Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Bài giảng: Cách tính Thể tích hình chóp, hình lăng trụ - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên Tôi]
Để xác định đường cao hình chóp, ta vận dụng định lí sau:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng [SBC] vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Biết SB=2a3 và [SBC]=30º. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Kẻ SH vuông góc với BC
Xét tam giác SHB vuông tại H có:
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên [SAB] là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Gọi H là trung điểm của AB
SAB đều nên SH AB
[SAB] [ABCD] SH [ABCD]
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
Ta có: SAB đều cạnh a nên SH = a3/2
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D. [ABC] [BCD] và AD hợp với [BCD] một góc 60º, AD = a. Tính thể tích của tứ diện ABCD
Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH BC
Ta có: HD là hình chiếu vuông góc của DA lên mặt phẳng [BCD]
Do đó, góc giữa HD và mặt phẳng [BCD] là góc giữa AD và DH
[ADH] =60º
Xét tam giác AHD vuông tại H có:
BCD là tam giác vuông cân tại D có DH là trung tuyến nên
BC=2DH=a
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy [ABCD], biết SD=2a5, SC tạo với mặt đáy [ABCD] một góc 60º. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
Tam giác SAB cân tại S có M là trung điểm của AB nên SM AB
MC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng [ABCD] nên góc giữa SC và mặt phẳng [ABCD] là góc giữa SC và MC
[SCM] = 60º
Trong tam giác vuông SMC và SMD có:
Do ABCD là hình vuông nên MC = MD
Lại có:
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Mặt phẳng [SBC] vuông góc với đáy, hai mặt phẳng [SAB] và [SAC] cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 60º. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Gọi H là hình chiếu của S lên BC; E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
Khi đó, ta có: góc giữa [SAB] và [SAC] với mặt đáy [ABC] lần lượt là các góc [SEH ] và [SFH ]
[SEH]=[SFH] = 60º
Xét các tam giác vuông SHE và SHF có:
Do HE = HF nên AH là phân giác của góc BAC.
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với [ABC]. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác SBC vuông cân tại S nên SH BC.
Ta có:
Tam giác SBC vuông cân tại S, BC = a, SH là trung tuyến
SH=a/2
Tam giác ABC đều cạnh a nên
Bài 2: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, biết AD = a. Tính thể tích tứ diện.
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác ABC đều nên SH BC.
Ta có:
Lại có: ABC và BCD là hai tam giác đều, chung cạnh BC nên chúng bằng nhau
AH=DH
Do đó, tam giác ADH vuông cân tại H, có AD = a
AH=a/2
Mà ABC là tam giác đều nên:
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có [BAC]=90º; [ABC]=30º. SBC là tam giác đều cạnh a là nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Đáp án : B
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác SBC đều nên SH BC.
Ta có:
Xét tam giác ABC có [BAC]=90º; [ABC]=30º; BC = a nên:
SH là đường cao của tam giác đều cạnh a
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa cạnh SC và mặt phẳng [ABCD] bằng 60º, cạnh AC = a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Đáp án : A
Giải thích :
Gọi M là trung điểm của AB. Do tam giác SAB vuông cân tại S nên SM AB.
Ta có:
ABCD là hình thoi cạnh a có AC = a nên ta có:
Ta có: MC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng [ABCD] nên góc giữa SC và mặt phẳng [ABCD] là góc giữa MC và SC
[SCM]=60º
Xét tam giác vuông SMC có:
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của AB. Do tam giác ABC đều nên SH AB.
Ta có:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
OA=AC/2=a;OB=BD/2=2a
Xét tam giác OAB vuông tại O có:
Tam giác SAB đều cạnh a5 có SH là đường cao
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB=a3 và mặt phẳng [SAB] vuông góc với mặt phẳng đát. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Đáp án : A
Giải thích :
Gọi H là hình chiếu của S trên AB
SH [ABCD]
Do đó, SH là đường cao của hình chóp S.BMDN
Ta có: SA2+SB2=a2+3a2=4a2=AB2
SAB vuông tại S
SM=AB/2=a
SAM có SA = AM = SM = a nên SAM đều
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, [SBC]=60º, mặt phẳng [SAC] vuông góc với [ABC]. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của AC, tam giác SAC cân tại S nên SH AC
SH [ABC]. Đặt SH = h.
Ta có:
Tam giác ABC đều cạnh a nên
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng [ABCD] bằng 45º. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của AB SH [ABCD]
HC là hình chiếu vuông góc của SC lên [ABCD] nên góc giữa SC và [ABCD] là góc giữa HC và SC
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, AB=a,BC=a3. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của AB SH AB
Do [ABC] [SAB] nên SH [ABC]
Do SAB là tam giác đều cạnh a nên
Bài 10: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a ; SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Góc giữa hai mặt phẳng [SBM] và [ABCD] bằng 60º. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Đáp án : B
Giải thích :
+] Gọi H là hình chiếu của S lên [ABCD]. Vì tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy nên H là trung điểm AD. Gọi K là giao điểm HC và BM.
+] CHD=BMC [c.g.c]
Mặt phẳng [SHK] vuông góc với BM là giao tuyến của [SBM] và [ABCD], đồng thời cắt 2 mặt phẳng này tại các giao tuyến SK và HK, suy ra góc giữa [SBM] và [ABCD] là góc giữa SK và HK.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi