CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG§1: THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG§2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1§3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2§1: Tham số hóa đường cong1. Đường cong trong mặt phẳng: thường được cho bằng 2 cáchTrường hợp đặc biệt: Có 2 trường hợpcossinx a R ty b R tì= +ïïíï= +ïîa. Cho bởi pt tham số [ ][ ]x x ty y tì=ïïíï=ïî[ ]x ty f tì=ïïíï=ïîb. Cho bởi pt y=y[x]: Ta thường đặt x=t thì pt tham số sẽ làa. Viết phương trình tham số của đường tròn [x-a]2+[y-b]2=R2 ta sẽ đặt§1: Tham số hóa đường congb. Viết phương trình tham số của đường ellipse 2 22 21x ya b+ =2. Đường cong trong không gian: thường được cho bằng 2 cácha. Được cho sẵn bởi phương trình tham số[ ][ ][ ]x x ty y tz z tì=ïïï=íïï=ïîTa sẽ đặt :cossinx ary brjjì=ïïíï=ïî§1: Tham số hóa đường congb. Cho là giao tuyến của 2 mặt cong: [ , , ] 0[ , , ] 0f x y zg x y zì=ïïíï=ïîKhi đó, thông thường ta sẽ đặt 1 trong 3 biến bằng t, thay vào 2 phương trình trên để được hpt với 2 pt và 2 ẩn là 2 biến còn lại. Giải hpt đó theo tham số t, ta sẽ ra 2 biến còn lại cũng tính theo t§1: Tham số hóa đường congVí dụ 1: Viết phương trình tham số đường cong C là giao tuyến của x2+y2=z2 và ax=y2 [z≥0]Ta đặt y=t thì 22 2 222 2 210 1[ ]x tx y zaax y y tzz t t aaìïï=ìï+ =ïïïïïï ï= Û =í íï ïï ï³ï ïïïî= +ïïîVí dụ 2: Viết phương trình tham số đường cong C là giao tuyến của x2=y và x=z [x≥0]22x ty xy tx zz tì=ïïì=ïïï ïÛ =í íï ï=ïîï=ïïîTa đặt x=t thì §1: Tham số hóa đường congTuy nhiên, trong một số trường hợp thông thường hay gặp, ta sẽ có cách tham số hóa từng đường cong cụ thể tùy vào những điểm đặc biệt của chúngVí dụ 3: Viết pt tham số của 2 đường cong C1, C2 là giao tuyến của x2+y2+z2=2, z2=x2+y2Ta có:2 2 22 22 2 2211x y zx yzz x yìì+ + =ï+ =ïï ïÛí íï ï= ±= +ïîïîTức là C1, C2 vừa là giao tuyến của mặt cầu và mặt nón vừa là giao tuyến của mặt trụ với 2 mặt phẳng. Nói cách khác: C1, C2 là 2 đường tròn đơn vị nằm trên 2 mp đối xứng nhau qua mp z=0. §1: Tham số hóa đường congKhi đó, ta đặt x=cost thì suy ra y=sint. Vậy pt tham số của C làsincos1x ty tzì=ïïï=íïï= ±ïî§1: Tham số hóa đường congVí dụ 4: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=a2, x=yThay x=y vào phương trình mặt cầu2 2 2 2 2 2 2cos22sinax y tx y z a x z ax y x yz a tìïì ìï= =+ + = + =ï ïï ï ïÛ Ûí í íï ï ï= =ï ïî îï=ïîTa được: 2x2+z2=a2 , là pt của đường ellipse. Tức là C là đường ellipse 2x2+z2=a2 trên mp x=yĐặt 2x2=a2cos2t thì suy ra z2=a2sin2t. Vậy ta được:§1: Tham số hóa đường congVí dụ 5: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=4 và x2+y2=2x lấy phần ứng với z dươngTừ pt mặt trụ : x2+y2=2x ↔ [x-1]2+y2=1Ta đặt x-1=cost, suy ra y=sint và thay vào pt mặt cầu1 cossin4 2[1 cos ]x ty tz tìï= +ïïïÛ =íïïï= - +ïî2 2 22 242x y zx y xì+ + =ïïíï+ =ïî§1: Tham số hóa đường congVí dụ 6: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=6z và z=3-xTa viết lại pt mặt cầu : x2+y2+[3-z]2=9Thay 3-z=x vào để được C là đường ellipse 2x2+y2=9 trên mp x=3-zĐặt 2x2=3cos2t, thì y2=3sin2tVậy: 3cos23sin33 cos2x ty tz tìïï=ïïïïÛ =íïïïï= -ïïî2 2 2 2 26 2 93 3x y z z x yz x z xì ì+ + = + =ï ïï ïÛí íï ï= - = -ï ïî î§1: Tham số hóa đường congVí dụ 7: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=2 và x+y+z=0Thay z=-[x+y] từ pt mặt phẳng vào pt mặt cầu: x2+y2+[x+y]2=2↔ x2+y2+xy=1221 312 2x y yæ öæ ö÷ç÷ç« + + =÷ç÷ç÷÷çç÷è øçè øDo đó, ta được[ ][ ]222 2 21cos21 3123sin2 220x y tx y yx y zy tx y zz x yz x yìïï+ =ïïìïæ öïæ öïï÷ç÷ìçï+ + =÷+ + =ïïç÷ï ï ïç÷÷çç÷è øç« « =í í íè øï ï ï+ + =ïîï ïï ï=- +ï ï=- +îïïïïîVậy pt tham số của C là 1 2 1cos sin , sin , cos sin3 3 3x t t y t z t t= - = =- -§2: Tích phân đường loại 1Định nghĩa: Cho hàm f[x,y] xác định trên cung AB. ABChia cung AB thành n phần tùy ý bởi các điểm chia A=A0, A1, A2, … An=BAnAk+1AkA0A1Trên mỗi cung nhỏ AkAk+1 có độ dài là Δlk lấy 1 điểm Mk[xk,yk] bất kỳMkxkykCho max Δlk → 0, nếu Sn có giới hạn hữu hạn không phụ thuộc cách chia cung AB và cách lấy điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tp đường loại 1 của hàm f[x,y] dọc cung ABLập tổng 0[ , ]nn k k kkS f x y l== Då§2: Tích phân đường loại 1Và kí hiệu làmax 0[ , ] limknlABf x y dl SD ®=òĐịnh nghĩa tương tự cho tp đường loại 1 của hàm 3 biến f[x,y,z]Khi đó, ta nói hàm f[x,y] khả tích trên cung ABĐiều kiện khả tích: Hàm f[x,y] liên tục dọc cung trơn từng khúc AB thì khả tích trên cung ABCung AB có pt tham số x=x[t], y=y[t], a≤t≤b được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’[t], y’[t] tồn tại, liên tục và không đồng thời bằng 0 trên đoạn [a,b] và gọi là trơn từng khúc nếu nó có thể chia thành 1 số hữu hạn các cung trơnTừ định nghĩa, ta suy ra cách tính độ dài cung ABABABL dl=ò§2: Tích phân đường loại 1Các tính chất: Các hàm f, g khả tích trên cung ABTính chất 1: TP đường loại 1 không phụ thuộc vào hướng của đường lấy tp, tức là[ , ] [ , ]AB BAf x y dl f x y dl=ò òTính chất 1: TP đường loại 1 không phụ thuộc vào hướng của đường lấy tp, tức là[ , ] [ , ]AB BAf x y dl f x y dl=ò òTính chất 2: Với λ, μ là các hằng số thì λf+ μg cũng khả tích trên AB và[ ]AB AB ABf g dl fdl gdll m l m+ = +ò ò òTính chất 3: Cho C là điểm bất kỳ trên cung AB thìAB AC CBfdl fdl fdl= +ò ò ò§2: Tích phân đường loại 1Tính chất 4: Nếu f ≥0 trên cung AB thì 0ABfdl ³òTính chất 5: AB ABfdl f dl£ò òTính chất 6: Tồn tại điểm M thuộc cung AB sao cho 1[ ]ABABfdl f ML=òTrong đó, LAB là độ dài cung AB. Ta gọi f[M] là giá trị trung bình của hàm f trên cung AB§2: Tích phân đường loại 1Ta chia thành 3 trường hợp nếu cung AB trong mp Oxy: TH1: Cung AB có pt y=y[x], x1≤x≤x2 thì212[ , ] [ , [ ]] 1xxAB xf x y dl f x y x y dx¢= +ò òTH2: Cung AB có pt x=x[t], y=y[t], t1≤t≤t2 thì 212 2[ , ] [ [ ], [ ]]tt tAB tf x y dl f x t y t x y dt¢ ¢= +ò òTH3: Cung AB có pt r=r[φ], φ1≤φ≤ φ2 thì : 212 2[ , ] [ [ ]cos , [ ]sin ] [ ] [ ]ABf x y dl f r r r r djjj j j j j j j¢= +ò ò§2: Tích phân đường loại 1Nếu AB là cung trong không gian có pt tham số 1 2[ ][ ][ ],x x ty y tz z t t t tì=ïïï=íïï= £ £ïîThì 212 2 2[ , , ] [ [ ], [ ], [ ]] [ ] [ ] [ ]tAB tf x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt¢ ¢ ¢= + +ò ò§2: Tích phân đường loại 1Ví dụ 1: Tính tích phân đường loại 1 trên biên của ΔABC với A[1,1], B[3,3], C[1,5] của hàm f[x,y]=x+yBiên của ΔABC gồm 3 đoạn AB: y=x, 1≤x ≤3, BC: y=6-x, 1≤x ≤3, CA: x=1, 1≤y≤5 5CB1351AI1=IAB+IBC+ICATrên đoạn AB: thay y=x và21 [ ] 2y x¢+ =Ta được :31[ ] 2ABI x x dx= +ò8 2=§2: Tích phân đường loại 1Tương tự, ta cũng có316 2 12 2BCI dx= =ò51[1 ] 16CAI y dy= + =òVậy 1[ ] 20 2 16CI x y dl= + = +ò§2: Tích phân đường loại 1Ví dụ 2: Tính 2 22[ ]CI x y dl= -òVới C là phần đường tròn x2+y2=4, x≥0, y≤02-2Có 3 cách để tính tp I2 như sau Cách 1: Tính 24 ,0 2y x x=- - £ £Suy ra 2221 [ ]4y xx¢+ =-Vậy: 22 22202[ [4 ]]4I x x dxx= - --ò{2222sin02 [8sin 4]x tI t dtp== -ò==0§2: Tích phân đường loại 1Cách 2: Viết pt C trong tọa độ cựcSuy ra: Vậy: 22 2232[4cos 4sin ].2I dppj j j= -ò2 2[ ]cos 2cos , [ ]sin 2sin , [ ] [ ] 2x r y r r rj j j j j j j j¢= = = = + ==032, 22rpj p= £ £Cách 3: Viết pt tham số của C bằng cách đặt x=2cost thì y=2sintSuy ra : 2 2[ ] [ ] 2x t y t¢ ¢+ =Và ta được tích phân như đã tính trong Cách 2§2: Tích phân đường loại 1Ví dụ 3: Tính Với C là giao tuyến của x2+y2+z2=4, x2+y2=1,z≥032CI xzdl=òĐây là tp đường loại 1 trong không gian nên ta bắt buộc phải viết pt tham số của CThay x2+y2=1 vào pt mặt cầu ta được 3z =Nên ta đặt x=cost, để có y=sintSuy ra 2 2 2[ ] [ ] [ ] 1x t y t z t¢ ¢ ¢+ + =Vậy : 2302.cos . 3.1I t dtp=ò=0§2: Tích phân đường loại 1Ví dụ 4: Tính độ dài phần đường parabol y=x2 với 0≤x≤2Ta có 2 21 [ ] 1 4y x x¢+ = +Vậy :2201 4CCL dl x dx= = +ò ò1ln[4 17]2CL = +
Phương trình tham số, phương trình chính tắc, vecto chỉ phương, hệ số góc, … là những kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán 10, phân môn Hình học. Nhằm giúp các em nắm vững hơn lý thuyết về phương trình tham số và cách viết phương trình tham số của đường thẳng, THPT Sóc Trăng đã chia sẻ bài viết sau đây.
I. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG CỰC HAY
1. Phương trình tham số là gì ?
Bạn đang xem: Phương trình tham số. Cách viết phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số xác định bởi hệ các hàm số của một hoặc nhiều biến độc lập gọi là các tham số. Phương trình tham số thường được sử dụng để biểu diễn các tọa độ của các điểm thuộc đối tượng hình học như đường cong hoặc bề mặt, mà khi đó các đối tượng này được gọi là biểu diễn theo tham số hoặc tham số hóa.
Ví dụ, phương trình:
là dạng biểu diễn bằng tham số của đường tròn đơn vị, với t là tham số.
2. Vecto chỉ phương
– Cho đường thẳng d, vecto
–
– Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến vuông góc với nhau hay nói cách khác vecto chỉ phương của d là
3. Cách viết phương trình tham số của đường thẳng
– Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A[x0; y0] nhận
– Đường thẳng d đi qua điểm A[x0; y0], nhận là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là
– Nếu
4. Ví dụ:
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M[ -2; 3] và có VTCP u→ = [1; -4] .
A.
Lời giải
Đường thẳng [d] đi qua M[-2; 3] và có VTCP u→ = [1; -4] nên có phương trình
Chọn B.
Ví dụ 2. Đường thẳng d đi qua điểm M[ 1; -2] và có vectơ chỉ phương u→ = [3; 5] có phương trình tham số là:
A. d:
Lời giải
Đường thẳng d:
⇒ Phương trình tham số của đường thẳng d:
Chọn B.
II. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
1. Bài tập có đáp án
Bài 1: Đường thẳng đi qua hai điểm A[3; -7] và B[ 1; -7] có phương trình tham số là:
A.
Lời giải
+ Ta có đường thẳng AB:
⇒ Phương trình AB:
+ Cho t= – 3 ta được : M[ 0; -7] thuộc đường thẳng AB.
⇒ AB:
⇒ Phương trình tham số của AB :
Chọn A.
Bài 2: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u→ = [-1; 2] có phương trình tham số là:
A. d:
Trả lời:
Đường thẳng d:
⇒ Phương trình tham số d:
Đáp án: C
Bài 3: Cho 3 điểm A[-2; 1], B[-1; 5], C[-2; -3]
a. Viết phương trình tham số AB, AC.
b. Viết phương trình tham số đường trung trực cạnh BC.
c. Viết phương trình đường thẳng song song với AB và đi qua trung điểm của BC.
Hướng dẫn giải
a. Phương trình đường thẳng AB nhận
Phương trình tham số AB là:
Tương tự với đường thẳng AC có phương trình tham số là:
b. Đường trung trực của BC đi qua trung điểm của BC và nhận
Gọi M là trung điểm của BC khi đó:
Phương trình tham số đường trung trực BC là:
c. Do đường thẳng d tìm song song với AB nên
Theo câu b, trung điểm của BC là
Vậy phương trình tham số của d là:
Bài 4:
Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết
a] Đi qua 2 điểm A[-3,2], B [5,-4]. Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.
b] Đi qua A [3,1] song song với đường thẳng y = -2x + m -1.
Hướng dẫn giải
a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
Vậy PT tổng quát cần tìm là:
Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là:
Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là:
b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1
⇒ a = -2
Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b
Mà đường thẳng qua điểm A[3; 1]
⇒ 1 = 3.[-2] + b
⇒ b = 7
Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7
Bài 5: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. Đường thẳng d đi qua 2 điểm A[-1;1], B[2; -1].
b. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng
Hướng dẫn giải
a. Ta có đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B nên d nhận
Phương trình tham số của đường thẳng d là:
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
b. Ta có d song song với
Phương trình tham số của đường thẳng d là:
Phương trình chính tắc của d là:
Bài 6:Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. Phương trình đi qua điểm A[1; 2] nhận
b. Phương trình đi qua điểm B[0; 1] vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1.
c. Phương trình song song với đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 và đi qua điểm M[ 0, 1].
Hướng dẫn giải
a. Gọi điểm M[x, y] thuộc d ta có:
Phương trình chính tắc là:
b. Ta có đường thẳng y = 2x + 1 có vecto pháp tuyến
Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 nên VTPT
Ta có phương trình tham số của d là:
2. Bài luyện tập thêm
Bài 1:
1. Cho 3 điểm A[-4;1], B[0;2], C[3;-1].
a] Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB, BC, CA.
b] Gọi M là trung điểm của BC. Viết phương trình tham số của đường thẳng AM.
2. Cho tam giác ABC có A[1;4]; B[-9;0]; C[7;1]
a] Viết phương trình tham số của đường thẳng AB, BC, CA.
b] Viết phương trình tham số đường trung tuyến của tam giác ABC.
Bài 2: Cho 2 đường thẳng
a] Tìm tọa độ giao điểm A của d1 và d2
b] Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của:
+ Đường thẳng đi qua A và vuông góc với d1
+ Đường thẳng đi qua A và song song với d2
Bài 3: Cho tam giác ABC có A[-2; 1], B[-1; 5], C[2; 3]
a. Viết phương trình tham số các cạnh AB, BC, AC.
b. Viết phương trình đường trung tuyến AM, CP với M, P lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB.
c. Viết phương trình tham số đường cao AH.
d. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với BC.
e. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với y = 2x – 3.
Bài 4: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc [nếu có] trong các trường hợp sau:
a. Đường thẳng đi qua 2 điểm A[-2; 0], B[1; 3].
b. Đường thẳng đi qua M[3; -2] song song với đường thẳng 2x + 5y – 4 = 0.
c. Đường thẳng có hệ số góc k = 1 đi qua điểm D[-1; -1].
d. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng x – y – 1 = 0.
Vậy là chúng tôi đã giới thiệu đến quý bạn đọc lý thuyết về phương trình tham số và cách viết phương trình tham số của đường thẳng cực hay. Hi vọng, sau khi chia sẻ cùng bài viết, bạn nắm vững hơn phần kiến thức vô cùng quan trọng này. Xem thêm cách tìm Vectơ chỉ phương của đường thẳng tại đường link này nhé !
Đăng bởi: THPT Sóc Trăng
Chuyên mục: Giáo dục