TÍCH vô HƯỚNG hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC [lý thuyết + bài tập ứng dụng] file word image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [417.24 KB, 37 trang ]
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC = a , AC = b và AB = c . Ta có :
a 2 = b2 + c 2 - 2bc.cos A
b2 = c 2 + a 2 - 2ca.cos B
A
c 2 = a 2 + b2 - 2 ab.cos C
b
c
Hệ quả:
b2 + c 2 - a2
cos A =
C
2bc
B
a
2
2
2
c + a -b
Hình 2.6
cos B =
2ca
a2 + b2 - c 2
cos C =
2 ab
2. Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC = a , AC = b , AB = c và R là bán kính
đường trịn ngoại tiếp. Ta có :
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ
từ A, B, C. Ta có :
2[b2 + c 2 ] - a 2
ma2 =
4
2
2[ a + c 2 ] - b2
mb2 =
4
2
2[
a
+
b2 ] - c 2
mc2 =
4
4. Diện tích tam giác
Với tam giác ABC ta kí hiệu ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các
cạnh BC, CA, AB; R, r
lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p =
tam giác; S là diện tích tam giác. Khi đó ta có:
1
1
1
S = aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1
= bc sin A = ca sin B = ab sin C
2
2
2
abc
=
4R
a+b+c
là nửa chu vi
2
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
= pr
=
p[ p - a][ p - b][ p - c ] [cơng thức Hê–rơng]
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Xác định các yếu tố trong tam giác.
1. Phương pháp.
Sử dụng định lí cơsin và định lí sin
Sử dụng cơng thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu
tố trong các cơng thức tính diện tích trong tam giác.
2. Các ví dụ.
3
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cos A = .
5
Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A.
A. BC = 2 , ha =
29
29
B. BC = 29 , ha =
6 29
29
16 29
29
D. BC = 29 , ha =
3 29
29
C. BC = 29 , ha =
Lời giải
3
Áp dụng định lí cơsin ta có BC 2 = AB2 + AC 2 - 2 AB. AC.cos A = 4 2 + 52 - 2.4.5. = 29
5
Suy ra BC = 29
Vì sin 2 A + cos 2 A = 1 nên sin A = 1 - cos 2 A = 1 Theo cơng thức tính diện tích ta có SABC =
Mặt khác SABC =
1
1
a.ha = . 29.ha [2]
2
2
9
4
=
25 5
1
1
4
AB. AC.sin A = .4.5. = 8 [1]
2
2
5
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Từ [1] và [2] suy ra
1
16 29
. 29.ha = 8 Þ ha =
2
29
Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là ha =
16 29
29
= 300 , B
= 450 .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính bằng 3, biết A
Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A
A. ma = 22, 547
B. ma = 27, 54
C. ma = 19, 57
Lời giải
= 1800 - A
- B
= 1800 - 300 - 450 = 1050
Ta có C
Theo định lí sin ta có a = 2 R sin A = 2.3.sin 300 = 3 ,
b = 2 R sin B = 2.3.sin 450 = 6.
2
=3 2
2
c = 2 R sin C = 2.3.sin 1050 » 5,796
Theo cơng thức đường trung tuyến ta có
m =
2
a
2 [b 2 + c 2 ] - a 2
4
»
2 [18 + 5,796 2 ] - 9
4
= 23, 547
Theo công thức tính diện tích tam giác ta có
1
bc sin A 3 2.5,796 sin 300
SABC = pr = bc sin A Þ r =
»
» 0,943
2
2p
3 + 3 2 + 5,796
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Biết
= 5 13 .
AB = 3, BC = 8, cos AMB
26
Tính độ dài cạnh AC và góc lớn nhất của tam giác ABC .
Lời giải
hình 2.7]
D. ma = 23, 547
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
BC = 8 Þ BM = 4 . Đặt AM = x
A
Theo định lí cơsin ta có
=
cos AMB
Suy ra
AM 2 + BM 2 - AB2
2 AM. AB
B
5 13 x 2 + 16 - 9
=
26
2.4.x
M
Hình 2.7
é x = 13
ê
Û 13 x 2 - 20 13 x + 91 = 0 Û êê
7 13
êx =
êë
13
Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có
AM =
2
2 [ AB2 + AC 2 ] - BC 2
2 AB. AC
TH1: Nếu x = 13 Þ 13 =
2 [32 + AC 2 ] - 8 2
4
Þ AC = 7 .
Ta có BC > AC > AB Þ góc A lớn nhất. Theo định lí cơsin ta có
cos A =
AB2 + AC 2 - BC 2 9 + 49 - 64
1
=
=2 AB. AC
2.3.7
7
Suy ra A » 98012'
2
2
2
7 13
49 2 [3 + AC ] - 8
397
Þ
=
Þ AC =
TH2: Nếu x =
13
13
4
13
Ta có BC > AC > AB Þ góc A lớn nhất. Theo định lí cơsin ta có
397
- 64
AB + AC - BC
53
13
cos A =
=
=2 AB. AC
397
5161
2.3.
13
2
2
Suy ra A » 137 0 32'
2
9+
C
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD = 1 . Giả sử E là trung điểm AB và thỏa mãn
=
sin BDE
1
.
3
Tính độ dài cạnh AB .
A.
B.
2
C. 2 2
5
D.
3
Lời giải:
[hình 2.8]
Đặt AB = 2 x [ x > 0] Þ AE = EB = x .
A
E
B
nhọn nên cos BDE
> 0 suy ra
Vì góc BDE
= 1 - sin 2 BDE
=2 2
cos BDE
3
D
C
Hình 2.8
Theo định lí Pitago ta có:
DE2 = AD 2 + AE2 = 1 + x 2 Þ DE = 1 + x 2
BD 2 = DC 2 + BC 2 = 4 x 2 + 1 Þ BD = 4 x 2 + 1
Áp dụng định lí cơsin trong tam giác BDE ta có
=
cos BDE
DE2 + DB2 - EB2
2 2
4x2 + 2
Û
=
2 DE.DB
3
2 [1 + x 2 ][4 x 2 + 1]
Û 4x4 - 4x2 + 1 = 0 Û 2x2 = 1 Û x =
Vậy độ dài cạnh AB là
2
[Do x > 0 ]
2
2
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.56: Cho tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3, cạnh
= 600 . Tính cạnh BC.
AB = 9 và ACB
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
[
A. BC = 1 + 6
[
]
C. BC = 3 2 + 6
[
]
[
]
B. BC = 2 1 + 6
]
D. BC = 3 1 + 6
Lời giải:
Bài 2.56: Đặt BC = x [ x > 0] . MN = 3 Þ AC = 6 .
Theo định lí cơsin ta có AB2 = CA 2 + CB2 - 2.CA.CB.cos C
[
1
Hay 81 = 36 + x 2 - 2.6.x. Û x = 3 1 + 6
2
]
Bài 2.57: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 1 . Trên tia đối của AC lấy điểm D sao
= 300 . Tính AC.
cho CD = AB . Giả sử CBD
A. AC = 3 2
B. AC = 3 - 3 2
C. AC = 1 + 3 2
D. AC = 2 + 3 2
Lời giải:
Bài 2.57: Đặt AC = x [ x > 0]
Áp dụng định lí cơsin trong tam giác ABD ta có BD 2 = 1 + [1 + x] - 2 [1 + x] .
2
Áp dụng định lí sin trong tam giác BCD ta có BD =
1
x
1
=2
sin BCD
0
x
sin 30
Suy ra ta được phương trình
x 4 + 2 x 3 - 2 x - 4 = 0 Û [ x + 2][ x 3 - 2] = 0 Û x = 3 2
Vậy AC = 3 2
Bài 2.58. Cho a = x 2 + x + 1; b = 2 x + 1; c = x 2 - 1 . Giả sử a , b , c là ba cạnh của một tam
giác. Chứng minh rằng tam giác đó có một góc bằng 1200
Lời giải:
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Bài 2.58: cos A =
b2 + c 2 - a2
1- x2
1
=
= - Þ A = 1200
2
2bc
2
2 [ x - 1]
Bài 2.59: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = 8 .
a] Tính diện tích tam giác ABC
A. S = 5 3
B. S = 6 3
C. S = 4 3
D. S = 3 3
b] Tính bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
A. R =
3
3
, r=
3
4
B. R =
7 3
4 3
, r=
3
3
C. R =
8 3
2 3
, r=
3
3
D. R =
7 3
2 3
, r=
3
3
C. ha =
5 6
2
c] Tính đường đường cao kẻ từ đỉnh A.
A. ha =
6
2
B. ha = -
3 6
2
D. ha =
3 6
2
Lời giải:
Bài 2.59: a] Áp dụng công thức Hê - rông ta có S = p[ p - a][ p - b][ p - c ] = 6 3
b] Áp dụng công thức tính diện tích S =
c] ha =
7 3
2 3
abc
, r=
và S = pr suy ra R =
3
3
4R
2S 12 6 3 6
=
=
a
8
2
Bài 2.60: Cho tam giác ABC thỏa mãn
a
3
=
b
2
=
2c
6- 2
.
a] Tính các góc của tam giác.
A. B = 1200 , A = 450 , C = 150
B. C = 1200 , B = 450 , A = 150
C. A = 1200 , C = 450 , B = 150
D. A = 1200 , B = 450 , C = 150
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
b] Cho a = 2 3 . Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .
A.2
B.3
C.4
D.5
Lời giải:
Bài 2.60: HD: a] Đặt
a
3
6- 2
t
2
= t > 0 Þ a = 3t , b = 2t , c =
Áp dụng định lí cơsin ta có
[
[
]
]
[
]
2
2
2
b 2 + c 2 - a 2 2t + 2 - 3 t - 3t
1
cos A=
=
= - Þ A = 1200
2bc
2
2 3 -1 t2
2
2
2
a 2 + c 2 - b2 3t + 2 - 3 t - 2t
2
cos B=
=
=
Þ B = 450 , C = 150
2
2 ac
2
2 3- 3 t
[
b] Áp dụng định lí sin, ta có: R =
]
a
2 3
=
=2.
2 sin A 2 sin 1200
= 600 , a = 10, r = 5 3 .
Bài 2.61: Cho tam giác ABC có A
3
a] Tính R
A. R =
3
3
B. R =
4 3
3
C. R =
8 3
3
D. R =
10 3
3
b] Tính b, c
A. b = c = 10
B. b = c = 7
C. b = c = 9
D. b = c = 8
Lời giải:
Bài 2.61: [hình 2.22]
A
N
P
r
B
10
I
M
Hình 2.22
C
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
a] 2 R =
a
20 3
10 3
=
ÞR=
sin A
3
3
b] Gọi M, N, P lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA và AB với đường tròn nội tiếp tam
giác ABC . Ta có AP = AN - r.cot 300 = 5, BP + NC = BM + MC = a = 10
Þ [b - AN ] + [c - AP] = 10 Þ b + c = 20 [1].
[b + c ]
2
Theo định lí cơsin ta có a = b + c - 2bc cos 60 Þ bc =
2
2
2
0
- a2
3
= 100 [2]
Từ [1] và [2] suy ra b, c là nghiệm của phương trình x 2 - 20 x + 100 = 0 Û x = 10
Vậy b = c = 10 Þ DABC đều.
= 600 .
Bài 2.62: Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = 4 và A
a] Tính chu vi của tam giác
A. P = 22,72
B. P = 20,72
C. P = 22
D. P = 21,72
B. tan C = -5
C. tan C = 5 3
D. tan C = -5 3
b] Tính tan C
A. tan C = - 3
c] Lấy điểm D trên tia đối của tia AB sao cho AD = 6 và điểm E trên tia AC sao cho
AE = x . Tìm x để BE là tiếp tuyến của đường tròn [C] ngoại tiếp tam giác ADE
A. x = 5 + 85
B. x = -5 + 85
C. x = 3 + 85
Lời giải:
Bài 2.62: a] Theo định lí cơsin ta có
BC 2 = 10 2 + 4 2 - 2.10.4 cos 600 = 76
Þ BC » 8,72
D. x = 5 + 5
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Suy ra chu vi tam giác là 2 p » 10 + 4 + 8,72 = 22,72
b] [Hình 51a.]
A
Kẻ đường cao BH ta có
10
AH = AB cos 60 = 5 Þ HC = 5 - 4 = 1 .
0
BH = AB.sin 600 = 5 3
4 C
H
B
Hình 2.23a
= - HB = -5 3
Vậy tan C = - tan BCH
HC
c] [Hình 51b.]
D
Để BE là tiếp tuyến đường trịn [C] ta phải có
BE2 = BA.BD = 10 [10 + 6] = 160.
Áp dụng định lí cơsin trong tam giác ABE ta có
BE2 = x 2 + 100 - 10 x Þ x 2 - 10 x - 60 = 0 Þ x = 5 + 85 .
A
B
C
E
Hình 2.23b.
Bài 2.63. Cho tam giác ABC cân có cạnh bên bằng b và nội tiếp đường trịn [O;R].
a] Tính cơsin của các góc tam giác.
A. cos A =
b2 - R2
b2
,
cos
B
=
cos
C
=
1
2 R2
R2
B. cos A =
b2 - 2 R2
b2
,
cos
B
=
cos
C
=
2
R2
4 R2
C. cos A =
b2 - R2
b2
,
cos
B
=
cos
C
=
1
R2
4 R2
D. cos A =
b2 - 2 R2
b2
,
cos
B
=
cos
C
=
1
2 R2
4 R2
b] Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác.
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
A. r =
B. r =
C. r =
[
b2 R2 - b2
2 R 2 R + R2 - b2
b2 R2 - b2
[
2 R R + R2 - b2
[
]
]
b2 4 R2 - b2
R 2 R + 4 R2 - b2
]
S
b2 4 R2 - b2
D. r = =
p 2 R 2 R + 4 R2 - b2
[
]
c] Với giá trị nào của b thì tam giác có diện tích lớn nhất ?
A. b = 4 R 3
B. b = R 3
C. b = 3 R 3
D. b = 2 R 3
Lời giải:
Bài 2.63: [hình 2.24]
=C
= a Þ a < 900
a] Giả sử tam giác cân tại đỉnh A. Đặt B
Ta có sin a =
cos A =
b] S =
b
b2
Þ cos B = cos C = cos a = 1 - 2
2R
4R
A
AB2 + AC 2 - BC 2 b2 - 2 R2
=
2 AB. AC
2 R2
1
1
b
BC. AH = .2b cos a.b sin a =
2
2
Chu vi tam giác là 2 p = 2b + 2b
b
3
4R - b
4 R2
2
α
B
2
H
Hình 2.24
4 R2 - b2
2R
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r =
S
b2 4 R2 - b2
=
p 2 R 2 R + 4 R2 - b2
[
]
C
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
c] Ta phải tìm b để y = b3 4 R2 - b2 đạt GTLN
Áp dụng BĐT Cauchy cho bn s ta cú
ổ b2 b2 b2
ử
ỗỗ + + + [4 R2 - b2 ]ữữ
2
2
2
ữữ
ỗ
b b b
3
3
ữữ = 3 3 R4 Dấu bằng xảy
y=3 3
. . .[4 R2 - b2 ] Ê 3 3 ỗỗ 3
ỗ
ữữ
3 3 3
4
ỗỗ
ữữ
ỗố
ứ
4
ra khi và chỉ khi
b2
= 4 R2 - b2 Û b = R 3 .
3
DẠNG 2: Giải tam giác.
1. Phương pháp.
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho
trước.
Trong các bài toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau :
biết một cạnh và hai
góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh.
Để tìm các yếu tố cịn lại ta sử dụng định lí cơsin và định lí sin ; định lí tổng ba góc
trong một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có
cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn.
2. Các ví dụ.
= 87 0 .
Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết b = 32; c = 45 và A
» 360 , B
= 57 0
A. a » 53,8 , C
» 400 , C
= 530
B. a » 53,8 , B
» 360 , C
= 57 0
C. a » 52,8 , B
» 360 , C
= 57 0
D. a » 53,8 , B
Lời giải:
Theo định lí cơsin ta có
a 2 = b2 + c 2 - 2bc.cos A = 32 2 + 4 2 - 2.32.4.sin 87 0
Suy ra a » 53,8
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Theo định lí sin ta có
sin B =
b sin A 32 sin 87 0
» 360
=
ÞB
a
53,8
= 1800 - A
-B
» 1800 - 87 0 - 360 = 57 0
Suy ra C
= 600 , B
= 400 và c = 14 .
Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết A
= 800 , a » 12, 5 , b » 9,1
A. C
= 800 , a » 12, 3 , b » 9,8
B. C
= 800 , a » 11, 3 , b » 9,1
C. C
= 800 , a » 12, 3 , b » 9,1
D. C
Lời giải:
= 1800 - A
-B
= 1800 - 600 - 400 = 800
Ta có C
Theo định lí sin ta có
a=
c sin A 14.sin 600
=
Þ a » 12, 3
sin C
sin 800
b=
c sin B 14.sin 400
=
Þ b » 9,1
sin C
sin 800
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết a = 2 3 , b = 2 2 , c = 6 - 2 . Tính góc lớn nhất của
tam giác.
= 1200
A. B
= 1100
B. A
= 1000
C. A
= 1200
D. A
Lời giải: