Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 

và .

A.

 

  và  là hai nghiệm của phương trình x2 + 8x + 1 = 0.

B.

 

  và  là hai nghiệm của phương trình x2 – 8x - 1 = 0.

C.

 

  và  là hai nghiệm của phương trình x2 – 8x + 1 = 0.

D.

 

  và  là hai nghiệm của phương trình x2 + 8x - 1 = 0.

Với Cách lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó Toán học lớp 9 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Cách lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó.

A. Phương pháp giải

- Bài toán: Lập phương trình bậc hai ẩn x có 2 nghiệm: x1 = a, x2 = b

- Cách giải:

+ Tính 

+ Kết luận: x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0

Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x2-3x-1 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1, y2 thỏa mãn

Giải

Xét phương trình 2x2-3x-1 = 0 có a.c = 2.(-1) = -2 < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

a) Ta có:

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y1, y2 là: 

.

b) Ta có:

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y1, y2 là: 

.

Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai ẩn x có 2 nghiệm: x1 = 3, x2 = 2

Giải

Ta có: 

Suy ra x1 = 3, x2 = 2 là hai nghiệm của phương trình  x2 - 5x + 6 = 0

Ví dụ 3: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2 + 5x - 6 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1, y2 thỏa mãn y1 = 2x1 - x2 và y2 = 2x2 - x1.

Giải

Xét phương trình có 3x2 + 5x - 6 = 0 có a.c = 3.(-6) < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi-et ta có: 

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y1, y2 là: 

.

B. Bài tập

Câu 1: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là 

A. x2 + 4x – 1 = 0

B. x2 - 4x – 1 = 0

C. x2 + 4x + 1 = 0

D. x2 - 4x + 1 = 0

Giải

Ta có: 

Suy ra  là hai nghiệm của phương trình  x2 - 4x + 1 = 0

Đáp án đúng là D

Câu 2: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 = x1 + 2x22 và y2 = x2 + 2x12, biết x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 5x - 1 = 0

A. y2 - 59y + 283 = 0

B. y2 - 17y + 171 = 0

C. y2 - 7y + 370 = 0

D. y2 + 8y - 17 = 0

Giải

Phương trình  x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 nên 

Với hai nghiệm y1 và y2 thì:

Suy ra y1, y2  là hai nghiệm của phương trình  y2 - 59y + 283 = 0

Đáp án đúng là A

Câu 3: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 = 2x1-1 và y2 = 2x2-1, biết x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 3x + 2 = 0

A. y2 - 5y + 3 = 0

B. y2 - 4y + 3 = 0

C. y2 - 2y + 4 = 0

D. y2 + 8y - 7 = 0

Giải

Phương trình  x2 - 3x + 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 nên 

Với hai nghiệm y1 và y2 thì

Vậy y1, y2 là nghiệm của phương trình y2 – 4y + 3 = 0

Đáp án B

Câu 4: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 = 2x1 và y2 = -5x2, biết x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 6x + 5 = 0 (x1 <  x2)

A. y2 - 23y + 50 = 0

B. y2 - 23y + 5 = 0

C. y2 + 23y - 50 = 0

D. y2 + 23y - 7 = 0

Giải

Phương trình  x2 - 6x + 5 = 0 có a + b + c = 1 – 6 + 5 = 0 nên có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 5

Với hai nghiệm y1 và y2 thì

Vậy y1, y2 là nghiệm của phương trình y2 + 23y - 50 = 0

Câu 5: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 = 2x1 – x2 và y2 = 2x2 – x1, biết x1, x2 là hai nghiệm của phương trình  x2 - 7x + 3 = 0

A. y2 + 7y + 71 = 0

B. y2 – 7y - 71 = 0

C. y2 – 7y + 71 = 0

D. y2 + 7y - 71 = 0

Giải

Phương trình x2 - 7x + 3 = 0 có ∆ = (-7)2 – 4.1.3 = 37 > 0 nên có 2 nghiệm x1, x2

Ta có: 

Với hai nghiệm y1 = 2x1 – x2 và y2 = 2x2 – x1 thì

Suy ra y1, y2  là hai nghiệm của phương trình  y2 - 7y - 71 = 0

Đáp án đúng là B

Câu 6: Biết x1, x2  là hai nghiệm của phương trình x2 + 11x + 5 = 0. Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là số đối của x1, x2

A. y2 + 8y + 1 = 0

B. y2 - 7y - 21 = 0

C. y2 - 11y + 5 = 0

D. y2 + y - 1 = 0

Giải

Phương trình  x2 + 11x + 5 = 0 có hai nghiệm x1, x2 nên 

Với hai nghiệm y1 = -x1 và y2 = -x2 thì

Suy ra y1, y2  là hai nghiệm của phương trình  y2 – 11y + 5 = 0

Đáp án đúng là C

Câu 7: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là 3 và -7

A. x2 + 4x – 21 = 0

B. x2 - 4x – 21 = 0

C. x2 + 4x + 21 = 0

D. x2 - 4x + 21 = 0

Giải

Ta có: 

Suy ra x1 = 3, x2 = -7 là hai nghiệm của phương trình  x2 + 4x - 21 = 0

Đáp án đúng là A

Câu 8: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là 

  biết x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 2mx + m2 - 1 = 0 là

Giải

Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:  x2 - 2mx + m2 - 1 = 0 nên

Ta có: 

Với hai nghiệm là 

  thì 

Suy ra hai số  là nghiệm của phương trình 

Đáp án đúng là D

Câu 9: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là 

Giải

Ta có:

Suy ra 2 số đã cho là hai nghiệm của phương trình: 

Đáp án đúng là C