Toán 8 bài phân tích đa thức thành nhân tử năm 2024

Kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử giúp các em nhận biết cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng ba cách. Đồng thời bài viết cung cấp hướng dẫn giải bài tập của bài học trong sách toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều.

1. Phân tích đa thức thành nhân tử

Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử hay thừa số là biến đổi đa thức đố thành một tích của những đa thức.

Ví dụ: 9x2 - 4y2 = (3x - 2y)(3x + 2y) là phân tích đa thức thành nhân tử vì phép biến đổi đó đã biến đa thức 9x2 - 4y2 thành tích của hai đa thức.

2. Các cách phân tích đa thức thành nhân tử

2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung là cách tìm nhân tử chung của mỗi hạng tử trong đa thức để viết thành tích của nhân tử đó với một đơn thức. Sau đó sử dụng các tính chất phân phối của phép nhân, phép cộng để viết thành tích của nhân tử đó và đa thức.

A.B + A.C + A.D = A(B + C + D)

- Lưu ý: Với phương pháp phân tích này, các em cần chú ý đến quy tắc dấu ngoặc: Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "−" đứng trước, ta phải đối dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "−“ thành dấu "+" và dấu "+” thành dấu "−". Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đứng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử

- Cách làm:

Bước 1: Chọn và nhóm các hạng tử vào một nhóm sao cho các nhóm sau khi phân tích thành nhân tử có thừa số chung hoặc liên hệ các nhóm lá hằng đẳng thức.

Bước 2: Nếu các nhóm có thừa số chung thì đặt chúng làm nhân tử chung ra ngoài khi đó trong ngoặc là tổng các thừa số của nhóm còn lại.

Ví dụ: x2 - y2 + 2x + 2y = (x2 - y2) + (2x + 2y)

\= (x - y)(x + y) + 2(x + y) = (x + y)( x - y + 2)

2.3 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

- Cách làm: Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Lưu ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức phù hợp để phân tích đa thức thành nhân tử.

Ví dụ: x2 - 8x + 16 = (x - 4)2

\>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 8 chi tiết SGK mới

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách: Bài tập

3.1 Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử sách chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

1. x3 + 4x = x.x2 + x.4 = x(x2 + 4).

2. 6ab – 9ab2 = 3ab.2 – 3ab.3b = 3ab(2 – 3b).

3. 2a(x – 1) + 3b(1 – x) = 2a(x – 1) + 3b[– (x – 1)]

\= 2a(x – 1) – 3b(x – 1) = (x – 1)(2a – 3b).

4. (x – y)2 – x(y – x) = (x – y)2 + x(x – y)

\= (x – y)(x – y + x) = (x – y)(2x – y).

Bài 2 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

1. 4x2 – 1 = (2x)2 – 12 = (2x + 1)(2x –1).

2. (x + 2)2 – 9 = (x + 2)2 – 32

\= (x + 2 + 3)(x + 2 – 3) = (x + 5)(x – 1).

3. (a + b)2 – (a – 2b)2

\= [(a + b) + (a – 2b)] . [(a + b) – (a – 2b)]

\= [a + b + a – 2b] . [a + b – a + 2b]

\= (2a – b).3b.

Bài 3 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

1. 4a2 + 4a + 1 = (2a)2 + 2.2a.1 + 12 = (2a + 1)2.

2. –3x2 + 6xy – 3y2 = –3(x2 – 2xy + y2) = –3(x – y)2.

3. (x + y)2 – 2(x + y)z + z2 = [(x + y) – z]2 = (x + y – z)2.

Bài 4 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

1. 8x3 – 1= (2x)3 – 13 = (2x – 1)[(2x)2 + 2x.1 + 12]

\= (2x – 1)(4x2 + 2x + 1).

2. x3 + 27y3 = x3 + (3y)3

\= (x + 3y)[x2 – x.3y + (3y)2]

\= (x + 3y)(x2 – 3xy + 9y2).

3. x3 – y6 = x3 – (y2)3

\= (x – y2)[x2 + x.y2 + (y2)2]

\= (x – y2)(x2 + xy2 + y4).

Bài 5 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

1. 4x3 – 16x = 4x(x2 – 4) = 4x(x2 – 22)

\= 4x(x + 2)(x – 2).

2. x4 – y4 = (x2)2 – (y2)2

\= (x2 + y2)(x2 – y2)

\= (x2 + y2)(x + y)(x – y).

4. x2 + 2x – y2 + 1

\= (x2 + 2x + 1) – y2

\= (x + 1)2 – y2

\= (x + 1 + y)(x + 1 – y).

Bài 6 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

1. x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)

\= x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 1).

2. x2 + 2xy – 4x – 8y = (x2 + 2xy) – (4x + 8y)

\= x(x + 2y) – 4(x + 2y) = (x + 2y)(x – 4).

3. x3 – x2 – x + 1 = (x3 – x2) – (x – 1)

\= x2(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(x2 – 1)

\= (x – 1)(x + 1)(x – 1) = (x – 1)2(x + 1).

Bài 7 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

Giả sử hình vuông có độ dài cạnh bằng a (a > 0), khi đó diện tích của hình vuông là a2.

\=> 49y2 + 28y + 4 = a2.

Ta phân tích đa thức 49y2 + 28y + 4 thành nhân tử có dạng a2.

49y2 + 28y + 4 = (7y)2 + 2.7y.2 + 22 = (7y + 2)2

Vậy độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y2 + 28y + 4 là 7y + 2.

3.2 Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử sách cánh diều

Bài 1 trang 26 SGK toán 8/1 cánh diều

1. 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x)2 – 2 . 2x . 3y + (3y)2 = (2x – 3y)2;

2. x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 3)3;

3. 8y3 – 12y2 + 6y – 1 = (2y)3 – 3 . (2y)2 . 1 + 3 . 2y . 1 – 13 = (2y – 1)3;

4. (2x + y)2 – 4y2 = (2x + y + 4y)(2x + y – 4y) = (2x + 5y)(2x – 3y);

5. 27y3 + 8 = (3y)3 + 23 = (3y + 2)[(3y)2 – 3y . 2 + 22]

\= (3y + 2)(9y2 – 6y + 4);

7. 64 – 125x3 = 43 – (5x)3 = (4 + 5x)[42 + 4 . 5x + (5x)2]

\= (4 + 5x)(16 + 20x + 25x2).

Bài 2 trang 26 SGK toán 8/1 cánh diều

1. x2 – 25 + 4xy + 4y2 = (x2 + 4xy + 4y2) – 25

\= (x + 2y)2 – 52 = (x + 2y + 5)(x + 2y – 5);

2. x3 – y3 + x2y – xy2 = (x3 + x2y) – (y3 + xy2)

\= (x3 + x2y) – (y3 + xy2) = x2(x + y) – y2(x + y)

\= (x + y)(x2 – y2) = (x + y)(x + y)(x – y) = (x + y)2(x – y);

3. x4 – y4 + x3y – xy3 = (x4 + x3y) – (y4 + xy3)

\= x3(x + y) – y3(x + y) = (x + y)(x3 – y3)

\= (x + y)(x – y)(x2 + xy + y2).

Bài 3 trang 26 SGK toán 8/1 cánh diều

1. Ta có A = x4 – 2x2y – x2 + y2 + y

\= (x4 – 2x2y + y2) – (x2 – y)

\= [(x2)2 – 2x2y + y2] – (x2 – y)

\= (x2 – y)2 – (x2 – y).

Giá trị của mỗi biểu thức A với x2 – y = 6 là:

A = (x2 – y)2 – (x2 – y) = 62 – 6 = 36 – 6 = 30.

2. B = x2y2 + 2xyz + z2 = (xy)2 + 2xyz + z2 = (xy + z)2.

Giá trị của mỗi biểu thức tại xy + z = 0 là: B = (xy + z)2 = 02 = 0.

Bài 4 trang 26 SGK toán 8/1 cánh diều

1. Ta có M = 322 023 – 322 021 = 322 . 322 021 – 322 021

\= (322 – 1) . 322 021 = (1024 – 1) . 322 021 = 1023 . 322 021

Vì 1023 ⋮ 31 nên (1023 . 322 021) ⋮ 31.

Do đó M = 322 023 – 322 021 chia hết cho 31;

2. Ta có N = 76 + 2 . 73 + 82022 +1 = (73)2 + 2 . 73 +1 + 82022

\= (73 + 1)2 + 82022 = 3442 + 82022.

Vì 344 ⋮ 8; 8 ⋮ 8 nên 3442 ⋮ 8; 82022 ⋮ 8.

Do đó (3442 + 82022) ⋮ 8

Vậy N = 76 + 2 . 73 + 82022 +1 chia hết cho 8.

Bài 5 trang 26 SGK toán 8/1 cánh diều

1. Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau 12 tháng là: a . r% (đồng)

Do đó, công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng là:

a + a . r% = a . (1 + r%) (đồng).

2. Sau kì hạn 12 tháng, bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo, tức là bác Hoa gửi tiếp 12 tháng với số tiền gốc là a . (1 + r%) (đồng).

Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + r%) . r% (đồng).

Do đó, công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + r%) + a . (1 + r%) . r% = a(1 + r%)(1 + r%) = a(1 + r%)2 (đồng).

3.3 Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử sách kết nối tri thức

Bài 2.22 trang 44 SGK toán 8/1 kết nối tri thức

1. x2 + xy = x(x + y);

2. 6a2b – 18ab = 6ab(a – 3);

3. x3 – 4x = x(x2 – 4) = x(x + 2)(x – 2);

4. x4 – 8x = x(x3 – 8) = x(x3 – 23)

\= x(x – 2)(x2 + 2x + 22) = x(x – 2)(x2 + 2x + 4).

Bài 2.23 trang 44 SGK toán 8/1 kết nối tri thức

a) x2 – 9 + xy + 3y = (x2 – 9) + (xy + 3y)

\= (x + 3)(x – 3) + y(x + 3)

\= (x + 3)(x + y – 3).

2. x2y + x2 + xy – 1 = (x2y + xy) + (x2 – 1)

\= xy(x + 1) + (x + 1)(x – 1) = (x + 1)(xy + x – 1).

Bài 2.24 trang 44 SGK toán 8/1 kết nối tri thức

a) x2 – 4x = 0

x(x – 4) = 0

x = 0 hoặc x – 4 = 0

x = 0 hoặc x = 4.

Vậy x ∈ {0; 4}.

2. 2x3 – 2x = 0

2x(x2 – 1) = 0

2x(x + 1)(x – 1) = 0

x = 0 hoặc x + 1 = 0 hoặc x – 1 = 0

x = 0 hoặc x = – 1 hoặc x = 1.

Vậy x ∈ {– 1; 0; 1}.

Bài 2.25 trang 44 SGK toán 8/1 kết nối tri thức

1. Đặt tên các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q như hình vẽ.

Diện tích hình vuông ABCD là: x2 (m).

Hình vuông MNPQ có độ dài một cạnh là: x – y – y = x – 2y (m).

Diện tích hình vuông MNPQ là: (x – 2y)2 (m2).

Diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn là:

S = x2 – (x – 2y)2 = x2 – (x2 – 4xy + 4y2)

\= x2 – x2 + 4xy – 4y2 = 4xy – 4y2 (m2).

Vậy diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn là 4xy – 4y2 (m2).

2. Phân tích đa thức S thành nhân tử, ta được:

S = 4xy – 4y2 = 4y(x – y).

Thay x = 102 m, y = 2 m vào biểu thức S, ta được:

S = 4 . 2 . (102 – 2) = 8 . 100 = 800 (m2).

Trên đây là kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình toán 8 chân trời sáng tạo, kết nối tri thức và cánh diều. Để tham khảo thêm nhiều bài học khác, các em hãy truy cập vào trang web vuihoc.vn nhé

Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 là gì?

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Ứng dụng: Việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp ta có thể thu gọc biểu thức, tính nhanh và giải phương trình dễ dàng.

Nhân từ có nghĩa là gì?

Nhân tử hay còn gọi là số nhân trong tiếng Anh là Multiplier. Nhân tử (Multiplier) là tỉ lệ tính bằng cách lấy phần thay đổi phát sinh trong sản lượng cân bằng chia cho mức thay đổi ban đầu trong chi tiêu hay tổng cầu.

Có bao nhiêu cách phân tích đa thức thành nhân tử?

Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung..

Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức..

Phương pháp 3: Phương pháp nhóm hạng tử.

Phương pháp 4: Phương pháp tách hạng tử.

Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt hạng tử.

Phương pháp 6: Phương pháp đặt ẩn phụ.

Nhân từ là gì Toán 8?

Trong đại số sơ cấp, phân tích nhân tử là một thuật ngữ toán học dùng để chỉ một cách viết một số nguyên, hay tổng quát là một vật thể toán học, thành một phép nhân của các số nguyên khác, hay tổng quát là các vật thể toán học khác. Các số nguyên, hay vật thể toán học, nằm trong phép nhân gọi là nhân tử.