Toán cao cấp cho các nhà kinh tế pdf năm 2024

1.631 lượt xem 166 download

DownloadVui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 1 - Lê Đình Thúy

1. LÊ ĐINH THUÝ TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TÊ PHẦN I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NHẨ xuất bản đại học kinh tế quốc dân
2. C h iíơ n g í TẬP HỢP, QUAN HỆ VÀ LOGĨC SUY LUẬN § i . TẬP HỢP I. CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN a. Tập hợp và phần tử Tập hợp là mộ ^{khái niệm nguyên thuỷ cùa toán học. Ta có thể nói đến các tập hợp khác nhau như tập hợp cây ưong một khu \Tjrờn, tập hợp học sinh của mỏt lớp học, tập hợp tất cả các số thực, tập hợp lất cả các số hữu tỷ,.. Các đối iượng hợp thành một tâp hợp được gọi ịà các phân iủ của tập hợp đó. Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp bằng các chữ in hoa A, B, c,... và ký hiệu các phần tử bằng các chữ in thường a, b, c,... Để nói rằng a là một phần tử của tập hợp A ta dùng ký hiệu: a e A (đọc ỉà: “ứ thuộc A”). Ngược lại, nếu a không phải là phần tử cùa tập hợp A thì ta viết; a g A (đọc là; “ơ không thuộc y4”)- Để xác định một tâp hợp nhất định và đật tên là X, ta sử dụng một trong hai phương pháp cơ bản sau đây; 1. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp: x = { a , b , c , . . . }. 2. Mô tả tính chất đặc trưng của các pỉiần tử của tập hợp. Theo phương pháp này, muôn xác định tập hợp X ta nói: X là tập hợp các phần tử X có tính chất T, hoặc dùng ký hiệu: x = {x:T}. Chẳng hạn, các cách diễn đạt sau đây »ó nghĩa như nhau: ỲHH ỉịỉỉiiin ịííịĩírịiiilílÌỊỈS họcĩcinh ^QuỔCílân TruờngỌại iiiiHiiuìii-ii} riiỉn
3. ______ _~^OẦN CAO CẤP CHQ NHÀ KÍNH TẾ » x = (1,3, 5, 7, yj. • X Iri tập hơp các sô ntuyi;n dưcmg lẻ inội chữ số • X = {x; X lfì số nguyên dương lẻ một chữ số . = ® X = {x; X = 2n - 1, với n là số nguyên dương nhỏ hơn 6 Ị. niương pháp thứ hai được sử dụng ngay cả khi ta chưa biết có tồn tai hay kliòng các phần tử có tính chất T. Chẳng hạn, ía có thể nói về tập hợp nghiệm của m ột phưcnig trình ngay cả khi chưa giải được phương trình đó- Có thể xảy ra trường hợp môt tập hợp mà ta nói đến khóng có phần tử nào. Ta gọị tập hợp không có phần tử là lập hợp trống hay tập hợp rống và dùng ký hiệu 0 để chỉ tập hợp đó. Để khẳng định răng tập hợp X không có phần tử la viết: X = 0 . Ngược lại, để khẳng định rằng tập hợp X có ít nhất một phần tử ta viết; 0. Chú ý: Trong cuốn sách này và trong các tài liệu khác liên quan đến toán học từ "tập hợp" nhiều khi được gọi tắt là tập, chẳng hạn, tập A, tập B, tập trống... b. K hái niệm tập con và đẳng thức tập hợp Một tập hợp B được gọi là tập hợp con, hay tập con, của một tập A nếu mọi phần tử của B đều là phần tử của A. Trong trường hợp này ta dùng ký hiệu: B e A (đọc là: “5 chứa trong y4”), hoặc A 3 B (đọc là: “/4 bao hàm B"). Nói một cách đcm giản, tập hợp con của tập hợp A là tập họfp một bộ phận phần tử, hoặc tất cả các phần tử, của tập hợp A. Nếu B c A và đồng thời A c; B thì ta nói tập hợp B bằng tập hợp A và viết B = A. Như vậy, dẳng thức tập hợp B = A có nghĩa là mọi phần tử của B đều là phần tử của A và ngược lại, mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Nếu tập hợp B không bằng tập hợp A thì ta viết B A. Tập hợp B được gọi là tập con thiỊc 8 Trường £)ạl bọc Kính tế Quốc dân
4. Chuơmg 1: Tập họp, Quan hệ vồ Logic suy ỉuận ử M ÌÊ i» t m đ Ê f m » đ ,m a it ia a » ,» iÊ ÌÊ Ìa ià a iiit ÌÉ Ìầ ^{Ê Ìt »} m a * ,iim ,i^ ^{« 1 ............... Í T 1 I I — «JI r iu iT ii É É Ì i r i r r i m} M i r r r n m i r i f t ' i i i t T r t i i > * M r ' i .vụ'của tập h(/p A nếu B c: A nhimg B --A A. Chẳng han, tập hợp dân cư của thành phố Hà Nội là lập con thực sự của tập hợp dân cư cửa nước Việt Nam. c. Biểu đ ổ Ven Để dẽ hình dung về íập hợp và rnối liên hệ giữa các tập hợp, người ta dùng các tập hợp điểm của mặt phẳng để minh hoạ. Tnông thường ta xét các tập ỉiơp phần tử của một tập hợp bao trùm, gọi là không gian hay vũ ĩrụ. Tập không gian được mô tả bằng tập hợp các điểm của một hình chữ nhật. Mỗi tập hợp trong không gian được minh hoạ bằng mộí tập hợp điểm giới hạn bcd một đường khép kín bên trong hình chữ nhật. Cách minh hoạ ước lệ như vậy được gọi là biểu đồ Ven. Chẳng hạn, biểu đồ Ven ở hình 1 mô tả hai tập hợp A và B, trong đó B là tập con của A. .Hình 1; B là tập con của A II. CÁC P H É P TO Á N TẬ P H Ợ P a. Phép hợp và ph ép giao Đ ịnh nghĩa: 1. Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là phần tử của ít nhất một trong hai tập hợp đó. 2. Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là phần tử của cả hai tập hợp A và B. Hợp của hai tập hợp A và B được ký hiệu là A uB : Trưdng Đại học Kinh tế Quốc dân
5. TOÁN GAO CẤP CHO CẤC NHẨ K!NH TỂ- A u B = jx: x e A hoặc x e B Giao của hai táp hợp A và B được ký hiệu là A nB: A n B = {x ; x e A và x e B . Ví dụ: Q io haị lập họp số A = { 1 , 2 , 3 , 4 . 5 Ị , B = {0.2, 4, 6 , 8 }. Tlieo định nghĩa; A u B - {0, 1,2, 3 ,4 , 5, 6 , 8 |, A n B = {2,4 Hình 2a và 2b là biểu đồ Ven về phép hợp và phép giao tập hợp. Hình 2a; AuB Hình 2b; AnB h. Các tính chất cơ bản Phép hợp và phép giao tập hợp thoả mãn các tính chất cơ bản sau đây; 1. Tính chất giao hoán: A uB = BuA ; A n B -B n A . 0 1) 2. Tính chất kết hợp: A u (B u C) = (A u B) u c , ( 1.2) A n (B n C) = (A n B) n c . (1.3) 3. Tính chất phân phối: A r,(B u C ) = (A n B )u (A o C ), (1.4) A u (B n C) = (A u B) n (A u C). (1.5) 10 Trưòng Đại học Kinh tế Quốc dân
6. Chương 1: Tệp họp, Quan 'Vt*niirBvà Logic suy ĩuận ■ ' tL hệ ấ^{jiu^ffgeawaeM ^a>ai*gàftgáỂ»iÉB*e} > ei.jefct> Chửng mirứv. Để chứng minh một đẳng tiiức tập họp, ta cẩn chỉ ja rằng mỗi phần lử rảíi tập hcfp ờ vế trá- đcu là phần tử của tập hợp ở vế phải và ngươc !ại, mỗt phần iử của lập hơp ở vế ph?i đều là phần tử của tập hợp ở vê' trái. Chẳne hạn, đẳng thức (1.5) được chirng minh như sau: Gọi X là một phần tử bất kv của íâp hợp A u ( B n C ) . Tneo định nghĩa pỉiép hợp, điều này có nghĩa là x e A hoặc x e B n C . Nếu x e A thì x e A u B và x € A u C , do đó x e ( A u B ) n ( A u C ) . Nếu x e B n C thì x e B và x e C , suy ra x e A u B và x e A u C , do đó ta cũng có x e ( A u B ) n ( A u C ) . Ngược lại, gọi X là một phần tử bất kỳ của ( A u B ) n ( A u C ) , ta có: x g A u B và x e A u C . Nếu x g A thì x e A u ( B n C). Nếu x ể A thì x €B (do x e A u B ) và x e C (do x e A u C ), do đó x e B n C , suy ra x e A u ( B n C ) . Việc chứng minh các đẳng thức còn lại dành cho bạn đọc. c. P hép trừ tập hợp và phần bù của m ột tập hợp Đ ịnh nghĩa: Hiệu của tập hỢ A và tập hợp B là tập hợp tất cả Ị:) các phần tử của tập hợp A không thuộc tập hợp B. Hiệu của tập hợp A và tập hợp B được ký hiệu là A \ B: A \B = (x : x e A v à x ế B Hình 3 là biểu đồ Ven về hiêu A \ B. Hình 3; A \B Trường Đại học Kinh tê Quốc dân 11
7. TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHẢ KÍNH TỂ Ví dụ: {1,2, 3 ,4 ,5 } \ { 0 , 2, 4, 6 . 8 1 ,3 ,5 } , ịO, 2, 4, 6 , 8 } \ í 1,2, 3, 4, 5 0 , 6 , 8 ). Khi tất cả các tập hợp dược xét đêu !à tập con của mộl lập hcTD s (gọi là không gian S), người ta thường nói đến phần bù của một tập hợp X c s. Đ ịnh nghĩa: Phần hù cùa một tập hợp X trong không gian s là tập hợp tất cả các phần tử của không gian không thuộc tập hợp X. Phần bù của tập hợp X được ký hiệu là X . Theo định nghĩa, ta có: X =s\x. V í dụ: Trong tập hợp tất cả các số thực, tập hợp tất cả các số vô tỷ là phần bù của tập hợp tất cả các số hữu tỷ. Định lý sau đây được gọi là nguyên lý đối ngẫu: Đ ịnh iý: 1. Phần bù của hợp của các tập hợp là giao của các phần bù của chúng: A u B = Ã rìB ; (1.6) 2. Phần bù của giao của các tập hợp là hợp của các phần bù của chúng: A nB = Ã uB . (1.7) Chứng minh: Ta chứng minh đẳng thức (1.6), còn đẳng thức (1.7) được chứng minh tương tự. Chú ý rằng tất cảc các phần lủ được nhắc đến d .rới đây đều là phần tử của một không gian s. Gọi X là phần tử bất kỳ của A u B , ta có; 12 Trưdng Đại học Kinh tế Quốc dân
8. Chương 1: Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy luận X Ể A''^{B -4> XỂ A và XỂ B X6 A và X6 B => X € A n B . N}ược lại, gọi X là phần lử bất kỳ của A B , ta có: x e A v à x e B = :> xííA vàx Ể B = > x 6 A u B = > x e A u B . BÀI TẬP 1. Hãy cho biết tập hợp A có phải là tâp con của tập hợp B hay không? a) A = i2, l , 5 , -3, 12, 15}, B = [l; 16]. b) A = {xe K : = 3x - 2}, B = [-3; 3 . c) A = [2; + oo), B = {xe K ; 2x* - 3x + 1 > 0}. d) A = {(x, y): X e K, y e R , và (x - 1) ^{+ y" < 4 } , B = I (x, y): x e K , y € R và x’ + < 16 . 2. Hãy cho biết khi nào A d B: a) A = [a; b], B = [c; d]. b) A = [a; b], B = (c; d). c) A = [a; b], B = {X 6 R : - 4x+ 3 > 0} 3. Hãy xác định Ao'B, A n B , A \ B, B \ A: a) A = { 1 ,3 ,5 ,7 ,9 1 ; B = (1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9}. b) A = (-c»;5]; B = (3; 8 ). c) A = [-2 ;5 j; B = ( l;9 ) . 4. Chứng minh rằng, với A và B là hai tập hợp bất kỳ, ta luôn cỗ a) ( A \ B ) u ( B \ A ) = ( A u B ) \ ( A n B ) . b) ( A} B ) \ [ ( A \ B ) u ( B \ A ) l = A n B , c ) A e B khi và chỉ A n B = A. TrirònSilỌại học Kính tế Quốc đâin ia
9. TOÁN CAO CẨP CHO CẤC NHẢ KINH TẾ lirii1iw ‘iá igáa aiiia a^ ■ ti,i» < aaiBa ifee §2, HỆ THỐNG SỐ THựC I. SỐ THỰC Hệ thống sô thực mà chúng ta sử dụng ngày nay được hình thành trong lịch sử toán học theo trình tự như sau: a. Sô tự nhiên Các con số xuất hiện sớm nhất trong lịch sử toán học là các số của hệ đếm: 1, 2, 3,..., n,... Các số đó được gọi là các s ố tự nhiên, hay s ố nguyên dương. Tập hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu là N . b. S ố nguyên Trong phạm vi tập hợp số tự nhiên N ta có thể thực hiện hai phép toán số học cơ bản là phép cộng và phép nhân. Tuy nhiên, các phép toán ngược của phép cộng và phép nhân (phép trừ và phép chia) bị hạn chế. Chẳng hạn, không tồn tại số tự nhiên n sao cho 9 + n = 1. Để có thể thực hiện được phép trừ người ta mở rộng hệ thống số tự nhiên bằng cách bổ sung thêm các số: • Số không: 0; • Các số đối dấu với các số tự nhiên: - 1 , - 2 , -3,.--, - n , ... Các số này được gọi là các s ố nguyên âm. Các số nguyên đương, số 0 và các số nguyên âm được gọi là s ố nguyên. Tập hợp tất cả các số nguyên được ký hiệu là z ; z = {..., -n,..., -3 , - 2 , - 1 , 0, 1, 2, 3,..., n,...}. Tập hợp N là một tập hợp con của tập hợp z : N c; z . c. S ố hữu tỷ Trong tập hợp số nguyên z ta có thể thực hiện phép cộng, phép trừ và nhân. Tuy nhiên, phép toán ngược của phép nhân (phép 14 ' Trường Dạĩ học Kinh ỉấQuốo dân
10. CtìUtữig 1: Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy ĩuận chia) vẫn bị hạn chế. Oiãng hạn, khỏiig (.ổn tại số iiguyên m sao cho 2ni -- 3. Để thực hiện được phép toán ĩigược của phép nhân, người ta mở rộne hệ thống số npuyên thành hệ thống số hữu tỷ. Sô hữu íỷ là tỳ sô của hai sò' nquyên. Mỗi số hữu tỷ được viết dưới dạng mộl phân sỗ tối giản: m r= ( m e z , n e N ). n Nếu biểu diẽn dưới dạng số thập phân thì số hữu tỷ là số thập phân hữa hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Chẳng hạn 5 11 --32 - = 1,25; — = 1,8333...; =-2,461538461538... 4 6 13 Tập hợp tất cả các số hữu tỷ được ký hiệu là Q . Số nguyên cũng là số hữu tỷ (với mẫu số bằng 1), do đó z là một tập hợp con của ; z c: Q . d. Sô thực Trong tập hợp số hữu íỷ ta có Ihể thực hiện cả bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia. Các số hữu tỷ được sử dụng rộng rãi trong việc biểu diễn và phân tích các thông tin định lượng. Tuy nhiên, tập hợp số hữu tỷ vẫn chưa đủ để đáp ứng các nhu cầu tính toán. Chẳng han, độ dài của cạnh huyền của một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 không thể biểu diễn được bằng một số hữii tỷ. Để hoàn thiện hệ thống số, người ta bổ sung thêm các số vô tỷ. Nếu biểu diễn dưód dạng số thập phân thì sô'vô tỷ là s ố thập phân vó hạn không tuần hoàn. Chảng hạn, số đo độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cần có cạnh góc vuông bằng 1 là sô' vô tỷ: V 2 = 1,4142135623... Các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là sô thực. Tập hợp tất cả các số thực được ký hiệu là R và tập hợp tất cả các số vô tỷ được ký hiệu là Q . Ta có; Trưdng Đạl học Kinh tế o.uốc
11. I p ẩ n -I a ọ ĩ Xì ì h q M g I hầ S ỉ n h ì ^ ì R = QuQ, Q n Q = 0 . II. BIỂU DIỄN HÌNH H Ọ C CÁ C s ô THựC a. G iá trị tuyệt đối của s ố thực Định nghía: Giâ trị tuyệt đối của một số thực X là số không âm trong hai số X và -X . Giá trị tuyệt đối của số thực X được ký hiệu là |x |. Tneo định nghĩa, ta có: X nếu X > 0; = •10 nếu X = 0; - X nếu X < 0. Bạn đọc cần ghi nhớ các tính chất cơ bản sau đây: 1. Với a là một số dương cho trước: < a khi và chỉ khi - a < X < a; > a khi và chỉ khi X < - a hoặc X > a. 2. Vcfi X và y là hai số thực bất kỳ: < X y > X xy = X y ; X X ỹ b. Trục s ố và độ dài đại s ố của đoạn thẳng Trục số là một đường thẳng, trên đó có xác định: 16 Trưdng Đal học Kinh tế Quốc dân
12. Chương 1: Tệp hợp, Quan hệ va Logĩc suy Ịuận • Hướng của đườníT thẳng (íheo clĩiều mui tên); • Một điểm o cố dinh, gọi ỉà gó'c ĩoạ độ\ • Đơn vỊ đo độ dài A o B Trên trục số lấy hai điểm A, B bất kỳ. Độ dài hình học của đoạn thẳng AB (khoảng cách giữa A và B) cũng được ký hiệu là AB. Định nghĩa: Độ dài đại của đoạn thẳng AB trên trục số là một số thực, ký hiệu là AB và được xác định như sau: • AB = AB nếu hướng từ A đến B cùng hướng của trục số; • AB = -A B nếu hướng từ A đến B ngược hướng của trục số. Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản sau đây: 1. Với A và B là hai điểm bất kỳ trên trục số ta luôn có: ÃB I = AB, ĂB = -BÃ . 2. Với A, B, c là ba điểm bất kỳ trên tnạc số ta luôn có: ÃB + BC = Ã c. Việc chứng mmh các tính chất trên đành cho bạn đọc. c. Biểu diễn s ố thực trên trục số Trên mót trục số cho trước lấy một điểm M bất kỳ. o M Đ ịnh n»hĩa: Số thực X = OM được gọi là !oạ độ của điểm M. Để nói rằng điểm M trên trục số có toạ độ là số X ta viết; M(x). Như vẫy, mỗi điểm M trên trục số được đặt tương ứng với một số thực X xác định, gọi là toạ độ của nó. Ngược lại, mỗi số thực Trưòng Đại học Kinh tế Quốc dân 17
13. V . TOẨN CAO àMỈÌmÌÌÉ»ÌÌaÌÉÌÉlÉBMMMMMM^ ^{CHO CẦCNHẨ KiNHÌẾ . : , :i; X cho tưong ìnig mộĩ điểm M trôn uuc số có toa độ bầiig X. Đó là điểm mà khoảng cách đến góc loạ độ o bằng ix|, vê phía bên phải nếu X > 0, vể phííi bên ưái nếu X < 0 và trùng với gốc toạ độ nếu X = 0. Fnép tương ứng môl đối mội nói :rc!i giữa tấí cả các diểm của trục số và íất cả C.Ì.: số thực rho phéo l a đồnặ} nhấĩ số thực X v'órị điẩni M(x) trên ưuc số. Ta cố thể cỉùng từ "điểm x" để gọi m ổt số thực X. Mỗi tập hợp số thực X c K là một ĩâp hợp điểm của trục số. Tnic số C I1 được g»7 Ì là dường thẳng thực. Ò ẩ. K h o ả n g c á ch g iữ a h a i đ iểm trên íruc s ố Với A(a) và B(b) là h>i điểm bâi kỳ trên trục số, ta có: ÃB = à Ồ + ÕB = ÕB - Õà = b - 3. T ỉíđ â y ỉa S!)> ra công Chức xác Uịnh kiioảng cách giữa hai điểm A(a) và BCo) ÍỈÌCO toạ đỏ của chúng: IẤb Ị = Ị b - a Ị . m . CÁC KHOẢNG SỐ THỰC Khi biểu điễn và phân tích các thông tin định lượng, người ta ĩhưỜỊig sử dụnậ các số thực trong phạm vi niột tập hợp X c R . Ta dùng từ tập so thực', \\zỵf tập sô' ăè chỉ các tâị. con của R . Các khoíỉng số thực ỉà các tập số thực có cấu trúc đcTn giản nhất Khoảng hữu hạn Với a và b là hai sô' thực cho tiiỉớc (a < b), ta gọi íập hợp tất cả các số ứiực X giữa a và b là một khoảng. Cầc số a và b đư«ạc gọi là các đầu mút của khoảng số đó. Nếu biểu diễn trên trục số thì một khoảng là một đoạn thẳng nối hai điểm A(a) và B(b). Khi xét một khoảng số ta có ứiê tính cả các đầu mút hoặc không. Để phân biệt điề.i đó ta dung các ký hiệu như sau; 18 Trựdng ĐạỉìỶiọc itình tế Quốe đắn
14. Chuơiig 1: Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy ĩuậiì Khoảng đóníị-. a; b x eR : a< x< b Khoảng đóng [a; b] còn được gọi là đoạn [a; b Khoảng mở. (a; b) = {Xe K ; a < X < b Các khoảng nửa mở. [a; b) = {X6 R ; a < X < b (a; b] = {x € R ; a < X < b}. b. Lân cận của m ột điểm Với Xq là một số thực cho trước và r là một số dương cho trước, ta có: X € (Xq - r; X + r) o q X - r < X < Xo + r ọ - r < x - x n < r o X- X aỊ; (a; +co) = {X6 R ; X > a}; ( - 00; b] = { x e R : x < b } ; ( - 00; b ) = { x e R : x < b Ị ; ( - 00; +00) = R . Chú ý rằng ± 00 chỉ là các ký hiệu ước lệ, không phải là số thực. ÍMiil; Trường Đạì học Kinh tế Quốc dân 15
15. TOÁN Cấ O CẨP c h o c á c NHẦ kính t ể 9 r t la - ML - i ^{I I ............... m •*'M í ! t J " 9 • ‘B - , ' 1 m u . » ’J M a m IV. T Ậ ? H Ọ P Bĩ CHẶN a. K h á i n iệ m tã p h ợ p b ị ch ặ n Một tập số thực X CI R được gọi là bị chặn irên nêu tổn tại số thực b sao cho vói moi x e X ta iuón có: X < b. Số b lược cọi l'i cận trên của tập X. Mộí tập số thực X c: ẩ. được gọi là bị chặii dưới uếu tổn tại số thực a sao clìO với mọi x e X ta liiOn có: X > a. Sô a được gọi là cận dưới của tí\p X. Một tập số thực X c: s đượt; gọi ỉà hị chặn nếu nó đồng thời bị chặn trên và bị chặn dưới, tức ìà tồn tại các số thục a vàb sao cho YỚi mọi x g X ta luôn có; a < X < b. Nói cách khác, láp hợp X được gọi là bị chận nếu tổn tại doạii [a; b] sao cho X c [a; b . V í dụ: Các khoảng hữu han ỉà các tập bị chặn. Cic khoảng (a; + co), )3; +CO) ià các tâp bị chặn dưới, nhmig không bị chận trên. Các khoản? {-oo; b), (~co; b] là các lập bị chặn trên, nhimg không bị chặn dưới. b. Cận trên đúng ) à cận dưới đúng Đ ịnh nghĩa: Cận trên nhỏ nhất (cận dưới lớn nhất) của một tập hợp bị chặn trên (tập hợp bị chặn dưới) được gọị là cận trên đúng {cận dưới dúng) của tập ỉìỢp đó. Cán trên đúng của tập X được ký hiệu là supX: Cận dưới đúng của tập X được ký hiộu là in fx . Từ định nghĩa suy ra; S u p x = b khi và chỉ khi thoả mãn hai điều kiện: • X < b vcfi mọi Xe X (b là một cận ữên của X); • Với mọi số b ’ < b luôn tồn tại số XqG X sao cho X > b ’ (mọi o số b ’ < b không phải là cận trẽn rủa X). Ví dụ: Tậ p hợn X = (;a, b) có cận trên đúng là số b. 20 Trường Đaỉ học Kính ìấ Quốc dân • Ì ÌW :;Ì - i:;:Ì ị:ịi;:ịH Ì iN :Ì ỉil:ÌÌ :Ì ;Ì r Ì:;ỉ:iị;Ì:;lH}
16. lliệ i vậy, hiển nhiôn là X < b với mọi X b). Mặt khác, với mọ! số b ’ < b thì K =- (a; b ) o ( b ’; h) -■ 0 , do đó tồn tại X(,eK. ■ ,SỐ XyG K ìà số íhoả măn điốu kiện (a, b) va X > b’. Vậy cả o hai điều kiện nêu trên đều thoả mãn, do đó sup(a; b) = b. Tương tự, in f x = a khi và chỉ khi ihoả mãrì hai điều kiện sau: • X > a với ưiọi XGX (a là một cận dưới của-X); • Với mọi số a ’ > a luôn tồn tại số X GX sao cho Xq < a’ (mọi g số a’ > a không phải là cận dưới của X ) . Ví dụ: Bạn đọc hãy tự kiểm ira hai điều kiện trên để khẳng định rằng cận dưới đúng của khoảng (a; b) bằng a: inf(a; b) = a. Trong toán học người ta đã chứng minh định lý sau đây: Định lý: Mọi tập số thực X 0 bị chặn trên (bị chặn dưới) đều có cận írên đúng (cận dưới đúng). c. Sô cực đại và s ố cưc tiểu Ọ n trên đúng và cận dưới đúng của rnột tâp số thực X có thể thuộc hoặc không thuộc tập hợp X. Qìẳng hạn; V ớ iX = [ a ,b ) ; supX = bểX , infX = aeX ; Với Y = (a; b]: supY = beY , iníY = Định nghĩa: Nếu supX = b và b e X thì số b được gọi là s ố cực dại, hay sô' lớn nhất, của tập họip X. Tưcmg tự, nếu inf X = a và a e X thì số a được gọi là s ố cực tiểu, hay sô' nhỏ nhất, của tập hợpx. Số lớnnhất của tập hợp X được ký hiệu là max X, còn số nhỏ nhất của tập hợp X được ký hiệu là minX. Từ định nghĩa suy ra: m axX = b o x < b v ớ i mọi X€ X và b e X; m inX = a X > a với rnọi x e X và a e X . V í dụ: • max [a; b] = b, min [a; b] = a. Trưòng Đạỉ học Kinh tế Quốc dân 21
17. ĩo ^{Ị ì} Ì Ắ Ì c Ị Ị c Ị Ệ Ị hẩ k in h ĩế • Tập (a; 1)) không có số lớn nhất và số nhó nhất. § 3 . Q U A N HỆ I. TÍCH DKS Cá RTES Định nghĩa: Tíeii Des Cartes eủa hãi tập hợp X và Y ỉà tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (x, y), trong đó X là một phần tử của lập X và y ỉà rnột phần tử của tập Y. Tích Des Cartes của X và Y được gọi tắt là lích của X và y. Ta ký hiệu tích của hai tập họfp X và Y là XxY; X x Y = ((x, y): xg X v à y e Y } . Chú ý: Ký hiệu (x, y) chỉ một cặp có thứ nc. X là phần tử đứng trước, y là phần tử đứng sau. Với X và y là hai phần tử khác nhau thì (x, y) và (y, x) là hai cặp có thứ tự khác nhau. Từ hai tậpiiợp X và Y ta có hai tập tích; XxY và YxX. Ví dụ: Với X = (x, y, zỊ, Y = {a, b), ta có: XxY = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)}; YxX = {(a, x), (b, x), (a, y), (b, y), (a, z), (b, z ) }. Trên đây là định nghĩa tích Des Cartes của hai tập hợp. Tích Des Cartes của n tập hợp được định nghĩa tưcmg tự như sau; Định nghĩa: Tích của tỉ tập íậữ hợp Xị, X,, ... , X,, là tập hợp lất cả các bộ n phần tử có thứ tự (X), X ,,. . . , x„), trong đó X là phần | ^{tử của tập hợp X,; (k = 1, 2 , . . . , n). Tích của các tập hợp X|, X ; , ..., x„ được ký hiệu tưcmg tự; X|X X 2X ... xX} = |(xi, X,,..., x„); x,gX ,, XTeX,,..., x,fcX„ . Đặc biệt, khi Xj= X,= - -= x„ = X, tích XxXx...xX (n lần) được ký hiệu là X": X" = {(X|, x .,..., x„): x ,e X , x . e X , . . . , x„eX)}. 22 Trưởng Đạl học Kinti tế Quốc dân
18. II. QUAN HỆ a. Khái niệm quan hệ Theo nghĩa thỏng thưèmg, quan hê frong một tặp hợp là một tính chất đặc trung hay một quy ước lién kết các phần tử của tộp hơp đó. Quan hệ hai ngôi Hên kết các phần lữ theo từng cặp. Qiẳng hạn, quan hệ hồn nhân trong cộng đổng người liên kết hai người có đãng ký kết hỏn; quan hệ chia hếĩ liên kết các số nguyên theo thừng cặp (p, q), trong đó p là số chia hết cho q. Nói một cách khái quát, một quan hệ hai ngóỉ (p trong tập hợp X là một quy tắc xác định những cặp phán tử (x, y) có quan hệ với nhau theo quy tắc đó. Nếu xem mỗi cặp phần tử (x, y) của tập hợp X là một phần tử của tập tích X ' thì một quan hệ (p xác định một tập hợp O c X ^{. Ta có Lhê đổng nhấi quan hệ ọ với tập con O của tập tícn X}. Định nghĩa: Quan hệ hai ngôi tiong tập hợp X là một tập con của tập hợp X^. V í dụ : • Trong tập hợp người X, quan hệ cha con ỉà tập hỢỊỉ (x, y): x e X , ỵ e X , X là cha của y Ị c X'. • Trong tập hợp số thực 1 , quan hệ “không nhỏ hơn” là tập hợp: ({x, y): X€ R , y e M, X > y ị c i R '. • Trong lập hợp tất cả các tam giác quan hệ “đồng dạng” là tập hợp các cặp tam giác (A, A’) mà A đồng dạng với A’. b. Quan hệ tương đương Cho O c X * là một quan hệ trong tập hợp X. Nếu (x, y ) € 0 thì ta nói p h ẩ n tử X có qu a n h ệ < với p h à n (ử y và viết; xOy. I> •ạpsạRBa^aạmiiỊKỊỊMạạạBỊạnKạM Trường Đại học Kinh tế Quốc dân 23
19. ĨOẨK-lAOCẤpr.HCGẤCN;-IẢR]NHTẾ ■ • ■ Ì in ìP y iV i^ Ỉ ẩ ^{i r T T r ĩ} 'T i~ i - t r • ĩi- - r 'i' T r Ị--M - ■• - --r-iiÉ -| • - -| -iian ^{iii» |ịj|iiỂ iii'n riM n Ì} ^ ' ' * Đ ỉnh nghĩa: Một quan hệ o íroníĩ tập họp >f được gọi là quan hẻ íiú:rĩig dư ơìig P-ếu nổ có c á c tíiib cỉiấi sau: • 1. l ính phản xạ: aOa, V a e X (Mọi phần tử a của tập hợp X có quan hệ < với chính nó); I> 2. Tính ảổi xíúig: Nếiĩ ab thì bOa (Nểu a có quan hệ o với b thì b cũng có quan hệ với c Ihì ă có quan hệ o với c). V í dụ: • Quan hệ “x đồng dạng với y” là một quan hệ tương đương t r o n g t ậ p h ọ p t ấ t C tì CcìC t â ĩ ĩ l • Quan hệ “x sinh cùng năm với y” là một quan hệ tương đương trong tập hợp sinh viên của m ội trường đại học. • Quan hệ “x là bạn của y” trong tậD họfp sinh viên của một trường đại học không phải là quan hệ tưcmg đương bởi vì quan hệ này ỉđiông có tính bắc cầu. c. Q uan hệ th ứ tự Đ ịnh ngh ĩa: Một quan hệ o trong tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó thoả mãn các tính chất sau; 1. Tính phản xạ-. aOa,Va e X (Mọi phần tử a của tập hợp X có quan hệ O với chính nó); 2. Tính bắc cầu: Nếu aOb và bOc thì aOc (Nếu a có quan hệ O với b và b có quan hệ o với c thì a có quan hệ o với c). 3. Tính phản đối xiửig: Nếu ab và bO a thì a = b (phần tử a trùng với phần tử b). Ví dụ: • Quạn hệ “x < y” là một quan hệ thứ tự tong tập hợp tất cả các số thực. 24 , Triíồrng Dạí bọc Kính tế Quốc dân
20. iililiilliliit liiiiiiiiii * Quan hệ “p chia hết cho q” là mộ! quan hộ thứ tự trong tập hợp tất cả các số tự nhiên, in . ÁNH XẠ a. K h á i niệm ánh xạ Cho X và Y là hai tập hợp không rỗng bất kỳ. Đ ịnh nghĩa: Một ánh xạ f từ tập hợp X vào lập hợp Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử X của tập X với một và chỉ một phần tử y của tập Y. Để nói rằng f là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y ta dùng ký hiệu: f; X Y. Phần tử y e Y tưcmg ứng với phần tử x e X qua ánh xạ f được gọi là đ n h c ủ a p h ầ n tử X. Để nói rằng y là ảnh của phần tử X qua ánh xạ f ta viết: y = f(x). V í dụ I: Phép đặt tưcmg ứng mỗi điểm M của một mặt phẳng p với hình chiếu vuông góc N của nó trên một đường thẳng A c p là m ôt ánh xa từ p vào A. M A Ánh xạ này được gọi là phép chiếu vuông góc. Điểm N là ảnh của điểm M qua phép chiếu đó. Ví dụ 2: Phép đặt tương ứng mỗi số thực X với số nguyên m thoả mãn điều kiện m < X < m + r (gọi là phần nguyên của x) là một ánh xạ từ R vào z . Trưdng Đại học Kinh tế Quốc dân ^ w 25ii i”w.liiỉUÌ Ỉị í