Phương trình tổng quát của đường thẳng nâng cao

Hình 10 NC

Bài 35: CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (B1)

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với đường thằng khác.

Bài 2. Mức 2: Cho tam giác ABC với

.

a)    Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác kẻ từ B;

b)   Viết phương trình đường cao

 của tam giác ABC.

Hướng dẫn:

a)        Gọi D là trung điểm của AC, ta có tọa độ điểm D là:

.

Ta có

 nên vecto pháp tuyến của đường thẳng BD là:

.

Phương trình đường thẳng BD là:

b)        Đường cao

 đi qua điểm

 và nhận vecto

 làm vecto pháp tuyến có phương trình là

Bài 3. Mức 2: Cho tam giác ABC có đỉnh

 và trọng tâm

. Hãy viết phương trình đường thẳng AB biết rằng

 là trung điểm của cạnh BC.

Hướng dẫn:

Vì

 là trung điểm của cạnh BC nên ta có:

.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

.

Ta có:

 nên vecto pháp tuyến của đường thẳng AB là:

.

Phương trình đường thẳng AB là:

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với đường thằng khác.

Bài 1. Mức 1: Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số:

.

a)    Viết phương trình tổng quát của Δ;

b)   Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm

 và song song với Δ;

c)    Viết phương trình tổng quát của đường thẳng l đi qua điểm

 và vuông góc với Δ.

Hướng dẫn:

a)   Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương là

 nên có vecto pháp tuyến là

.

Chọn tham số

 ta có ngay điểm

 nằm trên Δ.

Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là:

b)  Do đường thẳng d song song với Δ nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là

.

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

c)    Đường thẳng l vuông góc với Δ nên có vecto pháp tuyến là

.

Phương trình tổng quát của đường thẳng l là:

Bài 4:

b) Cho đường thẳng

, viết phương trình đường thẳng

 đi qua điểm B là điểm đối xứng của điểm

 qua đường thẳng

 và song song với đường thẳng

.

Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng

 nên ta có:

.

Phương trình đường thẳng AB là:

.

Vì A và B đối xứng nhau qua đường thẳng

nên trung điểm N của chúng sẽ là giao điểm của hai đường thẳng d và AB.

Suy ra tọa độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

.

Từ đó ta tính được

.

Đường thẳng

 song song với đường thẳng

 nên

.

Phương trình đường thẳng

 là:

Dạng 3: Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và tạo với đường thẳng một góc 450

Bài 4. Mức 2:

a)    Cho

, viết phương trình đường thẳng d qua M và tạo với đường thẳng

 góc 45°.

Hướng dẫn:

a)    Ta có

 . Giả sử

Khi đó

·      TH1:

 , chọn

 . Khi đó phương trình đường thẳng d đi qua M và nhận

 làm vecto pháp tuyến có phương trình là:

·      TH2:

 , chọn

 . Khi đó phương trình đường thẳng d đi qua M và nhận

 làm vecto pháp tuyến có phương trình là:

Dạng 4: Phương trình đoạn chắn

Bài 5. Mức 3:Cho hai điểm

 và

. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I.

Hướng dẫn:

Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại

.

Phương trình đường thẳng d có dạng:

. Do d đi qua

 nên

  (1).

Gọi N là trung điểm của AB thì

. Vì tam giác ABC cân tại I nên

.

Do đó:

·         Trường hợp 1:

 thay vào (1) ta có:

.

Suy ra phương trình đường thẳng d là:

·         Trường hợp 2:

 thay vào (1) ta có:

Với

 ta có phương trình đường thẳng d là:

Bài 6. Mức 3:Đường thẳng d đi qua

 cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho

. Hãy viết phương trình đường thẳng d.

Hướng dẫn:

Cách 1: Sử dụng phương trình đường thẳng dạng hệ số góc.

Gọi

 là góc giữa đường thẳng d và trục Ox.

Do tam giác OAB vuông tại O nên ta có:

.

·         Trường hợp 1:

. Đường thẳng d có hệ số góc bằng

 và đi qua

 nên có phương trình là:

·         Trường hợp 2:

. Đường thẳng d có hệ số góc bằng

 và đi qua

 nên có phương trình là:

Cách 2: Sử dụng phương trình đoạn chắn.

Giả sử

 phương trình đường thẳng AB là:

  (1).

Do

 nên

.

·         Trường hợp 1:

Nếu

 ta có (1)

  (2).

Do

 nằm trên d nên

. Thay vào (2) ta được phương trình đường thẳng d là:

.

·         Trường hợp 2:

Nếu

 ta có (1)

  (3).

Do

 nằm trên đường thẳng d nên

. Thay vào (3) ta được phương trình đường thẳng d là:

Bài 7. Mức 3:Hãy lập phương trình đường thẳng qua

 và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 4.

Hướng dẫn:

Giả sử d là đường thẳng cần lập phương trình. Gọi

 lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox, Oy.

Ta có phương trình đường thẳng d là:

.

Do điểm

 nằm trên đường thẳng d nên:

  (1).

Ta có:

.

·         Trường hợp 1: Nếu

 thay vào (1) ta có:

.

Suy ra phương trình đường thẳng d là:

·         Trường hợp 2: Nếu

 thay vào (1) ta có:

.

Do đó phương trình đường thẳng d là:

---

Page 2

Cáchướngdẫn ở đâychỉmangtínhgợi ý rútgọn, khôngphảilàbàitrìnhbàymẫu. Trongtrườnghợpcácemđãsuynghĩrấtnhiềumàchưaracáchgiảithìđượcphépxemhướngdẫnđểsuynghĩtiếp. Saukhiđãxemgợi ý màcácemvẫncòngặpkhókhănthìlênlớpđểhỏicácthầycô.

Hình 10 NC

Bài 27.2: ÔN TẬP TỔNG HỢP

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Mức2:Xácđịnhthamsốavàbđểđồthịdcủahàmsố

         a)

 đi qua

         b)

 đi qua

 và song song với

         c)

 đi qua

 và  cắt hai tia

 tại

 sao cho

 nhỏ nhất.

         d)

 đi qua

và

 với

.

Hướngdẫn:

a) Vì

 và

 nên ta có hệ phương trình

Vậy hàm số cần tìm là

b) Ta có

. Vì

 nên

  (1)

Mặt khác

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy hàm số cần tìm là

c) Đường thẳng

 cắt trục

 tại

 và cắt

 tại

 với

Suy ra 

 (3)

Ta có

 thay vào (3) ta được

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy hàm số cần tìm là

.

d) Đường thẳng

 đi qua

 nên

 (4)

Và

 thay vào (4) ta được

.

Vậy hàm số cần tìm là

.

Bài 2. Mức3:Cho

.

a)     Tìm

để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4

b)     Tìm quỹ tích đỉnh của

.

c)     Tìm

để

có đúng một điểm chung với

d)     Khi

, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1

e)     Xác định tham số

để đường thẳng

cắt

 tại hai điểm phân biệt

sao cho

 Tính diện tích

.

Hướngdẫn:

a)      Giátrịnhỏnhấtcủahàmsốlà

b)      Đỉnhcủa

là

. Ta có

suyra

Vậytậphợpđỉnh

làparabol

.

c)      Xétphươngtrình

. Sốnghiệmcủaphươngtrìnhlàsốgiaođiểmcủa

và

. Do đó

cóđúngmộtđiểmchungvới

khivàchỉkhiphươngtrìnhcónghiệmkép

.

d)      Với

, điểmcóhoànhđộbằng 1 là

. Gọi

làđườngthẳng qua

, hoànhđộgiaođiểmcủa

và

lànghiệmcủaphươngtrình

làtiếptuyếncủa

khivàchỉkhi

Vậytiếptuyếnlà

.

e)      Hoànhđộgiáođiểmcủa

và

lànghiệmcủaphươngtrình

cắt

tạihaiđiểmphânbiệt

khivàchỉkhi

Theo địnhlíVi – et ta có

Trungđiểm

là

Khiđó ta có

vuông

Bài 3. Mức2:Cho PT

a)  Giải PT với m = −2

b)  Tìm m để PT đã cho có hai nghiệm

thỏa mãn

Hướng dẫn

a)Với m = −2 ta có PT

b)Với m = 0 thì PT vônghiệm

Với m ≠ 0 thì PT cóhainghiệm

.

Bài 4. Mức3:

a)      Giảiphươngtrình

b)      Giảivàbiệnluậnphươngtrìnhsautheothamsố

c)  Cho

  là nghiệm của hệ phương trình

. Tìm

 để

 nhỏ nhất.

Hướngdẫn:

a) ĐKXĐ:

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là

 và

 .

b)  

Nếu

, phươngtrìnhcónghiệmduynhất

.

Nếu

, phươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệt

c)Đặt

, điều kiện

Hệ phương trình trở thành

Điều kiện

 suy ra

 (*)

Ta có

Dấu bằng xảy ra

 (thỏa mãn (*))

Vậy

 thì

 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5. Mức 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, K là trung điểm của BI. Chứng minh rằng:

          a)

                                          b)

Hướngdẫn:

a) VìK là trungđiểmcủaBInên

         (1)

b) VìI là trungđiểmcủaBCnên

         (2)

Thay (2) và (1) ta có:

Bài 6. Mức 2:

a) Cho tam giác

có

 và

.Tính cạnh BC.

b)      Cho tam giác

 có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3, cạnh

 và

. Tính cạnh BC.

c) Cho tam giác

 có

 và

 tính chu vi của tam giác

d)      Cho tam giác

 có

.Tính R

Hướngdẫn:

a)  Áp dụng định lí côsin ta có

Suy ra

b) Đặt

.

.

Theo định lí côsin ta có

Hay

c)  Theo định lí côsin ta có

Suy ra chu vi tam giác là

d)  

Bài 7. Mức 2:Cho hai vectơ

a) Tính cosin góc giữa hai vectơ

 và

b) Xác định tọa độ của vectơ

 biết

 và

Hướngdẫn :

a)

b) Gọi

, ta có 

Suy ra

,

Do đó

.

Bài8*:Cho tam giác ABC. Tìmtậphợpđiểm M saocho

Hướngdẫn:

Gọi I làđiểmxácđịnhbởi

 . Khiđó

⇔

⇔

Gọi M’, I’ lầnlượtlàhìnhchiếucủa M, I lênđườngthẳng BC

Theo côngthứchìnhchiếu ta có

 do đó

= BC2

Vì BC2> 0 nên

cùnghướng⇒

= BC2 ⇔ M’I’.BC = BC2⇔ M’I’ = BC

Do Icốđịnhnên I’ cốđịnhsuyra M’ cốđịnh

Vậytậphợpđiểm M làđườngthẳngđi qua M’ vàvuônggócvới BC

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM   

Bài 1:Đápán C.

Phươngtrìnhđườngthẳngcầntìmcódạng

.

Vì

đi qua điểm

suyra

.

Bài 2:Đápán C.

Ta có:

Bài 3: Đápán A.

Ta có

Bài 4: Đápán A.

Điềukiệnxácđịnh:

.Vậy TXĐ:

.

Bài 5: Đápán C.

Bài 6: ĐápánD.

Điềukiệnxácđịnh:

hệvônghiệm. Vậytậpnghiệm:

.

Bài 7:Đápán B.

Ta có:

.

Bài 8:Đápán B.

Bài9: Đápán D.

Bài10:Đápán A.

Theo định lí côsin ta có

Suy ra chu vi tam giác là