Tìm m để bất phương trình x 4 x −1≥ m có nghiệm trên khoảng (−∞ 1)

Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀIBài toán “Tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có nghiêm” là một bài toán quan trọng và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào các trường Đạị học và Cao đẳng. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh thường lúng túng khi gặp bài toán này hoặc gặp khó trong lúc giải quyết bài toán vì thường gặp khó bởi điều kiện phát sinh khi giải toán. Trong chuyên đề này tôi trao đổi cách vận dụng đạo hàm để giải những bài toán thuộc dạng trênII. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.1. Cơ sở lí thuyết: Trước tiên ta xét các mệnh đề sau được suy luận từ định nghĩa hàm số đơn điệu và các kinh nghiệm trong giải toán:Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập D1) Phương trình: f(x) = m có nghiệm x∈D min ( ) ax ( )x Dx Df x m m f x∈∈⇔ ≤ ≤2) Bất phương trình: ( )f x m≤ có nghiệm x∈D min ( )x Df x m∈⇔ ≤3) Bất phương trình: ( )f x m≤ nghiệm đúng x D ∀ ∈ max ( )x Df x m∈⇔ ≤4) Bất phương trình: ( )f x m≥ có nghiệm x∈D ax ( )x Dm m f x∈⇔ ≤5) Bất phương trình: ( )f x m≥ nghiệm đúng x D ∀ ∈ min ( )x Dm f x∈⇔ ≤6) hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập D thì ( ) ( ) ( , )f u f v u v u v D= ⇔ = ∀ ∈2. Phương pháp giải toán:Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m để phương trình(PT), bất phương trình(BPT) có nghiệm ta có thể thực hiện theo các bước sau: Biến đổi PT(BPT) về dạng: f(x) = g(m) (hoặc ( ) ( ), ( ) ( )f x g m f x g m≤ ≥) Tìm tập xác định D của hàm số f(x) Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) Xác định: min ( ) , ax ( )x Dx Df x m f x∈∈ Vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở mục 1 rút ra kết luận cho bài toán.Lưu ý: Trong trường hợp PT(BPT) chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau Đặt ẩn số phụ t = ( )xϕ Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x ta tìm điều kiện cho ẩn t Đưa PT(BPT) ẩn số x về PT(BPT) theo ẩn số t Ta được f(t) = g(m) hoặc ( ) ( ), ( ) ( )f t g m f t g m≤ ≥ Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) Từ bảng biến thiên của hàm số f(t) và các mệnh đề đã nêu ở mục 1 rút ra kết luận của bài toán3. Một số ví dụ minh họa 1Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin Thí dụ 1: Chứng minh rằng: 0m∀ > phương trình 22 8 ( 2)x x m x+ − = − luôn có 2 nghiệm thực phân biệt. (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2007)GiảiĐiều kiện: 2x ≥ta có: 22 8 ( 2)x x m x+ − = −3 2( 2)( 6 32 ) 0x x x m⇔ − + − − =3 226 32 (*)xx x m=⇔+ − =đặt f(x) = x3 + 6x2 – 32 ta có f’(x) = 3x2 + 12x > 0 với mọi x > 2bảng biến thiên x 2 +∞f’(x) +f(x) +∞ 0 Từ bảng biến thiên và mục 1) ta có m > 0 (*) luôn có một nghiệm x > 2Vậy bài toán được chứng minhThí dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 243 1 1 2 1x m x x− + + = −có nghiệm(trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007)GiảiĐiều kiện : 1x ≥243 1 1 2 1x m x x− + + = − 24241 13 21( 1)x xmxx− −⇔ + =++ 41 13 21 1x xmx x− −⇔ + =+ +Đặt 411xtx−=+ với 1x ≥ ta có 0t ≥ thay vào phương trình ta được 22 3 ( )m t t f t= − = ta có : '( ) 2 6f t t= − ta có : 1'( ) 03f t t= ⇔ =t 0 13 +∞f’(t) + 0 f(t) 130 −∞Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm khi 13m ≤Thí dụ 3 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : 22 2 1x mx x+ + = + (*) (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006)Giải :Điều kiện : 12x ≥ − vì x = 0 không là nghiệm nên2Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin 223 4 1(*) 3 4 1x xx x mx mx+ −⇔ + − = ⇔ =Xét 23 4 1( )x xf xx+ −= ta có 23 1'( ) 0 0xf x xx+= > ∀ ≠Bảng biến thiênx12− 0 +∞f’(x) + +f(x) +∞ +∞92 −∞ Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì 92m ≥Thí dụ 4: Cho phương trình : 2 23 3log log 1 2 1 0 (1)x x m+ + − − =a. Giải phương trình khi m = 2b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên 31;3  (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2002)Giải Đặt 23log 1t x= + điều kiện : 1t ≥ta được : 22 2 0 (*)t t m+ − − = khi 31;3 [1;2]x t ∈ ⇒ ∈ a. khi m = 2 ta được : 26 0t t+ − =2 3 ( )t t L⇔ = ∨ = −23log 1 2x⇔ + =23log 1 4x⇔ + =3 3x⇔ =b. khi 3[1;3 ] [1;2]x t∈ ⇒ ∈ ta có : 22(*) ( )2t tf t m+ −⇔ = =Bảng biến thiênt 1 2f’(t) +f(t) 2 0 Từ bảng biến thiên ta có : 0 2m≤ ≤Thí dụ 5 : Tìm m để bất phương trình : 2(1 2 )(3 ) 2 5 3x x m x x+ − > + − + nghiệm đúng với mọi 1;32x ∈ −  Giải Đặt (1 2 )(3 )t x x= + −khi 1 7 2;3 0;2 4x t  ∈ − ⇒ ∈     thay vào bất phương trình ta được2( )f t t t m= + >3Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin t 0 7 24f’(t) +f(t) 49 14 28+ 0 Từ bảng biến thiên ta có : 0m ∀Vậy f(t) luôn đồng biến trên R vậy 2( ) ( 1) 1 1 ( 0)f x f y x y x y x= + ⇔ = + ⇔ = + ≥ kết hợp với (2) ta có : 2211x yy x= += + 2 221x y y xy x− = −⇔= + 2( )( 1) 01x y x yy x− + + =⇔= +2 211 0x y x yy y x x= − − = ⇔ ∨ = − − − =  101 512x yx yyxy= − −= ⇔ ∨= ±= = − Vậy hệ phương trình có nghiệm là1 5 1 5; ; (0; 1)2 2 + +− ÷ Thí dụ 7 : Tìm m để bất phương trình ( )3 1 3 2 (1 )(3 )x x x x m+ + − − + − ≥ được nghiệm đúng với mọi [ 1;3]x∈ −Giải :Đặt 2 21 3 4 2 (1 )(3 ) 2 (1 )(3 ) 4t x x t x x x x t= + + − ⇒ = + + − ⇔ + − = −Với [ 1;3]x∈ −[2;2 2]t⇔ ∈Thay vào bất phương trình ta được : 23 4m t t≤ − + −Xét hàm số 2( ) 3 4 ó '( ) 2 3f t t t ta c f t t= − + − = − +3'( ) 2 3 ó '( ) 0 22f t t ta c f t t= − + = ⇔ = f(x) = - m. (1)Xét hàm số f(x) trên +∞;21, ta cóf ’(x) = 3x2 – 8x – 3 ; f ‘(x) = 0 −==⇔)(3/13loaixxf(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8.* BBT (hình bên).Từ BBT suy ra (1) có hai nghiệm trên+∞;21 (tức phương trình đã cho có hai nghiệm) 27 2719 m m 198 8⇔ − ≤ − ≤ − ⇔ ≤ ≤Thí dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:2112215)53(2−≤−++−++ mxxxxmHướng dẫn: * ĐK: 53 ≤≤− x* Đặt xxt −++= 53,422 ≤≤ tSuy ra: 2821522−=−+txxNên (1) trở thành: mtgmttmtmt 2)(22321122822−≤⇔−≤−+⇔−≤−+* Khảo sát sự biến thiên của hàm số g(t) trên đoạn [ ]4;22, * Lập BBT và từ BBT suy ra các giá trị cần tìm.Bài tập làm thêm : Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 32 21 x 2 1 x m- + - = 1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực.Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:34x 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m+ - + - - - = .Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình 2x 2x m 2x 1+ - = - có 2 nghiệm thực phân biệt.Bài 4. Tìm m để phương trình : 1 8 (1 )(8 )x x x x m+ + − + + − = có nghiệm Bài 5. Tìm m để phương trình x 1 3 x (x 1)(3 x) m- + - - - - = có nghiệm thực.Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình x 1 x 2m 2 0x 2 x 1- +- + =+ - có nghiệm thực.Bài 7. Tìm a để phương trình : 23 12 1 ax2 1xxx−= − +− có nghiệm duy nhấtBài 8. Tìm điều kiện của m để phương trình 1 1x x x m2 4+ + + + = có nghiệm thựcBài 9. Tìm điều kiện m để phương trình mxxxx =−+−++ 62622244 có hai nghiệm thực phân biệt (A-2008)5xf’(x)f(x)1/23+_0-+-27/8-19+_Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình x 4 x 4 x x 4 m+ - + + - = có nghiệm thực.Bài 11. Tìm điều kiện m để phương trình x mx 6 x 9 x 6 x 96++ - + - - = có nghiệm thực.Bài 12 Tìm điều kiện của m để phương trình 22m16 x 4 016 x- - - =- có nghiệm thựcBài 13. Tìm m để phương trình 44 4x 4x m x 4x m 6+ + + + + = có nghiệm thực.Bài 14. Chứng tỏ rằng phương trình 23x 12x 1 mx2x 1-= - +- luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m.Bài 15. Tìm m để phương trình x 1(x 3)(x 1) 4(x 3) mx 3+- + + - =- có nghiệm thực.Bài 16. Tìm m để phương trình 331 x 1 x m- + + = có nghiệm thực.Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:( )2 2 4 2 2m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ - - + = - + + - - có nghiệm thực.Bài 18. Tìm m để phương trình 2m x 2 x m+ = + có 2 nghiệm thực phân biệt.Bài 19: Tìm giá trị lớn nhất của a để bất phương trình : 43 2 32( 1) sin2( 1)a xa x axπ− + ≤− có ít nhất một nghiệmBài 20 : Tìm m để mọi [0;2]x∈ đều thỏa mãn bất phương trình :2 22 4log 2 4 log ( 2 ) 5x x m x x m− + + − + ≤Bài 21 : Tìm m để bất phương trình : 2 25 5log ( 4 ) log ( 1) 1x x m x+ + − + < nghiệm đúng với mọi (2;3)x∈Bài 22 : Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình : 1.2 (2 1).(3 5 ) (3 5) 0x x xa a++ + − + + < nghiệm đúng với mọi : 0x

Bất phương trình \(ax + b > 0\) vô nghiệm khi:

Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình $5x - 1 \ge \dfrac{{2x}}{5} + 3$ là:

Bất phương trình $\left( {m - 1} \right)x > 3$ vô nghiệm khi

Tập nghiệm của bất phương trình \(4x - 5 \ge 3\) là

VietJack

Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.

Ôn tập Toán 10

Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một trong những chủ đề trọng tâm, thường xuất hiện vào các bài kiểm tra, bài thi chương trình lớp 10. Tuy nhiên nhiều bạn học sinh chưa nắm vững được phương pháp và cách làm dạng toán này.

Trong bài viết hôm nay Download.vn sẽ giới thiệu đến các bạn chi tiết về phương pháp, ví dụ và các dạng bài tập tìm m để phương trình có nghiệm có đáp án kèm theo. Thông qua tài liệu này sẽ giúp các em học sinh nhanh chóng nắm vững kiến thức, từ đó biết cách để giải nhanh các bài Toán 10. Ngoài ra các bạn xem thêm một số tài liệu khác như: Các dạng bài tập toán về mệnh đề và tập hợp, tập nghiệm của bất phương trình, Công thức tính độ dài đường trung tuyến.

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

• f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ . Nghĩa là
• f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ . Nghĩa là
  
• f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ . Nghĩa là
  
• f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ . Nghĩa là
  

2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m - 1)x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc .

Hướng dẫn giải

Đặt (m - 1)x2 + 2mx - 3 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒

(Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc .

Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc .

a. (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 < 0

b. (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải

a. Đặt (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x)

TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)

TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x

Ta có: m2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 ≥ 16,∀m

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc

b. Đặt (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x

Vậy thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc .

3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x2 - 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

Vậy với |m| <

thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m2x - mx < 4 ⇔ (m2 - m)x < 1; m2 - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m2 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành

luôn có nghiệm là

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2 + 1)x2 + (2m - 1)x - 5 < 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

⇔ -1 ≤ m ≤

- 1

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1;

- 1)

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x2 - 2mx + 2m - 6 < 0

Hướng dẫn giải:

+ Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x (loại)

+ Với

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.

Bài 6: Cho bất phương trình: x2 + 4x + 3 + m ≤ 0

a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.

c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Hướng dẫn giải

a. Bất phương trình vô nghiệm

⇔ Δ' < 0 ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1

Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.

b. Bất phương trình có đúng một nghiệm.

⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 - m = 0 ⇔ m = 1

Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm

c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện:

Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x4 + 2mx2 + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải

Đặt t = x2, t ≥ 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

f(t) = t2 +2mt + m ≥ 0 (*)

⇒Δ' = m2 - m

Trường hợp 1: Δ' ≤ 0 ⇔ m2 - m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1

Khi đó (*) luôn đúng.

Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t1 < t2 ≤ 0

Tóm lại ta cần suy ra như sau:

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Cho tam thức f(x) = x2 - 2mx + 3m - 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] .

Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx2 - 4x + 3m + 1 >0

Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x2 - 2x + 1 - m2 ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2].

Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m - 1)x2 + (2 - m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).

Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m - 2)x2 + 2(m + 1)x + m - 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 3).

Bài 6: Tìm m để bất phương trình m2 - 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).

Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x2 + (m - 1)x - m ≤ 0

đều là nghiệm của bất phương trình.

Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m - 2)x2 + 2mx - 2 - m < 0 có nghiệm

Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình:f(x) = - (m2 + 2)x2 - 2mx + 1 - m > 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)

Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx2 - (1 - 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0).

Bài 11: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:

a. 5x2 - x + m > 0

b. mx2 - 10x - 5 < 0

c. m(m+2)x2 - 2mx + 2 > 0

d. (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + 3m - 3 < 0

Bài 12: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc : (m - 5)x² - 2x + m + 1 > 0

Bài 13: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x

Bài 14: Cho bất phương trình:

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc .

Bài 15: Tim m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.

a.

b.

c.

Bài 16: Xác định m để đa thức sau: (3m + 1)x² - (3m + 1)x + m + 4 luôn dương với mọi x.

Bài 17: Tìm m để phương trình: (m2 + m + 1)x2 + (2m - 3)x + m - 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Cập nhật: 03/01/2022