Giải phương trình chứa dấu căn lớp 9
|
Bài tập Giải phương trình chứa dấu căn có đáp án Show Bài tập Giải phương trình chứa dấu căn có đáp ánGiải các phương trình sau: Bài 1:
 Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Đáp án và hướng dẫn giải Bài 1:
ĐK: x ≥ 0; y ≥ 1 Phương trình tương đương với:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 5)
ĐK: x ≥ 2; y ≥ 3; z ≥ 5 Phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 7; 14)
ĐK: x ≥ -1; y ≥ -2; z ≥ -3 Phương trình tương đương với:
Phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 7; 13) Bài 2:
ĐK: x ≥ 0 Trục căn thức ở mẫu, phương trình có dạng:
⇔ x + 3 = x + 2√x + 1 ⇔ √x = 1 ⇔ x = 1 (TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
ĐK x ≥ 1 Phương trình có dạng:
⇔ x = 2 (TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
Phương trình có nghiệm x = ±√7
ĐK: x ≥ (-1)/2 Phương trình có dạng:
+ Xét 1/2 ≤ x < 1, phương trình có dạng:
⇔ 2x – 1 = 1 ⇔ x = 1 (không TMĐK) + Xét 1 ≤ x < 5/2,phương trình có dạng:
⇔ phương trình nghiệm đúng với 1 ≤ x < 5/2 + Xét 5/2 ≤ x < 5,phương trình có dạng:
⇔ x = 5/2 (TMĐK) + Xét x ≥ 5, phương trình có dạng:
⇔ x = 13 (TMĐK) Vậy nghiệm của phương trình là: 1 ≤ x ≤ 5/2;x = 13
ĐKXĐ: x ≥ 5/2.Phương trình có dạng:
Giải ra ta có nghiệm 5/2 ≤ x ≤ 3
Giải ra ta có nghiệm là 1 ≤ x ≤ 10 Bài 3: Cách giải tương tự VD2 a) Phương trình có nghiệm duy nhất x = -3 b) Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 Bài 4:
ĐKXĐ: x ≥ 1/3
Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2/3
Cách giải tương tự câu a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
Phương trình viết dưới dạng
Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 d) Phương trình viết dưới dạng
Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 e) Phương trình có nghiệm x = 0; x =1 Bài 5:
Dấu bằng xảy ra khi x = -2; y = 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-2; 2)
-2(x – 2)2 + 5 ≤ 5 ∀x Khi đó phương trình tương đương với:
Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại duongleteach.com
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a, $\sqrt{x+2}=3x-4$ b, $\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$ c, $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$ Hướng dẫn: a, $\sqrt{x+2}=3x-4$ ĐKXĐ: $x\geq \frac{4}{3}$ $\sqrt{x+2}=3x-4$ <=> x + 2 = (3x – 4) $^{2}$ <=> 9$^{2}$ - 25x + 4 = 0 <=> (9x – 7)(x - 2) = 0 <=> 9x – 7 = 0 hoặc x – 2 = 0 <=> x = $\frac{7}{9}$ hoặc x = 2 Kết hợp với điều kiện $x\geq \frac{4}{3}$ => phương trình có nghiệm x = 2. Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2} b, $\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$ ĐKXĐ: $x\geq 3$ $\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$ <=> x – 3 = x$^{2}$ - 5x + 6 <=> x$^{2}$ - 6x + 9 <=> (x – 3) $^{2}$ = 0 <=> x – 3 = 0 <=> x = 3 Kết hợp với điều kiện $x\geq 3$ => x = 3 là nghiệm của phương trình Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3} c, $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$ ĐKXĐ: $x\geq -2$ $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$ <=> $(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7})^{2}=25$ <=> 2x + 9 + 2$\sqrt{(x+2)(x+7)}$ = 25 <=> $\sqrt{x^{2}+9x+14}$ = 8 – x <=> $\left\{\begin{matrix}x^{2}+9x+14=(8-x)^{2} && \\ 8-x\geq 0 && \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}25x=50 && \\ x\leq 8 && \end{matrix}\right.$ <=> x = 2 Kết hợp với điều kiện $x\geq -2$ => x = 2 là nghiệm của phương trình Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2} 2. Nhân biểu thức liên hợp
Ví dụ 2: Giải phương trình: $3\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3x-2$ Hướng dẫn: ĐKXĐ: $x\geq 2$ Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình, như vậy phương trình có thể phanan tích về dạng (x - 3).A(x) = 0. Ta tách và nhóm như sau: $3\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3x-2$ <=> $3(\sqrt{x+1}-2)+(\sqrt{x+2}+1)=3x-9$ <=> $\frac{3.(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{\sqrt{x}+2}+\frac{(\sqrt{x-2}-1)(\sqrt{x-2}+1)}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$ <=> $3\frac{(x+1)-4}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{(x-2)-1}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$ <=> $3\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$ <=> $(x-3).\left ( \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right )=0$ <=> x - 3 = 0 (1) hoặc $\left ( \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right )=0$ (2) Với điều kiện $x\geq 2$ ta có $\sqrt{x}+2>2$ và $\sqrt{x-2}+1\geq 1$, kéo theo $\left ( \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right )<\frac{3}{2}+1-3<0$ Do đó phương trình (2) vô nghiệm. Xét phương trình (1) x - 3 = 0 <=> x = 3 Kết hợp với điều kiện $x\geq 2$ => phương trình dã cho có nghiệm x = 3. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3} 3. Đưa về phương trình trị tuyệt đối
$\sqrt{f^{2}(x)}=g(x)$ <=> |f(x)| = g(x) <=> $\left\{\begin{matrix}f(x)=g(x)(f(x)\geq 0) & & \\ f(x)=-g(x)(f(x)<0) & & \end{matrix}\right.$ Ví dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}-2x+1}=3x+2$ Hướng dẫn: $\sqrt{x^{2}-2x+1}=3x+2$ <=> $\sqrt{(x-1)^{2}}=3x+2$ <=> |x - 1| = 3x + 2 Với $x - 1\geq 0$ <=> $x\geq 1$, ta có: x - 1 = 3x + 2 <=> x = $\frac{-3}{2}$ (loại vì không thảo mãn $x\geq 1$) Với x -1 < 0 <=> x < 1, ta có: x - 1 = -3x -2 <=> x = $\frac{-1}{4}$ (thỏa mãn x < 1) Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {$\frac{-1}{4}$} 4. Đặt ẩn phụ
Ví dụ 4: Giải phương trình sau: $x^{2}-2x+3\sqrt{x^{2}-2x-3}=7$ Hướng dẫn: ĐKXĐ: $x^{2}-2x-3\geq 0$ $x^{2}-2x+3\sqrt{x^{2}-2x-3}=7$ <=> $x^{2}-2x-3+3\sqrt{x^{2}-2x-3}-4=0$ Đặt t = $\sqrt{x^{2}-2x-3}$ (t $\geq 0$), phương trình trở thành: t$^{2}$ + 3t - 4 = 0 <=> (t + 4)(t - 1) = 0 <=> t + 4 = 0 hoặc t - 1 = 0 <=> t = - 4 (loại) hoặc t = 1 (tm) + Với t = 1 <=> $\sqrt{x^{2}-2x-3}$ = 1 <=> $x^{2}-2x-3=1$ <=> x = $1-\sqrt{5}$ hoặc x = $1+\sqrt{5}$ Kiểm tra thấy hai nghiệm đều thỏa mãn. Vật tập nghiệm của phương trình S = {$1-\sqrt{5}$; $1+\sqrt{5}$} 5. Đánh giá biểu thức dưới dấu căn
+ Cách 1: Dùng hằng đẳng thức Đưa 1 vế về dạng $A^{2}+B^{2}=0$ Phương trình có nghiệm <=> A = B = 0 + Cách 2 : Sử dụng các BĐT để đánh giá. BĐT cô-si: Với hai số a, b $\geq 0$ thì ta có: a + b $\geq 2\sqrt{ab}$. Dấu "=" xảy ra <=> a = b BĐTB Bunhiakôpxki: Cho hai bộ số (a, b) và (x, y) thì ta có: $(ax+by)^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2}$ Dấu "=" xảy ra <=> $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$ .....
Ví dụ 5: Giải phương trình: $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$ (1) Hướng dẫn: Ta có (1) <=> $\sqrt{3(x^{2}+2x+1+\frac{4}{3})}+\sqrt{5(x^{2}+2x+1+\frac{9}{5})}=-(x^{2}+2x+1)+5$ <=> $\sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}=5-(x+1)^{2}$ Ta có Vế trái $\geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$. Dấu "=" xảy ra <=> x + 1 = 0 <=> x = -1 Vế phải $\leq 5$. Dấu "=" xảy ra <=> x + 1 = 0 <=> x = -1 Suy ra hai vế của phương trình đều bằng 2 <=> x = -1 Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-1} |
