Đã gửi 05-06-2019 - 18:59
Một nhà thám hiểm ngoan cường của các bề mặt trừu tượng
Công trình đồ sộ của Maryam Mirzakhani rút ra những mối liên hệ sâu sắc giữa cấu trúc liên kết, hình học và hệ thống động lực.
Là một cô bé 8 tuổi, Maryam Mirzakhani thường kể cho mình những câu chuyện về sự lợi dụng của một cô bé đáng chú ý. Mỗi đêm khi đi ngủ, nữ anh hùng của cô sẽ trở thành thị trưởng, đi khắp thế giới hoặc hoàn thành một số mệnh lớn khác.
Ngày nay, Mirzakhani - một giáo sư toán học 37 tuổi tại Đại học Stanford - vẫn viết những câu chuyện phức tạp trong tâm trí cô. Các tham vọng cao đã thay đổi, nhưng các nhân vật chính có: Chúng là các bề mặt hyperbol, không gian moduli và hệ thống động lực. Theo một cách nào đó, cô nói, nghiên cứu toán học cảm thấy giống như viết một cuốn tiểu thuyết. Có nhiều nhân vật khác nhau, và bạn đang hiểu rõ hơn về họ, cô ấy nói. Những thứ khác phát triển, và sau đó bạn nhìn lại một nhân vật, và nó khác hoàn toàn với ấn tượng đầu tiên của bạn.
Nhà toán học người Iran theo dõi các nhân vật của cô ở bất cứ nơi nào họ đưa cô đến, dọc theo những câu chuyện thường mất nhiều năm để mở ra. Nhỏ nhắn nhưng bất khuất, Mirzakhani nổi tiếng trong giới các nhà toán học vì đã giải quyết những câu hỏi khó nhất trong lĩnh vực của mình bằng sự kiên trì bền bỉ. Cô có một tham vọng không hề sợ hãi khi nói về toán học, ông nói, ông Curtis McMullen thuộc Đại học Harvard, người từng là cố vấn tiến sĩ của Mirzakhani. Với giọng nói thấp và đôi mắt xanh xám, đều đặn, Mirzakhani thể hiện sự tự tin không ngừng. Cô ấy có xu hướng bình đẳng, tuy nhiên, hướng tới sự khiêm tốn. Được yêu cầu mô tả sự đóng góp của mình cho một vấn đề nghiên cứu cụ thể, cô ấy đã cười, ngập ngừng và cuối cùng nói: Thật lòng, tôi không nghĩ rằng tôi đã có một đóng góp rất lớn. Một khi email đến vào tháng Hai nói rằng cô ấy sẽ nhận được thứ được coi là vinh dự cao nhất trong toán học - Huy chương Trường, sẽ được trao hôm nay tại Đại hội các nhà toán học quốc tế ở Seoul, Hàn Quốc - cô cho rằng tài khoản mà email đã được gửi đã bị hack.
Tuy nhiên, các nhà toán học khác mô tả công việc của Mirzakhani bằng thuật ngữ phát sáng. Luận án tiến sĩ của cô - về việc đếm các vòng lặp trên các bề mặt có hình học hyperbolic, - thật sự rất ngoạn mục, Alex cho biết, Alex E Da, một nhà toán học tại Đại học Chicago, người đã cộng tác với Mirzakhani. Cẩu Nó là loại toán học mà bạn nhận ra ngay lập tức thuộc về sách giáo khoa
Mirzakhani lớn lên ở Iran và ban đầu thích đọc và viết tiểu thuyết hơn là làm toán.
Và một trong những đóng góp gần đây của Mirzakhani - một sự hợp tác hoành tráng với E skin về động lực học của các bề mặt trừu tượng kết nối với bàn bida - có lẽ là định lý của thập kỷ trong lĩnh vực cạnh tranh cao của Mirzakhani, Benson Farb, cũng là một nhà toán học của Đại học Chicago. Teheran Khi còn là một đứa trẻ lớn lên ở Tehran, Mirzakhani không có ý định trở thành một nhà toán học. Mục tiêu chính của cô chỉ đơn giản là đọc mọi cuốn sách cô có thể tìm thấy. Cô cũng xem tiểu sử truyền hình của những người phụ nữ nổi tiếng như Marie Curie và Helen Keller, và sau đó đọc cuốn Lust for Life, một cuốn tiểu thuyết về Vincent van Gogh. Những câu chuyện này thấm nhuần trong cô một tham vọng không xác định để làm một điều gì đó tuyệt vời với cuộc sống của cô - có lẽ trở thành một nhà văn. Mirzakhani đã học xong tiểu học giống như cuộc chiến tranh Iran-Iraq đang đến gần và cơ hội đang mở ra cho các học sinh có động lực. Cô đã làm một bài kiểm tra xếp lớp đảm bảo cho cô một vị trí tại trường trung học Farzanegan dành cho nữ sinh ở Tehran, được quản lý bởi Tổ chức Phát triển Tài năng Đặc biệt Iran. Tôi nghĩ rằng tôi là thế hệ may mắn, cô nói. Tôi là một thiếu niên khi mọi thứ trở nên ổn định hơn. Trong tuần đầu tiên ở trường mới, cô đã có một người bạn suốt đời, Roya Beheshti, hiện là giáo sư toán học tại Đại học Washington ở St. Louis. Khi còn nhỏ, hai người khám phá các hiệu sách nằm dọc con phố thương mại đông đúc gần trường học của họ. Duyệt web không được khuyến khích, vì vậy họ chọn ngẫu nhiên sách để mua. Bây giờ, nghe có vẻ rất lạ, ông Mirzakhani nói. Nhưng sách rất rẻ, vì vậy chúng tôi sẽ mua chúng. Trước sự thất vọng của cô, Mirzakhani đã học kém trong lớp toán năm đó. Cô giáo dạy toán của cô đã không nghĩ rằng cô đặc biệt tài năng, điều đó làm suy yếu sự tự tin của cô. Ở độ tuổi đó, thì nó rất quan trọng với những gì người khác nhìn thấy ở bạn, Land Mirzakhani nói. Tôi đã mất hứng thú với môn toán. Năm sau, Mirzakhani có một giáo viên đáng khích lệ hơn, tuy nhiên, và hiệu suất của cô đã được cải thiện rất nhiều. Bắt đầu từ năm thứ hai, cô là một ngôi sao, ông Beh Behti nói. Mirzakhani tiếp tục đến trường trung học Farzanegan dành cho nữ. Ở đó, cô và Beheshti đã nắm giữ các câu hỏi từ cuộc thi quốc gia năm đó để xác định học sinh trung học nào sẽ tham dự Olympic Tin học quốc tế, một cuộc thi lập trình hàng năm dành cho học sinh trung học. Mirzakhani và Beheshti đã giải quyết các vấn đề trong vài ngày và tìm cách giải quyết ba trên sáu. Mặc dù các sinh viên tại cuộc thi phải hoàn thành bài kiểm tra trong ba giờ, Mirzakhani vẫn rất hào hứng khi có thể làm bất kỳ vấn đề nào.
Háo hức khám phá những gì họ có khả năng trong các cuộc thi tương tự, Mirzakhani và Beheshti đã đến hiệu trưởng của trường họ và yêu cầu cô sắp xếp các lớp học giải toán như những người được dạy ở trường trung học so sánh dành cho nam. Hiệu trưởng của trường là một nhân vật rất mạnh mẽ, trộm Mirzakhani nhớ lại. Mirzakhani cho biết, nếu chúng tôi thực sự muốn một cái gì đó, cô ấy sẽ biến nó thành hiện thực. Cô hiệu trưởng không hề nản lòng trước việc đội tuyển Olympic Toán học quốc tế Iran không bao giờ bỏ rơi một cô gái, Mirzakhani nói. Tư duy của cô ấy rất tích cực và lạc quan - đó là bạn có thể làm điều đó, mặc dù bạn sẽ là người đầu tiên, ông 195 Mirzakhani nói. Tôi nghĩ rằng điều đó đã ảnh hưởng đến cuộc sống của tôi khá nhiều.
Năm 1994, khi Mirzakhani 17 tuổi, cô và Beheshti đã làm cho đội tuyển Olympic toán Iran. Điểm số Mirzakhani trên bài kiểm tra Olympic đã mang lại cho cô huy chương vàng. Năm sau, cô trở lại và đạt được một số điểm hoàn hảo. Sau khi tham gia các cuộc thi để khám phá những gì cô ấy có thể làm, Mirzakhani nổi lên với một tình yêu sâu sắc về toán học. Bạn phải dành một chút năng lượng và nỗ lực để thấy được vẻ đẹp của toán học, cô ấy nói.
Mirzakhani cùng cha mẹ trong chuyến thăm Isfahan, Iran.
Harvard Huy chương vàng tại Olympic toán học don hiến luôn chuyển thành công trong nghiên cứu toán học, McMullen nhận xét. Trong những cuộc thi này, một người nào đó đã cẩn thận tạo ra một vấn đề bằng một giải pháp thông minh, nhưng trong nghiên cứu, có thể vấn đề đó không có giải pháp nào cả. tầm nhìn riêng của cô ấy. Sau khi hoàn thành bằng đại học về toán học tại Đại học Sharif ở Tehran năm 1999, Mirzakhani đến trường sau đại học tại Đại học Harvard, nơi cô bắt đầu tham dự hội thảo McMullen. Lúc đầu, cô ấy không hiểu nhiều về những gì anh ấy nói nhưng bị quyến rũ bởi vẻ đẹp của chủ đề, hình học hyperbol. Cô bắt đầu đi đến văn phòng McMullen, và hỏi anh ta những câu hỏi, viết nguệch ngoạc xuống ghi chú trong Farsi. Cô có một trí tưởng tượng táo bạo, anh nhớ lại McMullen, một vận động viên huy chương năm 1998. Cô ấy sẽ hình thành trong đầu mình một bức tranh tưởng tượng về những gì phải diễn ra, sau đó đến văn phòng của tôi và mô tả nó. Cuối cùng, cô ấy sẽ quay sang tôi và nói, "Có đúng không? Tôi luôn luôn rất hãnh diện mà cô ấy nghĩ rằng tôi sẽ biết. Mirzakhani trở nên mê mẩn với các bề mặt hyperbol - bề mặt hình bánh rán có hai hoặc nhiều lỗ có hình học không chuẩn, nói một cách đại khái, cho mỗi điểm trên bề mặt hình yên ngựa. Bánh rán Hyperbolic có thể được xây dựng trong không gian bình thường; chúng tồn tại trong một ý nghĩa trừu tượng, trong đó khoảng cách và góc được đo theo một bộ phương trình cụ thể. Một sinh vật tưởng tượng sống trên một bề mặt bị chi phối bởi các phương trình như vậy sẽ trải nghiệm từng điểm như một điểm yên ngựa. Nó chỉ ra rằng mỗi chiếc bánh rán nhiều lỗ có thể được cung cấp một cấu trúc hyperbol theo vô số cách - với các vòng bánh donut béo, hẹp, hoặc bất kỳ sự kết hợp nào của cả hai. Trong thế kỷ rưỡi kể từ khi các bề mặt hyperbol như vậy được phát hiện, chúng đã trở thành một số đối tượng trung tâm trong hình học, với các kết nối với nhiều nhánh toán học và thậm chí cả vật lý.
Nhưng khi Mirzakhani bắt đầu học cao học, một số câu hỏi đơn giản nhất về các bề mặt như vậy đã không được trả lời. Một đường thẳng liên quan, hay trắc địa, trên bề mặt hyperbolic. Ngay cả một bề mặt cong cũng có thể có một khái niệm về một đoạn đường thẳng thẳng của YouTube: nó chỉ đơn giản là con đường ngắn nhất giữa hai điểm. Trên một bề mặt hyperbol, một số trắc địa có chiều dài vô hạn, giống như các đường thẳng trong mặt phẳng, nhưng một số khác lại gần thành một vòng lặp, giống như các vòng tròn lớn trên một quả cầu.
Số lượng trắc địa khép kín có độ dài nhất định trên bề mặt hyperbol tăng theo cấp số nhân khi chiều dài của trắc địa tăng lên. Hầu hết các trắc địa này tự cắt ngang nhiều lần trước khi đóng lại một cách trơn tru, nhưng một tỷ lệ nhỏ trong số chúng, được gọi là trắc địa đơn giản, không bao giờ giao nhau. Trắc địa đơn giản là một đối tượng quan trọng để mở khóa cấu trúc và hình học của toàn bộ bề mặt, theo Far Farb. Tuy nhiên, các nhà toán học không thể xác định được có bao nhiêu phép trắc địa khép kín đơn giản có độ dài nhất định mà một bề mặt hyperbol có thể có. Trong số các vòng lặp trắc địa kín, những vòng đơn giản là phép lạ mà [có hiệu quả] xảy ra bằng không phần trăm thời gian, ném Farb nói. Vì lý do đó, việc đếm chúng một cách chính xác là vô cùng khó khăn: Vượt qua Nếu bạn có một chút lỗi, bạn đã bỏ qua nó, anh ấy nói. Trong luận án tiến sĩ của mình, hoàn thành năm 2004, Mirzakhani đã trả lời câu hỏi này, phát triển một công thức về cách số lượng trắc địa đơn giản có chiều dài L tăng lên khi L lớn hơn. Trên đường đi, cô đã xây dựng các kết nối đến hai câu hỏi nghiên cứu lớn khác, giải quyết cả hai. Người ta quan tâm đến một công thức cho thể tích của không gian được gọi là không gian mô-đun - một tập hợp tất cả các cấu trúc hyperbol có thể có trên một bề mặt nhất định. Cái kia là một bằng chứng mới đáng ngạc nhiên về một phỏng đoán cũ được đề xuất bởi nhà vật lý Edward Witten thuộc Viện nghiên cứu nâng cao ở Princeton, N.J., về các phép đo tôpô nhất định của không gian moduli liên quan đến lý thuyết dây. Phỏng đoán của Witten khó đến nỗi nhà toán học đầu tiên chứng minh điều đó - Maxim Kontsevich của Viện nghiên cứu des Hautes Études Khoa học, gần Paris - đã được trao tặng Huân chương Cánh đồng năm 1998 một phần cho công trình đó. Farb nói rằng việc giải quyết từng vấn đề này, sẽ là một sự kiện và kết nối chúng sẽ là một sự kiện. Trọng Mirzakhani đã làm cả hai. Luận án Mirzakhani đã dẫn đến ba bài báo được xuất bản trong ba tạp chí hàng đầu về toán học: Biên niên sử về Toán học, Phát minh ra Toán học và Tạp chí của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ. Phần lớn các nhà toán học sẽ không bao giờ tạo ra thứ gì đó tốt như vậy, Farb nói - và đó là những gì cô ấy đã làm trong luận án của mình. Một Titanic làm việc Mirzakhani thích mô tả bản thân là chậm. Không giống như một số nhà toán học giải quyết các vấn đề với sự sáng chói của quicksilver, cô ấy hướng đến những vấn đề sâu sắc mà cô ấy có thể nhai trong nhiều năm. Tháng hay năm sau, bạn thấy những khía cạnh rất khác nhau của một vấn đề, cô nói. Có những vấn đề cô đã suy nghĩ trong hơn một thập kỷ. Vẫn còn đó, tôi không thể làm được gì nhiều về họ, cô nói. Mirzakhani không cảm thấy sợ hãi bởi các nhà toán học đã hạ gục hết vấn đề này đến vấn đề khác. Tôi không dễ bị thất vọng, cô nói. Tôi có thể tự tin, trong một số ý nghĩa.
Cách tiếp cận chậm và ổn định của cô cũng áp dụng cho các lĩnh vực khác trong cuộc sống của cô. Một ngày nọ, khi cô còn là một sinh viên tốt nghiệp tại Harvard, người chồng tương lai của cô, sau đó là một sinh viên tốt nghiệp tại Học viện Công nghệ Massachusetts, đã học được bài học này về Mirzakhani khi hai người chạy trốn. Cô ấy rất nhỏ nhắn, và tôi có vóc dáng cân đối, vì vậy tôi nghĩ tôi đã làm tốt, và lúc đầu, tôi đã đi trước, anh nhớ lại Jan Vondrak, hiện là một nhà khoa học máy tính lý thuyết tại Trung tâm nghiên cứu IBM Almaden ở San Jose, Calif. Nhưng cô ấy không bao giờ chậm lại. Sau nửa giờ, tôi đã xong, nhưng cô ấy vẫn chạy với tốc độ tương tự.
Mirzakhani, người nói rằng cô nghĩ về toán học bằng hình ảnh, thường vẽ những ý tưởng của mình lên những tờ giấy khổng lồ.
Khi cô nghĩ về toán học, Mirzakhani liên tục vẽ nguệch ngoạc, vẽ các bề mặt và các hình ảnh khác liên quan đến nghiên cứu của cô. Sau đó, cô ấy có những mẩu giấy khổng lồ trên sàn và dành hàng giờ liền để vẽ những gì trông giống như bức tranh lặp đi lặp lại. Tôi không biết làm thế nào cô ấy có thể làm việc như thế này, nhưng cuối cùng thì nó cũng hoạt động được, anh ấy nói. Có lẽ, anh ta suy đoán, đó là bởi vì những vấn đề mà cô ấy đang làm rất trừu tượng và phức tạp, cô ấy có thể đủ khả năng để thực hiện từng bước hợp lý nhưng phải thực hiện những bước nhảy lớn. Doodling giúp cô tập trung, Mirzakhani nói. Khi nghĩ về một bài toán khó, bạn có thể muốn viết ra tất cả các chi tiết, cô nói. Tuy nhiên, quá trình vẽ một thứ gì đó giúp bạn bằng cách nào đó duy trì sự kết nối. Có lẽ cô ấy nghĩ tôi là một họa sĩ, Emily Mirzakhani nói. Nghiên cứu của Mirzakhani Kết nối với nhiều lĩnh vực toán học, bao gồm hình học vi phân, phân tích phức tạp và hệ thống động lực. Tôi thích vượt qua ranh giới tưởng tượng mà mọi người thiết lập giữa các lĩnh vực khác nhau - nó rất mới mẻ, cô nói. Trong lĩnh vực nghiên cứu của mình, có rất nhiều công cụ và bạn không biết công cụ nào sẽ hoạt động, cô nói. Voi Nó về lạc quan và cố gắng kết nối mọi thứ. Đôi khi, các kết nối mà Mirzakhani tạo ra rất khó chịu, McMullen nói. Vào năm 2006, chẳng hạn, cô đã giải quyết vấn đề về những gì xảy ra với bề mặt hyperbol khi hình học của nó bị biến dạng khi sử dụng cơ chế gần giống với trận động đất trượt. Trước khi Mirzakhani, công việc này, vấn đề này hoàn toàn không thể chấp nhận được, ông McMullen nói. Nhưng với một bằng chứng một dòng, ông nói, ông đã xây dựng một cầu nối giữa lý thuyết hoàn toàn mờ nhạt này và một lý thuyết khác mà Lọ hoàn toàn minh bạch.
Năm 2006, Mirzakhani bắt đầu hợp tác hiệu quả với E Da, người coi cô là một trong những cộng tác viên yêu thích của anh. Nói cô ấy rất lạc quan, và đó là người truyền nhiễm, anh ấy nói. Khi bạn làm việc với cô ấy, bạn cảm thấy bạn có cơ hội giải quyết vấn đề tốt hơn mà thoạt nhìn có vẻ vô vọng.
Trên mặt của nó, quỹ đạo này có thể là một vật thể cực kỳ phức tạp - ví dụ như một mảnh nhỏ. Tuy nhiên, vào năm 2003, McMullen đã chỉ ra rằng đây không phải là trường hợp khi bề mặt dịch là một chiếc bánh rán hai chiều [gien hai cây]: Mỗi quỹ đạo lấp đầy toàn bộ không gian hoặc một tập hợp con đơn giản của không gian được gọi là một phần con . Kết quả McMullen sườn được ca ngợi là một bước tiến lớn. Anh ấy nhớ lại rằng trước khi bài báo của anh ấy được xuất bản, tuy nhiên, Mirzakhani - khi đó vẫn còn là một sinh viên tốt nghiệp - đã đến văn phòng của anh ấy và hỏi, Tại sao bạn chỉ làm chi hai? Anh nói đó là một người như thế, anh nói. Những gì cô ấy thấy gợi ý, cô ấy muốn hiểu rõ hơn. Sau nhiều năm làm việc, vào năm 2012 và 2013, Mirzakhani và E skin, một phần hợp tác với Amir Mohammadi của Đại học Texas tại Austin, đã thành công trong việc khái quát kết quả McMullen vào tất cả các bề mặt bánh rán có nhiều hơn hai lỗ. Phân tích của họ là một tác phẩm vĩ đại, theo Z Zichich, nói thêm rằng ý nghĩa của nó vượt xa các trò chơi bida. Không gian moduli đã được nghiên cứu chuyên sâu trong 30 năm qua, theo ông, ông nói, nhưng vẫn còn rất nhiều điều mà chúng tôi không biết về hình học của nó. Công việc của Mirzakhani và E skin là sự khởi đầu của một kỷ nguyên mới, ông Wright nói, ông Wright, người đã dành nhiều tháng để nghiên cứu bài báo dài 172 trang của họ. Trước đây, chúng tôi cố gắng ghi lại một khu rừng gỗ đỏ bằng một cái rìu, nhưng bây giờ họ đã phát minh ra một cái cưa xích, anh nói. Công việc của họ đã được áp dụng - ví dụ, đối với vấn đề tìm hiểu cảnh tượng của một nhân viên bảo vệ trong một tổ hợp các phòng nhân đôi. Trong bài viết của Mirzakhani và E Da, trên mọi lớp khó khăn và ý tưởng khác, ẩn giấu bên dưới, anh Wright Wright đã viết trong một email. Khi tôi đến trung tâm, tôi rất ngạc nhiên về chiếc máy mà họ đã chế tạo. Chính sự lạc quan và kiên trì của Mirzakhani đã giúp cặp đôi này tiếp tục, E skin nói. Đôi khi có những thất bại, nhưng cô không bao giờ hoảng sợ, anh nói. Ngay cả bản thân Mirzakhani cũng ngạc nhiên, khi nhìn lại, hai người mắc kẹt với nó. Nếu chúng ta biết mọi thứ sẽ rất phức tạp, tôi nghĩ chúng ta sẽ bỏ cuộc, cô ấy nói. Rồi cô dừng lại. "Tôi không biết; Thật ra, tôi không biết, cô ấy nói. Tôi không dễ dàng bỏ cuộc. Chương tiếp theo Mirzakhani là người phụ nữ đầu tiên giành được Huy chương Cánh đồng. Sự mất cân bằng giới tính trong toán học là lâu dài và có sức lan tỏa, và đặc biệt là Huy chương Trường, không phù hợp với vòng cung nghề nghiệp của nhiều nhà toán học nữ. Nó được giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, tập trung vào những năm mà nhiều phụ nữ quay trở lại sự nghiệp của họ để nuôi con.
Mirzakhani cảm thấy chắc chắn, tuy nhiên, sẽ có thêm nhiều huy chương nữ trong tương lai. Thực sự có rất nhiều nhà toán học nữ vĩ đại đang làm những điều tuyệt vời, cô nói.
Trong khi đó, trong khi cô cảm thấy rất vinh dự khi được trao Huân chương Cánh đồng, cô không muốn trở thành gương mặt của phụ nữ trong toán học, cô nói. Cô cho biết, bản thân tuổi teen đầy tham vọng của cô sẽ rất vui vì giải thưởng, nhưng hôm nay, cô rất muốn làm chệch hướng sự chú ý khỏi thành tích của mình để có thể tập trung vào nghiên cứu. Mirzakhani có kế hoạch lớn cho các chương tiếp theo của câu chuyện toán học của cô. Cô đã bắt đầu làm việc với Wright để cố gắng phát triển một danh sách đầy đủ các loại bộ mà quỹ đạo dịch bề mặt có thể lấp đầy. Một phân loại như vậy sẽ là một cây đũa thần ma thuật của người Hồi giáo để hiểu về bida và bề mặt dịch thuật, Zorich đã viết.
Nó không phải là nhiệm vụ nhỏ, nhưng Mirzakhani đã học được nhiều năm để nghĩ lớn. Bạn phải bỏ qua trái cây treo thấp, đó là một chút khó khăn, cô ấy nói. Thật ra tôi không chắc nó có phải là cách tốt nhất để làm việc không, thực ra - bạn đang tự hành hạ mình trên đường đi. Nhưng cô ấy thích nó, cô nói. Cuộc sống của hoàng tử được cho là dễ dàng.
Link: //www.quantama...alist-20140812/
Sau nhiều dự án cùng nhau, Mirzakhani và E skin đã quyết định giải quyết một trong những vấn đề mở lớn nhất trong lĩnh vực của họ. Nó liên quan đến phạm vi hành vi của một quả bóng đang nảy xung quanh một bàn bi-a có hình dạng giống như bất kỳ đa giác nào, với điều kiện các góc là một số độ hợp lý. Bi-a cung cấp một số ví dụ đơn giản nhất về các hệ động lực - các hệ thống phát triển theo thời gian theo một bộ quy tắc nhất định - nhưng hành vi của quả bóng đã được chứng minh là khó có thể bất ngờ.
Alex Wright, một nhà nghiên cứu sau tiến sĩ tại Stanford, cho biết, trò chơi bi-a Rational đã bắt đầu từ một thế kỷ trước, khi một số nhà vật lý đang ngồi xung quanh nói: 'Hãy để hiểu một quả bóng bi-a nảy trong một hình tam giác. Có lẽ, họ nghĩ rằng họ sẽ hoàn thành trong một tuần, nhưng 100 năm sau, chúng tôi vẫn nghĩ về nó.
Để nghiên cứu một quỹ đạo bóng bi-a dài, một cách tiếp cận hữu ích là tưởng tượng dần dần làm biến dạng bàn bida bằng cách đặt nó dọc theo hướng của quỹ đạo để có thể nhìn thấy nhiều đường bóng hơn trong một khoảng thời gian nhất định. Điều này biến đổi bàn bida ban đầu thành một bàn kế tiếp, di chuyển bàn xung quanh trong cái mà các nhà toán học gọi là không gian mô-đun của nhà văn bao gồm tất cả các bàn bida có thể có một số mặt nhất định. Bằng cách biến đổi mỗi bàn bida thành một bề mặt trừu tượng gọi là bề mặt dịch thuật, các nhà toán học có thể phân tích động lực học bi-a bằng cách hiểu không gian mô đun lớn hơn bao gồm tất cả các bề mặt dịch. Các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc hiểu về quỹ đạo của khu vực của một bề mặt dịch thuật cụ thể khi hành động squishing di chuyển nó trong không gian moduli giúp trả lời một loạt các câu hỏi về bàn bida ban đầu.