Tổng các bình phương của a và b là gì

Table of Contents

Bình phương của một tổng là công thức đầu tiên trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. Chúng ta hãy cùng tìm hiểu công thức bình phương của một tổng có các dạng bài tập như thế nào và được vận dụng  ra sao nhé.

1. Bình phương của một tổng là gì?

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhất nhân và số thứ hai rồi cộng với bình phương của số thứ hai.

Với A, B là một biểu thức hoặc một số tuỳ ý, ta có:

[A + B]2 = A2 + 2AB + B2

Ví dụ 1: Khai triển biểu thức sau: [2x + 3]2

Lời giải:   [2x + 3]2 = [2x]2 + 2 . 2x . 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9.

Ví dụ 2: Viết biểu thức 9x2 + 24x + 16 dưới dạng bình phương của một tổng.

Lời giải:     9x2 + 24x + 16 = [3x]2 + 2 . 3x . 4 + 42 = [3x + 4]2

*Mở rộng:

Với A, B, C là một biểu thức hoặc một số tuỳ ý, ta có:

[A + B + C]2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC

[Công thức này được chứng minh trong phần bài tập vận dụng]

2. Các dạng bài tập về bình phương của một tổng

2.1. Dạng 1: Khai triển biểu thức cho trước

*Phương pháp giải: 

• Bước 1: Xác định các biểu thức ;
• Bước 2: Liên hệ sử dụng hằng đẳng thức phù hợp;
• Bước 3: Sử dụng tính chất của luỹ thừa để khai thác biểu thức.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Khai triển các biểu thức sau:

a] [x + 5]2

b] [2x + 4]2

ĐÁP ÁN

a] [x + 5]2 = x2 + 2 . x. 5 + 52 = x2 + 10x + 25

b] [2x + 4]2 = [2x]2 + 2 . 2x . 4 + 42 = 4x2 + 16x + 16

Bài 2: Khai triển các biểu thức sau:

a] [x + 3y]2

b]

ĐÁP ÁN

a] [x + 3y]2 = x2 + 2 . x . 3y + [3y]2 = x2 + 6xy + 9y2;

b]

2.2. Dạng 2: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng

*Phương pháp giải: 

• Bước 1: Xác định các biểu thức ;
• Bước 2: Liên hệ sử dụng công thức bình phương của một tổng.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng.

a] x2 + 2x + 1

b] 4x2 + 4x + 1

ĐÁP ÁN

a] x2 + 2x + 1 = x2 + 2 . x . 1 + 12 = [x + 1]2

b] 4x2 + 4x + 1 = [2x]2 + 2 . 2x . 1 + 12 = [2x + 1]2

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng.

a]

b]

c]

ĐÁP ÁN

a]

b]  

c]

2.3. Dạng 3: Tính nhanh

*Phương pháp giải: 

• Bước 1: Tách số [hoặc các hạng tử] thành tổng các số một cách hợp lí, thông thường sẽ tách thành tổng của các số tròn chục, tròn trăm;
• Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng;
• Bước 3: Tính.

Bài tập vận dụng

Tính nhanh:

a] 1012

b] 3012

c] 2752 + 2.275.25 + 252

d] 1282 + 2.128.22 + 222

ĐÁP ÁNa] 1012 = [100 + 1]2 = 1002 + 2.100.1 + 12 = 10000 + 200 + 1 = 10201

b] 3012 = [300 + 1]2 = 3002 + 2.300.1 + 12 = 90000 + 600 + 1 = 90601

c] 2752 + 2.275.25 + 252 = [275 + 25]2 = 3002 = 90000

d] 1282 + 2.128.22 + 222 = [128 + 22]2 = 1502 = 22500

2.4. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức

*Phương pháp giải:

Vận dụng một cách linh hoạt hằng đẳng thức bình phương của một tổng để biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi đồng thời cả hai vế cùng bằng một biểu thức.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng: [a + b + c]2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.

ĐÁP ÁN

Ta có:          [a + b + c]2

    =   [[a + b] + c]2

    =   [a + b]2 + 2[a + b]c + c2

    =   a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

    =   a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Vậy [a + b + c]2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. 

Bài 2: Chứng minh rằng: [a + b + c]2 + a2 + b2 + c2 = [a + b]2 + [b + c]2 + [c + a]2

ĐÁP ÁN

Ta có:  [a + b + c]2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Do đó: VT = [a + b + c]2 + a2 + b2 + c2 

       = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2

       = [a2 + 2ab + b2] + [b2 + 2bc + c2] + [c2 + 2ac + a2]

       =  [a + b]2 + [b + c]2 + [c + a]2 = VP

Vậy [a + b + c]2 + a2 + b2 + c2 = [a + b]2 + [b + c]2 + [c + a]2.

2.5. Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

*Phương pháp giải:

Vận dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để biến đổi biểu thức về dạng:

•  với mọi  . Khi đó GTNN của  bằng khi tồn tại sao cho .
•  với mọi  . Khi đó GTLN của  bằng khi tồn tại sao cho .

Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:

a]

b]

c]

ĐÁP ÁN

a]  Với mọi  , ta có:  

 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng .

Dấu "=" xảy ra .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng  khi .

b] Với mọi  , ta có:

 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng .

Dấu "=" xảy ra .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng khi .

c] Với mọi , ta có:  

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng .

Dấu "=" xảy ra .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng khi .

Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức sau:

a]

b]

ĐÁP ÁN

a] Với mọi , ta có: .

 Giá trị lớn nhất của bằng .

Dấu "=" xảy ra .

Vậy giá trị lớn nhất của bằng khi .

b] Với mọi , ta có: .

Giá trị lớn nhất của bằng .

Dấu "=" xảy ra .

Vậy giá trị lớn nhất của bằng khi .

Vậy bài viết này đã nêu ra đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập điển hình liên quan đến hằng đẳng thức bình phương của một tổng. Hy vọng các bạn học sinh sẽ nắm chắc phần lý thuyết này để làm các bài tập liên quan.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ.

Bài này có liệt kê các nguồn tham khảo và/hoặc liên kết ngoài, nhưng nội dung trong thân bài cần được dẫn nguồn đầy đủ bằng các chú thích trong hàng để người khác có thể kiểm chứng. Bạn hãy cải thiện bài này bằng cách thêm các chú thích. [August 2015]

5⋅5, hay 52 [5 mũ 2, 5 bình phương]. Mỗi khối đại diện cho một đơn vị, 1⋅1, và toàn bộ hình vuông đại diện cho diện tích hình vuông đó, hay là 5⋅5.

Bình phương hay mũ 2 là phép toán áp dụng cho mọi số thực hoặc số phức. Bình phương của một số là tích của số đó với chính bản thân nó 2 lần.[1] Một cách tổng quát, bình phương chính là lũy thừa bậc 2 của một số,[1] và phép toán ngược với nó là phép khai căn bậc 2.

Tính chất

Bình phương của số thực luôn là số ≥0. Bình phương của một số nguyên gọi là số chính phương.

Tính chất của số chính phương

Bài chi tiết: Số chính phương

• Số chính phương chỉ có thể tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9. Số chính phương không thể tận cùng là: 2; 3; 7; 8.
• Một số chính phương có tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. Một số chính phương có tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ.
  • Chứng minh: Số chính phương a = b 2 {\displaystyle a=b^{2}}
    có tận cùng là 5 suy ra b {\displaystyle b}
    có tận cùng là 5 {\displaystyle 5}
    . Đặt b = 10 x + 5 {\displaystyle b=10x+5}
    . Ta có [ 10 x + 5 ] 2 = 100 x 2 + 100 x + 25 = 100 [ x 2 + x ] + 25 {\displaystyle [10x+5]^{2}=100x^{2}+100x+25=100[x^{2}+x]+25}
    , có hai chữ số tận cùng là 25, do đó chữ số hàng chục là 2. Số chính phương a = b 2 {\displaystyle a=b^{2}} có tận cùng là 6 suy ra b {\displaystyle b} có tận cùng là 4 hoặc 6. Xét [ 10 x + 4 ] 2 = 100 x 2 + 80 x + 16 = 6 + 10 [ 10 x 2 + 8 x + 1 ] = 6 + 10 [ 2 [ 5 x 2 + 4 x ] + 1 ] {\displaystyle [10x+4]^{2}=100x^{2}+80x+16=6+10[10x^{2}+8x+1]=6+10[2[5x^{2}+4x]+1]}
    và [ 10 x + 6 ] 2 = 100 x 2 + 120 x + 36 = 6 + 10 [ 10 x 2 + 12 x + 3 ] = 6 + 10 [ 2 [ 5 x 2 + 6 x + 1 ] + 1 ] {\displaystyle [10x+6]^{2}=100x^{2}+120x+36=6+10[10x^{2}+12x+3]=6+10[2[5x^{2}+6x+1]+1]}
    . Do đó chữ số hàng chục là số lẻ.
• Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố thì các thừa số chỉ chứa số mũ chẵn.
• Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ.
• N là số chính phương thì N chia hết cho một số nguyên tố khi và chỉ khi N chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó [trừ trường hợp N=0; N=1].
• Tích của nhiều số chính phương là một số chính phương.
  • Ví dụ: a2 × b2 × c2 = [a × b × c]2

Ký hiệu

Số mũ ² bên phải của số được bình phương.

Ví dụ

• Số thực:

2² = 2 × 2 = 4 15² = 15 × 15=225 [- 0,5]² = 0,25

• Số phức:

i² = -1 [3 + 2i]² = 5 + 12i

Chú thích

1. ^ a b Phan Đức Chính [2011], tr. 27

Thư mục

• Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2011, Toán 6 [tập một] [tái bản lần thứ chín], Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.

Các chủ đề chính trong toán học

Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng | Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s

Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Bình_phương&oldid=68759972”