Trình bày định nghĩa dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính

CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

A. Mục đích yêu cầu

1. Kiến thức

- Sinh viên cần nắm được khái niệm, điều kiện có nghiệm, phương pháp giải hệ Cramer, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, hệ phương trình tuyến tính tổng quát, mối liên hệ giữa nghiệm của hệ không thuần nhất và hệ thuần nhất tương ứng.

2. Kĩ năng

- Giải thành thạo hệ Cramer, hệ phương trình tuyến tính thần nhất, hệ phương trình tổng quát.

- Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính tổng quát.

3. Thái độ

- Tự giác, tích cực, chủ động trong lĩnh hội tri thức mới.

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo án môn Đại số 9 - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Chương 3 hệ phương trình tuyến tính A. Mục đích yêu cầu 1. Kiến thức - Sinh viên cần nắm được khái niệm, điều kiện có nghiệm, phương pháp giải hệ Cramer, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, hệ phương trình tuyến tính tổng quát, mối liên hệ giữa nghiệm của hệ không thuần nhất và hệ thuần nhất tương ứng. 2. Kĩ năng - Giải thành thạo hệ Cramer, hệ phương trình tuyến tính thần nhất, hệ phương trình tổng quát. - Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính tổng quát. 3. Thái độ - Tự giác, tích cực, chủ động trong lĩnh hội tri thức mới. 4. Tư duy - Tư duy sáng tạo, suy luận logic. b. Phương pháp giảng dạy - Thuyết trình, gợi mở vấn đáp. c. Nội dung 1. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính. 1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát a. Dạng khai triển. Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số có dạng tổng quát như sau: (3.1) Trong đó và là các hằng số cho trước, số được gọi là hệ số của ẩn trong phương trình thứ i và được gọi là số hạng tự do của phương trình thứ i (i = 1,.,m; j = 1,2,,n). b.Dạng ma trận ; ; ; A được gọi là ma trận hệ số, X là ma trận ẩn số, B là ma trận vế phải (cột số hạng tự do), là ma trận mở rộng. Khi đó phương trình (3.1) có thể viết dưới dạng ma trận : AX=B. 1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. - Định nghĩa: Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính n ẩn số (3.1) là một bộ n số có thứ tự mà khi gán vào tất cả các phương trình của hệ thì ta được các đẳng thức đúng. - Nghiệm của hệ phương trình (3.1) có thể viết một trong 3 dạng sau: ,, - Giải hệ phương trình tuyến tính nghĩa là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó. 1.3 Hệ tam giác và hệ hình thang. a. Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác là hệ phương trình có dạng : (3.2) trong đó (i = 1,,n). - Cách giải: Từ phương trình cuối cùng của hệ ta xác định được : Thay vào phương trình phía trên ta có phương trình một ẩn số , từ đó xác định được . Lặp lại quá trình theo trình tự từ dưới lên ta tìm được ,, . Vậy hệ có nghiệm duy nhất : . -Ví dụ : Giải hệ phương trình 3 ẩn số: Từ (c) ta có: thay vào (b) có : . Thay vào (a) ta có : . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1,2,-1). b. Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang là hệ phương trình có dạng: (3.3) m ẩn đầu gọi là các ẩn chính, các ẩn còn lại gọi là ẩn tự do. - Cách giải: Gán cho các ẩn tự do giá trị tùy ý ,,và chuyển các số hạng chứa chúng sang phải ta được một hệ tam giác với các ẩn chính : Theo phương pháp giải hệ tam giác ta xác định được giá trị của các ẩn theo . Nghiệm của hệ (3.3) có dạng : (3.4) Hệ hình thang (3.3) có vô số nghiệm. - Nghiệm viết dưới dạng (3.4) với là một bộ n-m hằng số bất kỳ, được gọi là nghiệm tổng quát . - Mỗi bộ số thực gán cho các ẩn tự do cho tương ứng một nghiệm của hệ (3.3) gọi là nghiệm riêng . Chú ý: Hệ phương trình dạng tam giác và hình thang có chung một đặc điểm là theo trình tự từ trên xuống dưới các ẩn số khuyết dần: phương trình thứ i có mặt ẩn , nhưng khuyết các ẩn đứng trước nó , tức là và . Hệ phương trình tam giác có số phương trình bằng số ẩn, hệ hình thang có số phương trình ít hơn số ẩn. Ví dụ: Giải hệ phương trình Giải Gán ta được hệ sau: Theo quy tắc giải hệ tam giác ta có : Nghiệm tổng quát của hệ: (,,,,). Với ta có nghiệm riêng (-19,4,2,0,0). 2. Hệ Cramer 2.1 .Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận hệ số khác 0. Hệ Crame n ẩn số có dạng: (3.5) với ma trận hệ số là ma trận vuông cấp n: có định thức . - Dạng ma trận: AX = B (3.6) trong đó , - Cách giải : Do nên . Nhân 2 vế của (3.6)với về bên trái ta được hệ tương đương: (3.7) Vậy hệ Crame có nghiệm duy nhất được xác định theo công thức (3.7) Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: Giải , do nên hệ trên là hệ Cramer. Ma trận nghịch đảo của ma trận A là : áp dụng công thức (3.7) ta có : Vậy nghiệm của phương trình là:(2,-1,1). 2.2 Quy tắc Cramer Định lý (quy tắc Cramer) Nghiệm duy nhất của một hệ phương trình Cramer n ẩn số được xác định theo công thức: (3.8) trong đó d =detA, là định thức có cột thứ j là cột hệ số tự do và tất cả các cột còn lại như của định thức d. Chứng minh Ta có : (j=1,,n) Khai triển định thức theo cột thứ j ta có; (3.9) trong đó là phần bù đại số của phần tử của định thức d. Nghiêm duy nhất của hệ được xác định theo (3.7).áp dụng (3.7) và (3.9) ta có : Vậy ta có công thức (3.8) Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: Giải Ta có : ; ; áp dụng quy tắc Cramer có: 3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 3.1 Điều kiện có nghiệm Định lý Cronecker-Capelli Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số. Chứng minh Cần: Giả sử hệ phương trình tuyến tính (3.1) có nghiệm,ta phải chứng minh . Thật vậy hệ (3.1) có nghiệm tức là có để cho Hay với Suy ra cột cuối cùng của ma trận là tổ hợp tuyến tính của n cột đầu .Theo tính chất hạng của ma trận ta có . Đủ: Giả sử =k, ta phải chứng minh hệ (3.1) có nghiệm. Không mất tính chất tổng quát ta có thể coi định thức cấp k khác 0 của A và nằm ở góc trái. Khi đó k cột đầu tiên độc lập tuyến tính, các cột còn lại có thể biểu diễn qua k cột đầu. Xét trường hợp riêng B biểu diễn qua k cột đầu tức là: Lấy thì ta có một nghiệm của (3.1) (đpcm). 3.2 Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính Xét hệ phương trình tuyến tính(3.1) + Trường hợp thì hệ (3.1) vô nghiệm (theo định lý Cronecker-Capelli) + Trường hợp không mất tính chất tổng quát, giả sử rằng định thức con cấp r ở góc trái ma trận A là định thức con cơ sở của nó: D cũng là định thức con cơ sở của, suy ra r dòng đầu của là một cơ sở của hệ vectơ dòng của nó. Gọi là dòng thứ i của ma trận . Các vectơ độc lập tuyến tính và tất cả các vectơ (nếu r < m) biểu diễn tuyến tính qua .Với mỗi k = r +1,, m ta có: ( 3.10) Theo hệ thức (3.10) ta có thể biến đổi sao cho mỗi dòng của ma trận mở rộng, từ dòng thứ r +1 trở xuống (nếu có), thành vectơ không n + 1 chiều bằng cách cộng lần lượt vào dòng thứ k ( k = r +1,, n) tích của mỗi dòng với . Điều này chứng tỏ hệ (3.1) tương đương với hệ : (3.11) Hệ (3.11) được gọi là hệ phương trình cơ sở của hệ (3.1). Việc giải hệ (3.1) quy về giải hệ (3.11). + Nếu r = n hệ (3.11) là hệ Cramer. Vậy hệ có nghiệm duy nhất. + Nếu r < n thì theo định thức con cơ sở ta gọi các ẩn là các ẩn chính và các ẩn còn lại là ẩn tự do. Khi đó ta có hệ đã cho có vô số nghiệm. *Kết luận: - Số nghiệm của phương trình tuyến tính có thể xác định được thông qua và : + Nếu thì hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm. + Nếu (n là số ẩn số) thì hệ phương trình tuyến tính có một nghiệm duy nhất . + Nếuthì hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm. - Khi thì (3.1) tương đương với hệ phương trình cơ sở của nó. Hệ phương trình cơ sở gồm r phương trình độc lập tuuyến tính. Các phương trình còn lại của hệ là phương trình hệ quả của các phương trình cơ sở. - Khi , để xác định hệ phương trình cơ sở, chỉ định các ẩn chính và ẩn tự do ta chọn một định thức con cơ sở của ma trận hệ số. Nếu định thức con cơ sở được tạo thành từ các dòng và các cột của ma trận A thì hệ phương trình cơ sở gồm r phương trình và các ẩn chính là các ẩn có chỉ số , các ẩn còn lại (khi r