Soạn Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp the

ax + by = c a' x + b' y = c' ta có thể làm như sau : § 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÊ A. Tóm tắt kiến thức Muốn giải hệ phướng trình -by + c Gi ủ sử rằng ur(i. Bước 1. Rút một ẩn X từ một phương trình ax + by = c, ta được X = DUƠC X. I nay X = — vào pnưo a trình một ẩn a'. + 6 + b'y = c'. Q „7..^^..^ X..' 7. ...Ax a’. V Bước 2. Thay X = VÍJỠ phương trình a'x + b'y = c', ta được một phương Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa được trong bước 2, tìm được giá trị của y. Bước 4. Thay giá tri vừa tìm được của ẩn y vào biểu thức X = fey —- , ta tìm ạ được giá trị tương ứng của X. Cặp giá trị tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ đã cho. Lưu ý. a) Nếu a = 0 thì b^o. Khi đó ta rút y từ phương trình ax + by = c. b) Khi các hệ sô a, b, a', b' lủ những số nguyên, ta thường rút ẩn mà hệ số của nó có giá tri tuyệt đối nhỏ nhất. B. Ví dụ Ví dụ 1. Giải hệ phương trình Giải phương trình (4): (4) 4x + 15x — 18 = 1 19x = 19 X = 1. Thay X = 1 vào phương trình (3) ta được : y = 5.1 -6 = -l. Vậy hệ có một nghiệm duy nhất là (x ; y) = (1 ; -1). đối tương đương như sau : 5x - y = 6 4x + 3y = 1 y = 5x - 6 y = 5x - 6 4x + 3y = 1 y = 5x - 6 19x = 19 í 5 y = 5x - 6 4x + 3(5x - 6) = 1 4x + 15x-18 = l Vậy hệ có một nghiệm là (x ; y) = (1 ; -1). . Í2x-5y = 6 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình y = 5x - 6 X = 1 y = -i X = 1. (1) (2) 4x + 7y = -5 > Giải. Vì 2 là hệ số có giá trị tuyệt đối bé nhất nên ta rút X từ phương trình (1). Ta được : 5y + 6 (3) - Thay X = vào phương trình (2), ta được : 2 5y + 6 + 7y = -5 hay 2(5y + 6) + 7y = -5. (4) Lưu ý. Có thể trình bày phép giải hệ phương trình bằng một dãy các phép biến Giải phương trình (4) : (4) lOy + 12 + 7y = -5 « 17y - -17 y = -l. Thay y = -1 vào phương trình. (3), ta được : 5.(-l) + 6 _J_ 2 ~2 v2; Y Vậy hệ đa cho có nghiệm duy nhất là (x ; y) = Ví dụ 3. Tìm a và b để đường thẳng (d) : ax + by = 7 đi qua hại điểm A(-3 ; 10) và B(2; -9). > Giải. Vì đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B nên toạ độ của chúng thoả mãn phương trình ax + by = 7 ; nghĩa là : (1) (2) -3a + 10b = 7 2a - 9b = 7 Giải hệ phương trình này với hai ẩn là a và b. Rút a từ phương trình (2), ta được (3) (4) 9b + 7 a =—— ■ 2 Thay a = + 7 vào phương trình (1), ta được : _3.2Ề±2+ i0b = 7 hay -27b-21 + 20b = 14. - Giải phương trình (4): (4) -7b = 35 « b = -= -5. 7 - Thay b = -5 vào phương trình (3), ta được : = -19. 9 (-5)+ 7 Vậy a = -19, b = -5. Ví dụ 4. Tim giá trị của b để ba đường thẳng (dj): 4x - 3y = 1, (d2): - 5x + 3y = -2, (d3): 5x + by = 7 đồng quy. ❖ Phân tích. Ba đường thẳng (dj), (d2), (d3) đồng quy có nghĩa là đường thẳng (d3) đi qua giao điểm của Giải. • Tim giao điểm của (dj) và (d2). Giải hệ phương trình (I) 4x -1 -X = Vậy giao điểm của (d]) và (d2) là M(1 ; 1). • Để (dị), (d2) và (d3) đồng quy thì điểm M(1 ; 1) phải thuộc (d3). Muốn vậy ta phải có : 5.1 + b. 1 = 7. Suy ra b = 7 - 5 = 2. Vậy để (d]), (d2) và (d3) đồng quy thì b = 2. c Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Hướng dẫn : a) Rút X hoặc y từ phương trình đầu. Rút y từ phương trình thứ hai. Rút X từ phương trình đầu. Đáp sô : a) (x ; y) = (10 ; 7); b) (x ; y) = ; c) (x ; y) = ; --^J . a) Đáp sô': (x ; y) = (7 ; 5). . X , X , 3x -6 b) Hướng dân. Rút y từ phương trình đâu ta được : y = —-—. Đáp sô': (x ; y) = (3 ; 1,5). Giải. a) Từ phương trình đầu rút ra X = -y 5/5 . Thay vào phương trình thứ hai được : -y V5 . V5 + 3y = 1 - SỈ5 hay -2y = 1 - 5/5 . Suy ra y = Do đó X = - V5-1 /7 5-V5_V5-5 X —-. V5 — =—-— Vậy nghiệm của hệ là (x ; y) = ^75-5.75-1 V 2 ; 2 ) b) Từ phương trình thứ hai rút ra y = -4x + 4 - 2 73 . Thay vào phương trình đầu được : (2-73 )x-3(-4x+ 4-273) = 2 + 573 hay (14-73 )x= 14-73. Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (1 ; - 2 73 ). 15. Trử lời: a) Với a = -1, ta có hệ phương trình . Hệ vô nghiệm. 2x + 6y = -2 X + 3y = 1 (x;y)=(2;-i). Hệ có vô số nghiệm. 16. Hướng dẫn : a) Rút y từ phương trình đầu. Rút y từ phương trình thứ hai. Đổi phương trình đầu thành 3x - 2y = 0 và rút X từ phương trình thứ hai. Đáp số: a) (x ; y) = (3 ; 4); b) (x ; y) = (-3 ; 2); c) (x ; y) = (4 ; 6). 17. Giải, a) x72 - y73 = 1 X + y73 = 72 -y(76 + 73) = -l X = -y73 + 72 x72 - y73 = 1 X = -y73 + 72 1 76+73 = -7ĩ- b) X - 2\Ỉ2y = 75 x72 + y = 1 - 7ĨÕ X = 2sỈ2y + 75 5y + 7ĨÕ = 1 -7ĨÕ X = 2\Ỉ2y + 75 1 - 27ĨÕ '(-y73 + 72)72-y73 = X = -y73 + 72 76-73 72 76+73 X = 2sỈ2y + 75 72.(272y + 75) + y = 1 - 7ĨÕ X = 2s[2y + 75 5y = 1 - 27ĨÕ 272-375 5 1-27ĨÕ V 2 19. Giải. Vì P(x) chia hết cho X + 1 và X - 3 nên : m(-l) Xét xem ba đường thẳng (dị): 6x - y - 7, (d2): 7x + 2y = 5, (d3): -3x + 5y - có đồng quy hay không ? Tim một phương trình bậc nhất hai ẩn sao cho hai cặp số (-3 ; 1) và (1 ; 3) đều là nghiệm của nó. Có thể tìm được bao nhiêu phương trình như thế ? Xác định a và b để hai đường thẳng (dị): (2a- l)x + (b - 2)y = 14, (d2): (a + 5)x - (2b + l)y = 13 cắt nhau tại điểm M(2 ; -1). + (m - 2).(-l)2 - (3n - 5).(-l) - 4n = 0 m.33 + (m - 2).32 - (3n - 5).3 - 4n = 0 c) (72 - l)x - y = 72 y = (72 - l)x -72 Hướng dẫn - Đáp sô Hướng dãn : Giải hai hệ phương trình. Trả lời : Có, vì cả hai hệ đều có nghiệm duy nhất là (1 ; 1). Hướng dẫn : Tìm giao điểm của (dị) và (d2) rồi xét xem giao điểm ấy có thuộc (d3) hay không. Trả lời : Có. Giải. Cách 1. Giả sử phương trình phải tìm là ax + by = c. Vì (-3 ; 1), (1 ; 3) đều là nghiệm của phương trình nên a.(-3) + b.l = c a. 1 + b.3 = c hay < í-3a + b = c (1) a + 3b = c. (2) Từ (1) suy ra b - 3a + c. Thay biểu thức của b vào (2), ta được : a + 3(3a + c) = c hay 10a = - 2c. Do đó a - -4 và b - -3.4 + c = “ • 5 5 5 Chọn c = -5, ta được : a = 1, b = -2. Phương trình X - 2y = -5 có nghiệm là (-3 ; 1) và (1 ; 3). Với mỗi giá trị khác 0 của c ta tìm được những giá trị tương ứng của a và b. Vì thế có vô số phương trình bậc nhất nhận hai cặp số đã cho làm nghiệm. Cách 2. Vì hai cặp số (-3 ; 1) và (1 ; 3) là nghiệm của phương trình nên hai điểm M(-3 ; 1) và N(1 ; 3) thuộc đường thẳng biểu diễn tập nghiệm'của một phương trình. Hơn nữa đường thẳng này cắt cả hai trục toạ độ nên nó là đồ thị của hàn số y = ax + b. 3 - a.l + b. Giải hệ phương trình này ta được a = ^- và b = — . hai cặp số đã cho. Nếu nhân hai vế của phương trình với một số khác 0 tuỳ ý ta lại được một phương trình tương đương với phương trình (*). Do đó ta có vô số phương trình bậc nhất hai ẩn nhận hai hai cặp số đã cho làm nghiệm. Hướng dẫn : Vì (2 ; -1) là nghiệm của hai phương trình (2a- l)x + (b - 2)y = 14 và (a + 5)x - (2b + l)y = 13 nên thay X = 2, y = -1 vào hai phương trình này ta được một hệ hai phương trình bậc nhất với ẩn là a và b. Giải hệ vừa được. • Đáp số: (a ; b) = (3 ; -2). . , 1 Hướng dân : Đật ấn phụ u = -7 (1) X + 2y - 1 V = 2x + y (2) ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn u, V. Thay các giá trị tìm được của u và V vào hai đẳng thức (1), (2) rồi giải hệ mới đối với hai ẩn X và y. Đáp số: (1 ; 1).

Soạn VNEN ngữ văn 9 tập 1

Soạn VNEN ngữ văn 9 tập 2

Soạn siêu hay văn 9 tập 1

Soạn tiếng anh 9 mới - Tập 1

Soạn tiếng anh 9 mới - Tập 2

Để quá trình tiếp thu kiến thức mới trở nên dễ dàng và đạt hiệu quả nhất, trước khi bắt đầu bài học mới các em cần có sự chuẩn bị nhất định qua việc tổng hợp nội dung kiến thức lý thuyết trọng tâm, sử dụng những kiến thức hiện có thử áp dụng giải các bài toán, trả lời câu hỏi liên quan. Dưới đây chúng tôi đã soạn sẵn Lời giải Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế đầy đủ nhất, giúp các em tiết kiệm thời gian. Nội dung chi tiết được chia sẻ dưới đây.

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Câu hỏi ôn tập

Câu 1 trang 14:

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ)

Hướng dẫn giải chi tiết:

Ta có ( biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai):

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (7;5)

Câu 2 trang 15:

Bằng minh họa hình học, hãy giải thích tại sao hệ (III) có vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Hai đường thẳng trên trùng nhau nên hệ phương trình (III) có vô số nghiệm

Câu 3 trang 15:

Cho hệ phương trình

Bằng minh họa hình học và phương pháp thế, chứng tỏ rằng hệ (IV) vô nghiệm.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Hai đường thẳng trên song song nên chúng không có điểm chung hay hệ phương trình (IV) vô nghiệm.

Phương pháp thế:

Ta có ( biểu diễn y theo x từ phương trình thứ nhất):

Vậy hệ phương trình (IV) vô nghiệm.

Bài tập:

Bài 12 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2): 

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Cách 1

Từ (1) rút ra được y = x – 3

Thế vào phương trình (2) ta được:

3x – 4.(x – 3) = 2 ⇔ 3x – 4x + 12 = 2 ⇔ x = 10

Từ x = 10 ⇒ y = x – 3 = 7.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (10 ; 7).

Từ (2) rút ra được y = -4x + 2.

Thế y = -4x + 2 vào phương trình (1) ta được :

7x – 3.(-4x+2) = 5 ⇔ 7x + 12x – 6 = 5 ⇔ 19x = 11 ⇔ 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

Từ (1) rút x theo y ta được: x = -3y – 2

Thế x = -3y – 2 vào phương trình (2) ta được :

5.(-3y – 2) – 4y = 11 ⇔ -15y – 10 – 4y = 11 ⇔ -19y = 21 ⇔ 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

Cách 2

  

Kiến thức áp dụng

Giải hệ phương trình 

 ta làm như sau:

Bước 1: Từ một phương trình (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) ta được phương trình (*). Sau đó, ta thế (*) vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới ( chỉ còn một ẩn)..

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai, phương trình (*) thay thế cho phương trình thứ nhất của hệ ta được hệ phương trình mới tương đương ..

Bước 3: Giải hệ phương trình mới ta tìm được nghiệm của hệ phương trình.

Bài 13 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2): 

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp thế có 2 cách trình bày.

Cách 1:

Từ (1) ta rút ra được 

 (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

Thay x = 7 vào (*) ta suy ra 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (7 ; 5).

Từ (1) ta rút ra được : 

 (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

Thay x = 3 vào (*) ta suy ra 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

Cách 2:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (7; 5).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

Kiến thức áp dụng

Giải hệ phương trình 

 ta làm như sau:

Bước 1: Từ một phương trình (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) ta được phương trình (*). Sau đó, ta thế (*) vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới ( chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai, phương trình (*) thay thế cho phương trình thứ nhất của hệ ta được hệ phương trình mới tương đương .

Bước 3: Giải hệ phương trình mới ta tìm được nghiệm của hệ phương trình.

Bài 14 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2): 

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp thế có 2 cách trình bày.

Cách 1:

Từ (1) ta rút ra được x = -y√5 (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

Thay 

 vào (*) ta được: 

Vậy hệ phương trình có nghiệm 

Từ (2) ta rút ra được y = -4x + 4 - 2 √3 (*)

Thế (*) vào phương trình (1) ta được:

Thay x = 1 vào (*) ta được y = -4.1 + 4 - 2√3 = -2√3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; -2√3)

Cách 2 :

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; -2√3)

Kiến thức áp dụng

Giải hệ phương trình 

 ta làm như sau:

Bước 1: Từ một phương trình (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) ta được phương trình (*). Sau đó, ta thế (*) vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới ( chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai, phương trình (*) thay thế cho phương trình thứ nhất của hệ ta được hệ phương trình mới tương đương .

Bước 3: Giải hệ phương trình mới ta tìm được nghiệm của hệ phương trình.

Còn tiếp:.........

►Tải trọn bộ hướng dẫn giải bài tập chi tiết bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế tại đường link dưới đây:

Lý thuyết trọng tâm:

I. Quy tắc thế

Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước sau:

    + Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

    + Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (và giữ nguyên phương trình thứ nhất).

II. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Tóm tắt cách giải:

    + Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

    + Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

III. Chú ý khi giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

Hy vọng tài liệu sẽ hữu ích cho các em học sinh và quý thầy cô giáo tham khảo và đối chiếu đáp án chính xác.

►Ngoài ra các em học sinh và thầy cô có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu hữu ích hỗ trợ ôn luyện thi môn toán như đề kiểm tra học kì, 1 tiết, 15 phút trên lớp, hướng dẫn giải sách giáo khoa, sách bài tập được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi.

Đánh giá bài viết