Bài 1 trang 121 sgk đại số 11
Có \[1 kg\] chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian \[T = 24 000\] năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người [\[T\] được gọi là chu kì bán rã].
Gọi \[[u_n]\] là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ \[n\].
a] Tìm số hạng tổng quát \[u_n\] của dãy số \[[u_n]\].
b] Chứng minh rằng \[[u_n]\] có giới hạn là \[0\].
c] Từ kết quả câu b], chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \[10^{-6}g\].
Hướng dẫn giải:
a] Nhận xét: \[u_1=\frac{1}{2}\]; \[u_2= \frac{1}{4}\]; \[u_3=\frac{1}{8}\]; ... \[u_n=\frac{1}{2^{n}}\].
Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.
b] \[\lim {u_n} = \lim {\left[ {{1 \over 2}} \right]^n} = 0\].
c] Đổi \[10^{-6}g = \frac{1}{10^{6}} . \frac{1}{10^{3}}kg = \frac{1}{10^{9}} kg\].
Muốn có \[u_n= \frac{1}{2^{n}}\] {10^9}\]. Suy ra \[n_0= 30\]. Nói cách khác, sau chu kì thứ \[30\] [nghĩa là sau \[30.24000 = 720000\] [năm]], chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.
Bài 2 trang 121 sgk đại số 11
Biết dãy số \[[u_n]\] thỏa mãn \[|u_n-1| < \frac{1}{n^{3}}\] với mọi \[n\]. Chứng minh rằng \[\lim u_n=1\].
Giải:
Vì \[\lim \frac{1}{n^{3}}\] = 0 nên |\[\frac{1}{n^{3}}\]| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, ta có \[|u_n-1| < \frac{1}{n^{3}}\] = |\[\frac{1}{n^{3}}\]| với mọi \[n\]. Nếu \[|u_n-1|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \[\lim [u_n-1] = 0\]. Do đó \[\lim u_n= 1\].
Bài 3 trang 121 sgk đại số 11
Tìm giới hạn sau:
a] \[\lim \frac{6n - 1}{3n +2}\];
b] \[\lim \frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}\];
c] \[\lim \frac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}\];
d] \[\lim\frac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\].
Giải:
a] \[\lim \frac{6n - 1}{3n +2}\] \[= \lim\frac{6 - \frac{1}{n}}{3 +\frac{2}{n}}\] = \[\frac{6}{3} = 2\].
b] \[\lim \frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}\]\[ = \lim \frac{3 +\frac{1}{n}-\frac{5}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}= \frac{3}{2}\].
c] \[\lim \frac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}\]\[= \lim \frac{{\left[ {{3 \over 4}} \right]^n}+5}{1+{\left[ {{1 \over 2}} \right]^n}}=\frac{5}{1}\] = 5.
d] \[\lim \frac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\] = \[\lim \frac{\sqrt{{n^2}\left[ {9 - {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} \right]}}{n[4-\frac{2}{n}]}\]= \[\lim \frac{\sqrt{9-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}{4-\frac{2}{n}}\] =\[\frac{\sqrt{9}}{4}\]= \[\frac{3}{4}\].
Bài 4 trang 122 sgk đại số 11
Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng \[1\]. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu \[1, 2, 3, ..., n, ...\] trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó [h.51]
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
a] Gọi \[u_n\] là diện tích của hình vuông màu xám thứ \[n\]. Tính \[u_1, u_2, u_3\] và \[u_n\].
b] Tính \[\lim S_n\] với \[S_n= {u_{1}} + {u_{2}} + {u_{3}} + ... + {u_{n}}\]
Giải:
a] Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng \[\frac{1}{2}\] nên
\[u_1 =[\frac{1}{2}\]]2 = \[\frac{1}{4}\].
Hình vuông thứ hai có cạnh bằng \[\frac{1}{4}\] nên \[{u_2} = {\left[ {{1 \over 4}} \right]^2} = {1 \over {{4^2}}}\].
Hình vuông thứ ba có cạnh bằng \[\frac{1}{8}\] nên \[{u_3} = {\left[ {{1 \over 8}} \right]^2} = {1 \over {{4^3}}}\]
Tương tự, ta có \[u_n=\frac{1}{4^{n}}\]
b] Dãy số \[[u_n]\] là một cặp số nhân lùi vô hạn với \[u_1=\frac{1}{4}\] và \[q = \frac{1}{4}\]. Do đó
\[\lim S_n=\frac{u_{1}}{1-q}= \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\].
Giaibaitap.me
Page 2
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 3
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 4
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 5
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 6
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 7
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 8
Bài 5 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \[y = x^3\]:
a] Tại điểm có tọa độ \[[-1;-1]\];
b] Tại điểm có hoành độ bằng \[2\];
c] Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[3\].
Giải:
Bằng định nghĩa ta tính được \[y' = 3x^2\].
a] \[y' [-1] = 3\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[3\]. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \[[-1;-1]\] là \[y - [-1] = 3[x - [-1]]\] hay \[y = 3x+2\].
b] \[y' [2] = 12\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[12\]. Ngoài ra ta có \[y[2] = 8\]. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng \[2\] là: \[ y - 8 = 12[x - 2]\]
hay \[y = 12x -16\].
c] Gọi \[x_0\] là hoành độ tiếp điểm. Ta có:
\[y' [x_0] = 3 \Leftrightarrow 3{x_0}^2= 3\Leftrightarrow {x_0}^2= 1\Leftrightarrow x_0= ±1\].
+] Với \[x_0= 1\] ta có \[y[1] = 1\], phương trình tiếp tuyến là
\[ y - 1 = 3[x - 1]\] hay \[y = 3x - 2\].
+] Với \[x_0= -1\] ta có \[y[-1] = -1\], phương trình tiếp tuyến là
\[y - [-1] = 3[x - [-1]]\] hay \[y = 3x + 2\].
Bài 6 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \[y = \frac{1}{x}\]:
a] Tại điểm \[[ \frac{1}{2} ; 2]\]
b] Tại điểm có hoành độ bằng \[-1\];
c] Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -\[ \frac{1}{4}\].
Giải:
Bằng định nghĩa ta tính được \[y' = - \frac{1}{x^{2}}\].
a] \[y' \left [ \frac{1}{2} \right ]= -4\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[-4\]. Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \[[ \frac{1}{2} ; 2]\] là \[y - 2 = -4[x - \frac{1}{2}]\] hay \[y = -4x + 4\].
b] \[y' [-1] = -1\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[-1\]. Ngoài ra, ta có \[y[-1] = -1\]. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là \[-1\] là \[y - [-1] = -[x - [-1]]\] hay \[y = -x - 2\].
c] Gọi \[x_0\] là hoành độ tiếp điểm. Ta có
\[y' [x_0] = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - \frac{1}{x_{0}^{2}} = - \frac{1}{4}\]\[\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}= ±2\].
Với \[x_{0}= 2\] ta có \[y[2] = \frac{1}{2}\], phương trình tiếp tuyến là
\[y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}[x - 2]\] hay \[y = \frac{1}{4}x + 1\].
Với \[x_{0} = -2\] ta có \[y [-2] = - \frac{1}{2}\], phương trình tiếp tuyến là
\[y - \left [ -\frac{1}{2} \right ] = - \frac{1}{4}[x - [-2]]\] hay \[y = - \frac{1}{4}x -1\]
Bài 7 trang 157 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Một vật rơi tự do theo phương trình \[s = {1 \over 2}g{t^2}\] , trong đó \[g ≈ 9,8\] m/s2 là gia tốc trọng trường.
a] Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t [t = 5s] đến \[t + ∆t\], trong các trường hợp \[∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s\].
b] Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[t = 5s\].
Giải:
a] Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ \[t\] đến \[t + ∆t\] là
\[V_{tb}= \frac{s\left [ t+\Delta t \right ]-s\left [ t \right ]}{\Delta t}= \frac{\frac{1}{2}g\cdot \left [ t+\Delta t \right ]^{2}-\frac{1}{2}g\cdot t^{2}}{\Delta t} ={1 \over 2}g[2t + \Delta t] \approx 4,9.[2t + \Delta t]\]
Với \[ t=5\] và
+] \[∆t = 0,1\] thì \[v_{tb}≈ 4,9. [10 + 0,1] ≈ 49,49 m/s\];
+] \[∆t = 0,05\] thì \[v_{tb}≈ 4,9. [10 + 0,05] ≈ 49,245 m/s\];
+] \[∆t = 0,001\] thì \[v_{tb} ≈ 4,9. [10 + 0,001] ≈ 49,005 m/s\].
b] Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[t = 5s\] tương ứng với \[∆t = 0\] nên \[v ≈ 4,9 . 10 = 49 m/s\].
Giaibaitap.me
Page 9
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 10
Bài 1 trang 168 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = \frac{x-1}{5x-2}\];
b] \[y = \frac{2x+3}{7-3x}\];
c] \[y = \frac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\];
d] \[y = \frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\].
Lời giải:
a] \[ y'=\frac{\left [ x-1 \right ]'.\left [ 5x-2 \right ]-\left [ x-1 \right ].\left [ 5x-2 \right ]'}{\left [ 5x-2 \right ]^{2}}\] = \[ \frac{5x-2-\left [ x-1 \right ].5}{\left [ 5x-2 \right ]^{2}}\] = \[ \frac{3}{\left [ 5x-2 \right ]^{2}}\].
b] \[ y'=\frac{\left [ 2x+3 \right ]'.\left [ 7-3x \right ]-\left [ 2x+3 \right ].\left [ 7-3x \right ]'}{\left [ 7-3x \right ]^{2}}\] = \[ \frac{2\left [ 7-3x \right ]-\left [ 2x+3 \right ].\left [ -3 \right ]}{\left [ 7-3x \right ]^{2}}\] = \[ \frac{23}{\left [ 7-3x \right ]^{2}}\].
c] \[ y'=\frac{\left [ x^{2}+2x+3 \right ]'.\left [ 3-4x \right ]-\left [ x^{2} +2x+3\right ].\left [ 3-4x \right ]'}{\left [ 3-4x \right ]^{2}}\] = \[ \frac{\left [ 2x+2 \right ].\left [ 3-4x \right ]-\left [ x^{2}+2x+3 \right ].[-4]}{[3-4x]^{2}}\] = \[ \frac{-2[2x^{2}-3x-9]}{[3-4x]^{2}}\].
d] \[ y'=\frac{[x^{2}+7x+3]'.[x^{2}-3x]-[x^{2}+7x+3].[x^{2}-3x]'}{[x^{2}-3x]^{2}}\] = \[ \frac{[2x-7].[x^{2}-3x]-[x^{2}+7x+3].[2x-3]}{[x^{2}-3x]^{2}}\] = \[ \frac{-10x^{2}-6x+9}{[x^{2}-3x]^{2}}\].
Bài 2 trang 168 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Giải các bất phương trình sau:
a] \[y'0\] với \[y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\].
Lời giải:
a] Ta có \[ y'=\frac{[x^{2}+x+2]'.[x-1]-[x^{2}+x+2].[x-1]'}{[x-1]^{2}}\] = \[ \frac{x^{2}-2x-3}{[x-1]^{2}}\]
Do đó, \[y'0 \Leftrightarrow \frac{-2x^{2}+2x+9}{[x^{2}+x+4]} >0\Leftrightarrow -2x^2+2x +9>0 \]\[\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{19}}{2}\Leftrightarrow x∈ \left [ \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right ]\]
Vì \[x^2+x +4 =\] \[ \left [ x+\frac{1}{2} \right ]^{2}\]+ \[ \frac{15}{4} >0\], với \[∀ x ∈ \mathbb R\].
Bài 3 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = 5sinx -3cosx\];
b] \[ y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\];
c] \[y = x cotx\];
d] \[y = \frac{sinx}{x}\] + \[ \frac{x}{sinx}\];
e] \[y = \sqrt{[1 +2tan x]}\];
f] \[y = sin\sqrt{[1 +x^2]}\].
Lời giải:
a] \[y'=5cosx-3[-sinx]=5cosx+3sinx\];
b] \[ y'={{[sinx+cos x]'.[sin x- cos x]-[sin x+cos x][sin x-cos x]'}\over{[sin x-cos x]^{2}}}\] = \[ {{[cos x-sin x][sin x -cos x]-[sin x+ cos x][cosx+sinx]}\over{[sin x-cosx ]^{2}}}\] = \[ {{-2}\over{[sin x-cos x]^{2}}}\].
c] \[y' = cotx +x. \left [ -\frac{1}{sin^{2}x} \right ]= cotx - \frac{x}{sin^{2}x}\].
d] \[ y'=\frac{[sin x]'.x-sin x.[x]'}{x^{2}}\] +\[ \frac{[x]'.sin x-x[sin x]'}{sin^{2}x}\] = \[ \frac{x.cosx-sinx}{x^{2}}+\frac{sin x-x.cosx}{sin^{2}x}\]\[ = [x. cosx -sinx] \left [ \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{sin^{2}x} \right ]\].
e] \[ y'=\frac{[1+2tanx]'}{2\sqrt{1+2tanx}}\] = \[ \frac{\frac{2}{cos^{2}x}}{2\sqrt{1+2tanx}}\] = \[ \frac{1}{cos^{2}x\sqrt{1+2tanx}}\].
f] \[y' = [\sqrt{[1+x^2]}]' cos\sqrt{[1+x^2]} \]\[= \frac{[1+x^{2}]'}{2\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{[1+x^2]} = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{[1+x^2]}\].
Bài 4 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = \left[ {9 - 2x} \right][2{x^3} - 9{x^2} + 1]\];
b] \[y = \left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ][7x -3]\];
c] \[y = [x -2]\sqrt{[x^2+1]}\];
d] \[y = tan^2x +cotx^2\];
e] \[y = cos\frac{x}{1+x}\].
Lời giải:
a] \[y' = \left[ {9 - 2x} \right]'[2{x^3} - 9{x^2} + 1] + \left[ {9 - 2x} \right][2{x^3} - 9{x^2} + 1]'\]
\[= - 2[2{x^3} - 9{x^2} + 1] + \left[ {9 - 2x} \right][6{x^2} - 18x] \]
\[= - 16{x^3} + 108{x^2} - 162x - 2\].
b] \[y' = \left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ]'.[7x -3] +\left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ][7x -3]'\]
\[= \left [ \frac{3}{\sqrt{x}} +\frac{2}{x^{3}}\right ][7x -3] +7 \left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ]\].
c] \[y' = [x -2]'\sqrt{[x^2+1]} + [x -2]\sqrt {[x^2+1]}' \]
\[= \sqrt {[x^2+1]} + [x -2]\frac{\left [ x^{2}+1 \right ]'}{2\sqrt{x^{2}+1}}\]
\[= \sqrt {[x^2+1]} + [x -2] \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}\]
\[ = \sqrt {[x^2+1]} + \frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\] = \[ \frac{2x^{2}-2x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}\].
d] \[y' = 2tanx.[tanx]' - [x^2]' \left [ -\frac{1}{sin^{2}x^{2}} \right ]\] = \[ \frac{2tanx}{cos^{2}x}+\frac{2x}{sin^{2}x^{2}}\].
e] \[y' = \left [ \frac{1}{1+x} \right ]'sin \frac{x}{1+x}\] = \[ -\frac{1}{[1+x]^{2}}sin \frac{x}{1+x}\].
Giaibaitap.me
Page 11
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 12
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 13
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 14
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 15
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 16
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 17
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 18
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 19
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 20
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 21
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 22
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 23
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 24
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 25
Bài 1 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho điểm \[A\] không nằm trong mặt phẳng \[[α]\] chứa tam giác \[BCD\]. Lấy \[E,F\] là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh \[AB, AC\]
a] Chứng minh đường thẳng \[EF\] nằm trong mặt phẳng \[[ABC]\]
b] Khi \[EF\] và \[BC\] cắt nhau tại \[I\], chứng minh \[I\] là điểm chung của hai mặt phẳng \[[BCD]\] và \[[DEF]\]
Lời giải:
a] \[E, F ∈ [ABC] \Rightarrow EF ⊂ [ABC]\]
b] \[I ∈ EF \Rightarrow I ∈ [ DEF]\]
\[I\in BC\Rightarrow I\in[BCD]\]
Do đó \[I\] là điểm chung của hai mặt phẳng \[[BCD]\] và \[[DEF]\].
Bài 2 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11
Gọi \[M\] là giao điểm của đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[[α ]\]. Chứng minh \[M\] là điểm chung của \[[α ]\] với một mặt phẳng bất kì chứa \[d\]
Lời giải:
Hiển nhiên \[M ∈ [α ]\] , Gọi \[[β]\] là mặt phẳng bất kì chứa \[d\], ta có
\[\left\{ \matrix{ M \in d \hfill \cr
d \subset [\beta ] \hfill \cr} \right. \Rightarrow M \in [\beta ]\]
Vậy \[M\] là điểm chung của \[[α ]\] và mọi mặt phẳng \[[β]\] chứa \[d\].
Bài 3 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho ba đường thẳng \[{d_{1,}}{d_2},{d_3}\] không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Lời giải:
Gọi \[{d_{1,}}{d_2},{d_3}\] là ba đường thẳng đã cho. Gọi \[I =d_1\cap d_2\] Ta chứng minh \[I ∈ d_3\]
\[I ∈ d_1\Rightarrow I ∈ [β] = [d_1,d_3]\]
\[I ∈ d_2\Rightarrow I ∈ [\gamma] = [d_2,d_3]\]
Từ đó suy ra, \[I ∈[\beta ] \cap [\gamma ]=d_3\].
Bài 4 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho bốn điểm \[A, B, C\] và \[D\] không đồng phẳng. Gọi \[{G_{A}}^{}\], \[{G_{B}}^{}\], \[{G_{C},{G_{D}}^{}}^{}\] lần lượt là trọng tâm của tam giác \[BCD, CDA, ABD, ABC\]. Chứng minh rằng, \[A{G_{A},B{G_{B},C{G_{C},D{G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}\] đồng quy
Giải
Gọi \[I\] là trung điểm của \[CD\]. Ta có \[ G_{A}\in BI, {G_{B}}\subset AI\]. Trong \[[ABI]\] gọi \[ G = A{G_{A}}\]\[ \cap B{G_{B}}^{}\].
Dễ thấy \[ \frac{I{G_{A}}^{}}{IB}\] = \[ \frac{I{G_{B}}^{}}{IA} = \frac{1}{3}\] nên \[{G_{A}}^{}\] \[{G_{B}}^{} // AB\] và \[ \frac{GA}{G{G_{A}}^{}}\] = \[ \frac{AB}{{G_{A}{G_{B}}^{}}^{}}\] = 3
Lí luận tương tự, ta có \[C{G_{C}}^{},D{G_{D}}^{}\] cũng cắt \[A{G_{A}}^{}\] tại \[G'\], \[G''\] và \[ \frac{G'A}{G'{G_{A}}^{}}\] = 3, \[ \frac{G''A}{G''{G_{A}}^{}}= 3\]
Như vậy \[G ≡ G' ≡ G''\].
Bài 5 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11
Bài 5. Cho tứ giác \[ABCD\] nằm trong mặt phẳng \[[α]\] có hai cạnh \[AB\] và \[CD\] không song song. Gọi \[S\] là điểm nằm ngoài mặt phẳng \[[α]\] và \[M\] là trung điểm đoạn \[SC\].
a] Tìm giao điểm \[N\] của đường thẳng \[SD\] và mặt phẳng \[[MAB]\]
b] Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Chứng minh rằng ba đường thẳng \[SO, AM, BN\] đồng quy
Lời giải:
a] Trong mặt phẳng \[[α]\] vì \[AB\] và \[CD\] không song song nên \[AB ∩ DC = E\]
=> \[E ∈ DC\], mà \[DC ⊂ [SDC]\]
=> \[E ∈ [ SDC]\]. Trong \[[SDC]\] đường thẳng \[ME\] cắt \[SD\] tại \[N\]
=> \[N ∈ ME\] mà \[ME ⊂ [MAB]\]
=> \[N ∈ [ MAB]\]. Lại có \[N ∈ SD => N = SD ∩ [MAB]\]
b] \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]\[ => O\] thộc \[AC\] và \[BD\], mà \[AC ⊂ [ SAC]\]
=> \[O ∈[ SAC], BD ⊂ [SBD] , O ∈ [SBD]\]
=> \[O\] là một điểm chung của \[[SAC]\] và \[[SBD]\], mặt khác \[S\] cũng là điểm chung của \[[SAC]\] và \[[SBD] => [SAC] ∩ [SBD] = SO\]
Trong mặt phẳng \[[AEN]\] gọi \[I = AM ∩ BN\] thì \[I\] thuộc \[AM\] và \[I\] thuộc \[BN\]
Mà \[AM ⊂ [SAC] => I ∈ [SAC], BN ⊂ [ SBD] => I ∈ [SBD]\]. Như vậy \[I\] là điểm chung của \[[SAC]\] và \[[SBD]\] nên \[I\] thuộc giao tuyến \[SO\] của \[[SAC]\] và \[[SBD]\] tức là \[S, I, O\] thẳng hàng hay \[SO, AM, BN\] đồng quy.
Giaibaitap.me
Page 26
Bài 6 trang 54 SGK Hình học 11
Cho bốn điểm \[A,B,C\] và \[D\] không đồng phẳng. Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[AC\] và \[BC\]. Trên đoạn \[BD\] lấy điểm \[P\] sao cho \[BP=2PD\].
a] Tìm giao điểm của đường thẳng \[CD\] và mặt phẳng \[[MNP]\].
b] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[[MNP]\] và \[[ACD]\].
Giải
a] Trong \[[BCD]\], gọi \[I\] là giao điểm của \[NP\] và \[CD\].
\[I\in NP\subset [MNP]\] do đó \[CD\cap [MNP]=I\].
b] Trong \[[ACD]\], gọi \[J=MI\cap AD\]
\[J\in AD\subset [ACD]\], \[M\in AC\subset [ACD]\]
Do đó \[[MNP]\cap[ACD]=MI\].
Bài 7 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho bốn điểm \[A, B, C\] và \[D\] không đồng phẳng. Gọi \[I,K\] lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng \[AD\] và \[BC\]
a] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[[IBC]\] và \[[KAD]\]
b] Gọi \[M\] và \[N\] là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng \[AB\] và \[AC\]. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[[IBC]\] và \[[DMN]\].
Lời giải:
a] Chứng minh \[I, K\] là hai điểm chung của \[[BIC]\] và \[[AKD]\]
\[I\in AD\Rightarrow I\in[KAD]\Rightarrow I\in[KAD]\cap [IBC]\],
\[K\in BC\Rightarrow K\in[BIC]\Rightarrow K\in[KAD]\cap [IBC]\],
Hay \[KI=[KAD]\cap [IBC]\]
b] Trong \[ACD]\] gọi \[E = CI ∩ DN\Rightarrow E\in [IBC]\cap [DMN]\]
Trong \[[ABD]\] gọi \[F = BI ∩ DM\Rightarrow F\in [IBC]\cap [DMN]\].
Do đó \[EF=[IBC]\cap [DMN]\]
Bài 8 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB\] và \[CD\] trên cạnh \[AD\] lấy điểm \[P\] không trùng với trung điểm của \[AD\]
a] Gọi \[E\] là giao điểm của đường thẳng \[MP\] và đường thẳng \[BD\]. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[[PMN]\] và \[[BCD]\]
b] Tìm giao điểm của mặt phẳng \[[PMN]\] và \[BC\].
Lời giải:
a] Ta có \[E\in BD\Rightarrow E\in[BCD]\]
\[E\in MP\Rightarrow E\in[PMN]\]
Do đó: \[E\in [BCD]\cap[PMN]\]
\[N\in CD\Rightarrow N\in[BCD]\]
\[N \in[PMN]\]
Do đó: \[N\in [BCD]\cap[PMN]\]
\[=> [PMN] ⋂ [BCD] = EN\]
b] Trong mặt phẳng \[[BCD]\] gọi \[Q\] là giao điểm của \[NE\] và \[BC\] thì \[Q\] là giao điểm của \[[PMN]\] và \[BC\].
Bài 9 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành \[ABCD\]. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng \[d\] đi qua \[A\] và không song song với các cạnh của hình bình hành, \[d\] cắt đoạn \[BC\] tại \[E\]. Gọi \[C'\] là một điểm nằm trên cạnh \[SC\]
a] Tìm giao điểm \[M\] của \[CD\] và mặt phẳng \[[C'AE]\]
b] Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \[[C'AE]\]
Lời giải:
a] Trong \[[ABCD]\] gọi \[M = AE ∩ DC \Rightarrow M ∈ AE\],
\[AE ⊂ [ C'AE] \Rightarrow M ∈ [ C'AE]\].
Mà \[M ∈ CD \Rightarrow M = DC ∩ [C'AE]\]
b] Trong \[[SDC] : MC' ∩ SD = F\]. Do đó thiết diện là \[AEC'F\].
Bài 10 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho hình chóp \[S. ABCD\] có \[AB\] và \[CD\] không song song. Gọi \[M\] là một điểm thuộc miền trong của tam giác \[SCD\]
a] Tìm giao điểm \[N\] của đường thẳng \[CD\] và mặt phẳng \[[SBM]\]
b] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[[SBM]\] và \[[SAC]\]
c] Tìm giao điểm \[I\] của đường thẳng \[BM\] và mặt phẳng \[[SAC]\]
d] Tìm giao điểm \[P\] của \[SC\] và mặt phẳng \[[ABM]\], từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \[[SCD]\] và \[[ABM]\]
Lời giải:
a] Trong \[[SCD]\] kéo dài \[SM\] cắt \[CD\] tại \[N\]. Do đó: \[N=CD\cap[SBM]\]
b] \[[SBM] ≡ [SBN]\].
Trong \[[ABCD]\] gọi \[O=AC\cap BN\]
Do đó: \[SO=[SAC]\cap[SBM]\].
c] Trong \[[SBN]\] gọi \[I\] là giao của \[MB\] và \[SO\].
Do đó: \[I=BM\cap [SAC]\]
d] Trong \[[ABCD]\] , gọi giao điểm của \[AB\] và \[CD\] là \[K\].
Trong \[[SCD]\], gọi \[P= MK\cap SC\]
Do đó: \[P=SC\cap [ABM]\]
Trong \[[SDC]\] gọi \[Q=MK\cap SD\]
Từ đó suy ra được giao tuyến của hai mặt phẳng \[[SCD]\] và [\[ABM]\] là \[KQ\].
Giaibaitap.me