Các phép chiếu hình bản đồ cơ bản. Phân loại bản đồ I. MỘT SỐ PHÉP CHIẾU HÌNH BẢN ĐỒBản đồ là hình ảnh thu nhỏ một phần hay toàn bộ bề mặt Trái đất lên mặt phẳng,trên cơ sở toán học nhất định nhằm thể hiện các hiện tượng địa lí tự nhiên, kinhtế - xã hội và mối quan hệ giữa chúng; thông qua khái quát hoá nội dung vàđược trình bày bằng hệ thống kí hiệu bản đồ.Phép chiếu hình bản đồ là cách biểu diễn mặt cong của Trái đất lên một mặtphẳng, để mỗi điểm trên mặt cong tương ứng với một điểm trên mặt phẳng.Do bề mặt Trái đất cong nên khi thể hiện mặt phẳng, các khu vực khác nhau trênbản đồ không thể hoàn toàn chính xác như nhau. Vì vậy, tuỳ từng yêu cầu sửdụng bản đồ, từng vùng cần thể hiện trên bản đồ, người ta dùng các phép chiếuhình bản đồ khác nhau.Khi chiếu, có thể giữ nguyên mặt chiếu bản đồ là mặt phẳng hoặc cuộn lại thànhhình nón, hình trụ.Mặt chiếu có thể tiếp xúc hoặc cắt bề mặt Địa Cầu. Sau đây chỉ đề cập tới nhữngtrường hợp mặt chiếu tiếp xúc với mặt Địa Cầu.1. Phép chiếu phương vịPhép chiếu phương vị là phương pháp thể hiện mạng lưới kinh, vĩ tuyến của ĐịaCầu lên mặt phẳng.Theo phép chiếu này, mặt chiếu là một mặt phẳng tiếp xúc với một điểm của ĐịaCầu. Tuỳ theo vị trí tiếp xúc của mặt chiếu so với trục của Địa Cầu sẽ có cácphép chiếu phương vị khác nhau.a] Phép chiếu phương vị đứngTheo phép chiếu này, mặt chiếu tiếp xúc Địa Cầu ở cực, trục Địa Cầu vuông gócvới mặt chiếu.Với nguồn sáng chiếu từ tâm Địa Cầu, các kinh tuyến là những đoạn thẳng đồngquy ở cực, các vĩ tuyến là những vòng tròn đồng tâm ở cực. Càng xa cực khángchiến giữa các vĩ tuyến càng dãn ra.Phép chiếu này chính xác khu vực trung tâm bản đồ, càng xa trung tâm càngkém chính xác. Phép chiếu này thường dùng để vẽ bản đồ khu vực quanh cực.b] Phép chiếu phương vị ngangTheo phép chiếu này, mặt chiếu tiếp xúc với mặt Địa Cầu ở Xích đạo và songsong với trục của Địa Cầu.Phép chiếu phương vị ngang với nguồn chiếu nằm trên đường Xích đạo [T] ở vịtrí đối diện với điểm tiếp xúc của mặt chiếu [Đ]. Trong phép chiếu này chỉ cóXích đạo là đường thẳng, các vĩ tuyến còn lại là những cung đối xứng nhau quaXích đạo, khoảng cách giữa các vĩ tuyến cũng tăng dần khi càng xa Xích đạo vềhai cực. Kinh tuyến giữa là đường thẳng, các kinh tuyến khác là đường cong đốixứng qua kinh tuyến giữa, khoảng cách giữa các kinh tuyến cũng tăng dần khicàng xa kinh tuyến giữa.Câu hỏi: Theo phép chiếu phương vị ngang, khu vực nào trên bản đồ tương đốichính xác? Mức độ chính xác của các khu vực trên bản đồ thay đổi như thế nào?c] Phép chiếu phương vị nghiêngỞ phép chiếu phương vị nghiêng, mặt chiếu có thể tiếp xúc với bất kì điểm nàotrên mặt Địa Cầu, trừ Cực và Xích đạo. Trong trường hợp như vậy, nơi tiếp xúcvẫn là khu vực tương đối chính xác, càng xa nơi tiếp xúc, càng kém chính xác.Phép chiếu phương vị nghiêng thường dùng để vẽ các bản đồ các khu vực ởnhững vĩ tuyến trung bình.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP1. Vì sao khi vẽ bản đồ phải dùng phép chiếu hình bản đồ? Vì sao lại phải sửdụng nhiều phép chiếu hình khác nhau?2. Mức độ chính xác của từng phép chiếu phương vị như thế nào? Cho ví dụ cụthể?2. Phép chiếu hình nónPhép chiếu hình nón là cách thể hiện mạng lưới kinh, vĩ tuyến của Địa Cầu lênmặt hình nón, sau đó triển khai mặt chiếu hình nón ra thành mặt phẳng.Phép chiếu hình nón được chia làm ba loại, tuỳ thuộc vị trí của hình nón so vớiĐịa Cầu. - Phép chiếu hình nón đứng: Là phép chiếu mà trục của hình nón trùngvới trục quay của Địa Cầu. - Phép chiếu hình nón ngang: Là phép chiếu mà trục hình nón trùng vớiđường kính của Xích đạo và vuông góc trục quay của Địa Cầu. - Phép chiếu hình nón nghiêng: Là phép chiếu mà trục hình nón đi quatâm của Địa Cầu nhưng không trùng với trục Địa Cầu mà cũng không trùng vớiđường kính của Xích đạo.Để tiến hành phép chiếu hình nón đứng, mặt chiếu là một hình nón chụp lên mặtĐịa Cầu, từ tâm Địa Cầu người ta chiếu các điểm trên mặt Địa Cầu lên mặt hìnhnón.Khi triển khai hình nón ra mặt phẳng ta sẽ được một lưới chiếu có dạng hìnhquạt, các kinh tuyến là những đoạn thẳng đồng quy ở cực, vĩ tuyến là nhữngcung tròn đồng tâm. Chỉ có vĩ tuyến tiếp xúc giữa Địa Cầu và mặt nón là chính xác, còn các vĩ tuyếnkhác đều dài ra, nên phép chiếu này không bảo đảm được hình dạng và diện tích.Phép chiếu này thường dùng để vẽ bản đồ ở các vùng đất thuộc vĩ độ trung bình[khu vực ôn đới] và kéo dài theo vĩ tuyến như: Liên bang Nga, Trung Quốc, HoaKì…3. Phép chiếu hình trụPhép chiếu hình trụ là cách thể hiện lưới kinh, vĩ tuyến của Địa Cầu lên mặtchiếu là hình trụ, sau đó triển khai mặt trụ ra mặt phẳng. Gồm:a- Phép chiếu hình trụ đứngb- Phép chiếu hình trụ ngangc- Phép chiếu hình trụ nghiêngTuỳ theo từng vị trí của trục hình trụ so với trục Địa Cầu sẽ có ba phép chiếuhình trụ.Trong phép chiếu hình trụ đứng, mặt chiếu là một hình trụ bao quang quả ĐịaCầu. Vòng tròn tiếp xúc giữa Địa Cầu và hình trụ là vòng Xích đạo.Theo phép chiếu này chỉ có đường Xích đạo là giữ được độ dài, còn các vĩ tuyếnkhác đều bị dãn ra cả về khoảng cách và độ dài, các vĩ tuyến ở gần Xích đạo bịdãn ít, càng xa Xích đạo dãn ra càng nhiều. Các kinh, vĩ tuyến đều là nhữngđường thẳng song song và vuông góc với nhau. Bản đồ này chỉ chính xác ở vùngXích đạo, càng xa Xích đạo càng kém chính xác.Phép chiếu này thường được dùng để vẽ bản đồ các khu vực gần Xích đạo, hoặcbản đồ thế giới.II. PHÂN LOẠI BẢN ĐỒNgày nay, bản đồ được sử dụng rộng rãi trong xã hội với những loại hình vôcùng phong phú.Bản đồ có thể được phân thành các nhóm chính theo tỉ lệ, theo nội dung, theomục đích sử dụng, theo lãnh thổ… Trong từng nhóm chính lại chia ra các nhómnhỏ với những loại bản đồ khác nhau.- Theo tỉ lệ bản đồ được chia thành ba nhóm: + Bản đồ tỉ lệ lớn, trên 1 : 200.000 + Bản đồ tỉ lệ trung bình, từ 1 : 200.000 đến 1 : 1.000.000 + Bản đồ tỉ lệ nhỏ, nhỏ hơn 1 : 1.000.000- Theo nội dung, bản đồ được chia thành hai loại: bản đồ địa lí chung và bản đồchuyên đề.- Theo mục đích sử dụng, bản đồ được chia thành: bản đồ tra cứu, bản đồ giáokhoa, quân sự, hàng hải… Bản đồ giáo khoa lại chia thành: tập bản đồ địa lí[Atlat Địa lí], bản đồ treo tường, bản đồ trống…- Theo lãnh thổ, bản đồ được chia thành bản đồ thế giới, bản đồ bán cầu, bản đồcác châu, các đại dương…CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP1. Cho biết phép chiếu hình nón đứng và phép chiếu hình trụ đứng thường đượcdùng để vẽ bản đồ các khu vực nào của Địa Cầu?2. Bản đồ được phân loại thành những nhóm chính nào? Theo mục đích sử dụng,người ta chia thành những loại bản đồ nào?
Trong hình học, phép chiếu lập thể hay phép chiếu nổi là một phép ánh xạ chiếu một hình cầu lên một mặt phẳng. Phép chiếu được xác định trên toàn mặt cầu, ngoại trừ một điểm, đó là điểm chiếu. Ánh xạ là trơn và song ánh. Nó cũng là một bảo giác, nghĩa là nó bảo toàn góc. Tuy nhiên, nó không bảo toàn diện tích, đặc biệt là ở vùng gần điểm chiếu.
Về mặt trực quan, phép chiếu lập thể là một cách chụp ảnh hình cầu lên mặt phẳng, với một số hạn chế không thể tránh khỏi. Vì cả mặt cầu và mặt phẳng đều xuất hiện rất nhiều trong toán học và các ứng dụng của nó, nên phép chiếu lập thể cũng vậy; được sử dụng nhiều trong phân tích phức, vẽ bản đồ, địa lý, và chụp ảnh. Trên thực tế, phép chiếu có thể được thực hiện nhờ dùng máy tính hoặc bằng tay dùng một loại giấy có đồ thị vẽ đặc biệt gọi là lưới Wulff hay stereonet.
Minh họa của Rubens cho "Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles", bởi François d'Aiguillon. Nó chứng minh hình chiếu được tính toán như thế nào.
Phép chiếu lập thể được biết đến với Hipparchus, Ptolemy và có thể sớm hơn với những người Ai cập cổ đại. Ban đầu được gọi là phép chiếu cầu phẳng [planisphere projection].[1]
Người ta tin rằng bản đồ tồn tại sớm nhất, được tạo bởi Gualterious Lud năm 1507, là dựa trên phép chiếu lập thể, ánh xạ mỗi nửa bán cầu lên một đĩa tròn.
François d'Aiguillon là người đã đưa ra tên gọi hiện nay cho phép chiếu này trong cuốn sách công bố nằm 1613 Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles [Six Books of Optics, hữu ích cho các nhà triết học và toán học].[2]
Phép chiếu lập thể của một hình cầu đơn vị từ điểm cực trên lên mặt phẳng z = 0, biểu diễn trên tiết diện như hình vẽ
Phần này nói đến phép chiếu của hình cầu đơn vị từ cực bắc lên mặt phẳng thông qua đường xích đạo. Hình cầu đơn vị trong không gian 3 chiều R3 là tập các điểm [x, y, z] thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1. Cho N = [0, 0, 1] là "cực Bắc", và M là phần còn lại của hình cầu. Mặt phẳng z = 0 chạy qua trung tâm của hình cầu; "đường xích đạo" là phần giao của hình cầu với mặt phẳng.
Với điểm P bất kì trên M, có một đương thẳng duy nhất qua N và P, và đường thẳng này giao với mặt phẳng z = 0 tại duy nhất 1 điểm P'. Ta định ra phép chiếu lập thể của P là điểm P' trong mặt phẳng.
Để thực hiện trên máy tính, ta cần công thức cụ thể. Trong hệ tọa độ Descartes [x, y, z] trên hình cầu và [X, Y] trên mặt phẳng, phép chiếu và phép đảo được cho bởi công thức
[ X , Y ] = [ x 1 − z , y 1 − z ] , {\displaystyle [X,Y]=\left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right],} [ x , y , z ] = [ 2 X 1 + X 2 + Y 2 , 2 Y 1 + X 2 + Y 2 , − 1 + X 2 + Y 2 1 + X 2 + Y 2 ] . {\displaystyle [x,y,z]=\left[{\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right].}Trong hệ tọa độ cầu [φ, θ] trên mặt cầu [với φ là điểm cao nhất và θ là góc phương vị] và tọa độ cực [R, Θ] trên mặt phẳng, phép chiếu và phép nghịch đảo như sau
[ R , Θ ] = [ sin φ 1 − cos φ , θ ] , {\displaystyle [R,\Theta ]=\left[{\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right],} [ φ , θ ] = [ 2 arctan [ 1 R ] , Θ ] . {\displaystyle [\varphi ,\theta ]=\left[2\arctan \left[{\frac {1}{R}}\right],\Theta \right].}Vì thế, φ được hiểu là nhận giá trị π khi R = 0. Đồng thời, có nhiều cách để viết lại các công thức này dùng đẳng thức lượng giác [trigonometric identities]. Trong hệ tọa độ trụ [r, θ, z] ở trên mặt cầu và hệ tọa độ cực [R, Θ] ở trên mặt phẳngg, phép chiếu và phép nghịch đảo là
[ R , Θ ] = [ r 1 − z , θ ] , {\displaystyle [R,\Theta ]=\left[{\frac {r}{1-z}},\theta \right],} [ r , θ , z ] = [ 2 R 1 + R 2 , Θ , R 2 − 1 R 2 + 1 ] . {\displaystyle [r,\theta ,z]=\left[{\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right].}Phép chiếu lập thể chiếu "cực Nam" [0, 0, −1] thành [0, 0], và đường xích đạo được chiếu trở thành vòng tròn đơn vị, bán cầu Nam trở thành vùng bên trong đường tròn và bán cầu Bắc chiếu đến vùng ở ngoài đường tròn.
Phép chiếu không xác định với điểm chiếu N = [0, 0, 1].
Lưới Wulff hay stereonet, được dùng để vẽ các phép chiếu lập thể bằng tay
Phép chiếu lập thể có thể được thực hiện bằng máy tính dùng công thức đã cho. Tuy nhiên, nếu vẽ bằng tay thì thật khó khăn; thay vào đó, người ta thường dùng một loại giấy có vẽ sẵn một lưới đặc biệt. Để tạo ra lưới này, họ vẽ một lưới các vĩ tuyến và kinh tuyến của bán cầu, và chiếu các đường cong này lên đĩa. Kết quả thu được gọi là stereonet hay lưới Wulff [đặt theo tên gọi nhà khoáng vật học người Nga George [Yuri Viktorovich] Wulff [3]].
Tính chất bảo toàn góc của phép chiếu có thể thấy bằng cách kiểm tra các đường của lưới. Các vĩ tuyến và kinh tuyến vuông góc nhau trên mặt cầu, và ảnh của chúng cũng thế trên lưới Wulff.
Minh họa các bước từ 1-4 để vẽ một điểm trên lưới Wulff
Minh hoạ việc sử dụng lưới Wulff, tưởng tượng ta có hai bản sao như vậy trên một tờ giấy mỏng, cái này chồng lên cái kia, có cùng tâm. Giả sử rằng ta muốn vẽ một điểm có tọa độ [0.321, 0.557, -0.766] nằm tại nửa dưới của bán cầu đơn vị chiếu lên mặt phẳng. Điểm này nằm trên đường thẳng tạo một góc ngược chiều kim đồng hồ 60° so với chiều dương của trục x [hay 30°Cùng chiều kim đồng hồ theo chiều dương của trục y] và 50° dưới mặt phẳng ngang z = 0. Sau khi xác định được các góc này, ta làm theo 4 bước:
- Dùng các đường lưới, ở hình vẽ minh họa, mỗi đường cách nhau 10°, đánh dấu điểm trên cạnh của lưới mà có góc 60° ngược chiều kim đồng hồ tính từ điểm [1, 0] [hay 30° theo chiều kim đồng hồ tính từ điểm [0, 1]].
- Xoay lưới ở trên cho đến khi điểm này canh trùng với tọa độ [1, 0] của lưới bên dưới.
- Dùng các đường lưới ở lưới bên dưới, đánh dấu điểm hướng 50° về phía trung tâm tính từ điểm đó.
- Xoay lưới bên trên theo chiều ngược lai với lần xoay trước, để đem nó về trùng khớp với lưới bên dưới. Và điểm đánh dấu ở bước 3 chính là điểm chiếu ta muốn tìm.
Để vẽ các điểm khác mà có góc không tròn số như 60° và 50°, người ta phải nội suy từ các đường lưới gần nhất. Vì thế, tốt hơn là nên chia nhỏ lưới ra với khoảng cách 2°, thay vì dùng khoảng cách 10°.
Để tìm góc ở tâm giữa 2 điểm trên mặt cầu dựa trên hình vẽ lập thể của chúng, áp hình vẽ lên trên lưới Wulff và xoay hình vẽ quanh tâm cho tới khi 2 điểm nằm trên cùng hoặc gần một đường kinh tuyến. Sau đó, đo góc giữa chúng bằng cách đếm số đường lưới [vĩ tuyến] dọc theo kinh tuyến đó.
Animation of tilt traverse between 4 of the 8 zones in an fcc crystal. Planes edge-on [banded lines] intersect at fixed angles.
Stereographic projection is used to map the Earth, especially near the poles, but also near other points of interest.
Thực tiễn là không có ánh xạ nào từ mặt cầu sang mặt phẳng mà có thể biểu diễn chính xác cả góc [đồng thời là hình dáng] và diện tích. Nói chung, phép chiếu ánh xạ có bảo toàn diện tích được ưa thích trong ứng dụng thống kê, vì chúng đáp ứng tốt với tích phân, trong khi các ánh xạ bảo giác [bảo lưu góc] thì được ưa thích trong ngành hàng hải.
Và phép chiếu lập thể thuộc về loại 2.
Tinh thể học
Cực tinh thể ô mạng kim cương theo trục [111].
Bài chi tiết: Hình vẽ cực
Trong tinh thể học, hướng của các trục tinh thể và bề mặt của chúng trong không gian 3D là mối quan tâm chính, mục tiêu là hiểu được các mẫu tia X và nhiễu xạ electron. Các hướng này có thể được thể hiện ra hình ảnh bằng các phương cách đề cập trong phần Hiển thị hình ảnh đường thẳng và mặt phẳng ở trên. Nghĩa là các trục tinh thể và các cực của mặt phẳng tinh thể giao nhau với nửa cầu Bắc và được vẽ lên mặt phẳng bằng phép chiếu lập thể. Phác đồ cực được gọi là hình vẽ cực [pole figure].
Địa chất
Sử dụng nửa bán cầu dưới của lưới chiếu lập thể để thể hiện các dự liệu trên mặt phẳng và đường thẳng trong địa chất cấu tạo, ví dụ về mặt phẳng đứt gãy thể hiện bằng một đường thẳng
Các nhà nghiên cứu về địa chất cấu tạo quan tâm đến hướng của các mặt phẳng và đường thẳng với nhiều mục đích khác nhau. Sự phân phiến của đá là một mặt phẳng thường chứa các yếu tố dạng tuyến. Một cách tương tự, mặt phẳng đứt gãy cũng là một yết tố phẳng chứa các yếu tố dạng tuyến.
Các hướng của các đường thẳng và mặt phẳng này có thể được vẽ ở nhiều tỉ lệ khác nhau bằng các phương pháp thể hiện mặt phẳng và đường thẳng như đã đề cập ở trên. Trong khi đó tinh thể học, các mặt phẳng được vẽ theo các trục của nó. Không giống tinh thể học, cực nam được sử dụng thay vì cực bắc [bởi vì các yếu tố địa chất như là một câu hỏi nằm bên dưới bề mặt Trái Đất?]. Trong phạm vi này, phép chiếu lập thể thường đề cập đến phép chiếu nửa bán cầu dưới bảo toàn góc. Phép chiếu nửa bán cầu dưới bảo toàn diện tích nhau dựa trên phép chiếu Lambert đứng bảo toàn diện tích cũng được sử dụng, đặc biệt khi vẽ các đối tượng theo các phân tích thống kê như đường đẳng trị mật độ.
Địa lý học
Nhiếp ảnh học
Spherical panorama projected using the stereographic projection
- ^ Snyder [1993].
- ^ According to [Elkins, 1988] who references Eckert, "Die Kartenwissenschaft", Berlin 1921, pp 121--123
- ^ Wulff, George, Untersuchungen im Gebiete der optischen Eigenschaften isomorpher Kristalle: Zeits. Krist.,36, l-28 [1902]
- Apostol, Tom [1974]. Mathematical Analysis [ấn bản 2]. Addison-Wesley.
- Brown, James and Churchill, Ruel [1989]. Complex variables and applications. New York: McGraw-Hill. ISBN 0070109052.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả [liên kết]
- German, Daniel [tháng 6 năm 2007]. Flattening the Viewable Sphere. Banff: Eurographics. tr. 23--28. Đã bỏ qua tham số không rõ |booktitle= [trợ giúp]; Đã bỏ qua tham số không rõ |coauthors= [gợi ý |author=] [trợ giúp]
- Do Carmo, Manfredo P. [1976]. Differential geometry of curves and surfaces. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-212589-7.
- Elkins, James [1988]. “Did Leonardo Develop a Theory of Curvilinear Perspective?: Together with Some Remarks on the 'Angle' and 'Distance' Axioms”. Journal of the Warburg and Courtauld Institutes. 51: 190--196. doi:10.2307/751275.
- Oprea, John [2003]. Differential geometry and applications. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0130652466.
- Pedoe, Dan [1988]. Geometry. Dover. ISBN 0-486-65812-0.
- Shafarevich, Igor [1995]. Basic Algebraic Geometry I. Springer. ISBN 0387548122.
- Snyder, John P. [1989]. An Album of Map Projections, Professional Paper 1453. US Geological Survey.
- Snyder, John P. [1993]. Flattening the Earth. University of Chicago. ISBN 0-226-76746-9.
- Spivak, Michael [1999]. A comprehensive introduction to differential geometry, Volume IV. Houston, Texas: Publish or Perish. ISBN 091409873X.
- Weisstein, Eric W., "Stereographic projection", MathWorld.
- //planetmath.org/encyclopedia/StereographicProjection.html
- Bảng các ví dụ và tính chất của các phép chiếu thông dụng, từ radicalcartography.net
- Java Applet 3D
Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Phép_chiếu_lập_thể&oldid=68774812”