Cho hàm số y = f[x] xác định trên tập D.
Giá trị lớn nhất của hàm số
Số M là giá trị lớn nhất [GTLN] của hàm số f trên D
⇔f[x]≤M,∀x∈D
∃x0∈D sao cho f[x0]=M
Kí hiệu : M=maxD f[x].
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
Số m là giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số f trên D
⇔f[x]≥m,∀x∈D
∃x0∈D sao cho f[x0]=m
Kí hiệu: m=minD f[x].
II. Cách tính giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Định lí
Hàm số liên tục trên một đoạn thì có GTLN và GTNN trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f[x] liên tục trên đoạn [a ; b]
- Tìm các điểm xi ∈ [a ; b][i = 1, 2, . . . , n] mà tại đó f'[xi] = 0 hoặc f'[xi] không xác định.
- Tính f[a], f[b], f[xi] [i = 1, 2, . . . , n] .
- Khi đó: max [a;b] f[x]=max {f[a];f[b];f[xi]}
min [a;b] f[x]=min {f[a];f[b];f[xi]}
III. Chú ý
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f[x] xác định trên tập hợp D, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
Bài tập giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
Bài 1 : Tính giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất
Lời giải A
Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = x² trên đoạn [-3; 0];
Lời giải chi tiết:
y’ = 2x ≤ 0 trên đoạn [-3; 0].
Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [-3,0].
Khi đó trên đoạn [-3,0]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = -3 và giá trị lớn nhất bằng 9, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 và giá trị nhỏ nhất = 0.
Lời giải B
y=x+1x−1y=x+1x−1 trên đoạn [3; 5].
Lời giải chi tiết:
y′=−2[x−1]2