnthẳngMNkhơngphụthuộcvàovịtrícủađiểmO(Othuộctiađốicủatia AB). Hướng dẫn o m a n b a)HaitiaAO,ABđốinhau,nênđiểmAnằmgiữahaiđiểmOvàB OA OA OB ; ON 2 2 VìOA MN ON OM MN OB OA AB 2 2 VìABcóđộdàikhơngđổi,nênMNcóđộdàikhơngđổi,hayđộdàiđoạnthẳngMNkhơngphụthuộc vàovịtrícủađiểmO(OthuộctiađốicủatiaAB). Bài tập 17 :TrêntiaOxxácđịnhcácđiểmAvàBsaochoOA=a(cm),OB=b(cm) a)TínhđộdàiđoạnthẳngAB,biếtb 1 b)XácđịnhđiểmMtrêntiaOxsaochoOM= (a+b). 2 Hướng dẫn a)VìOB |
