Định nghĩa: Cho đường thẳng \[\Delta \]
– Vectơ \[\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \] gọi là vectơ pháp tuyến [VTPT] của \[\Delta \] nếu giá của \[\overrightarrow n \] vuông góc với \[\Delta \]
– Vectơ \[\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \] gọi là vectơ chỉ phương [VTCP] của đường thẳng \[\Delta \] nếu giá của nó song song hoặc trùng với \[\Delta \]
Nhận xét:
– Nếu \[\overrightarrow n \left[ {\overrightarrow u } \right]\] là VTPT [VTCP] của \[\Delta \] thì \[k\overrightarrow n \left[ {k \ne 0} \right]\] hoặc \[k\overrightarrow u \] cũng là VTPT [VTCP] của \[\Delta \]
– VTPT và VTCP vuông góc với nhau: \[\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\]
– Nếu \[\Delta \] có VTCP \[\overrightarrow u = [a;b]\] thì \[\overrightarrow n = [ – b;a]\] là một VTPT của \[\Delta \]
a] Phương trình tổng quát
Cho đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[{M_0}[{x_0};{y_0}]\] và có VTPT \[\overrightarrow n = [a;b]\]. Khi đó:
\[\Delta :a[x – {x_0}] + b[y – {y_0}] = 0\]
Phương trình trên được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng \[\Delta \]
– Nếu đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] thì \[\overrightarrow n = [a;b]\] là VTPT của \[\Delta \].
– Điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] thuộc \[\Delta :ax + by + c = 0 \] \[\Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} + c = 0\]
b] Phương trình tham số của đường thẳng:
Cho đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[{M_0}[{x_0};{y_0}]\] và \[\overrightarrow u = [a;b]\] là VTCP. Khi đó:
\[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.{\rm{ }}t \in R\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Hệ [1] gọi là phương trình tham số của đường thẳng \[\Delta ,t\] gọi là tham số
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng \[{d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0;\] \[{\rm{ }}{d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\]
\[{d_1}\] cắt ${d_2}$ khi và chỉ khi \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| \ne 0\]
\[{d_1}//{d_2}\] khi và chỉ khi \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = 0\] và \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right| \ne 0\], hoặc \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = 0\] và \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{a_1}}\\{{c_2}}&{{a_2}}\end{array}} \right| \ne 0\]
\[{d_1} \equiv {d_2}\] khi và chỉ khi \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{a_1}}\\{{c_2}}&{{a_2}}\end{array}} \right| = 0\]
Với trường hợp \[{a_2}.{b_2}.{c_2} \ne 0\] khi đó
+ Nếu \[\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\] thì hai đường thẳng cắt nhau.
+ Nếu \[\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\] thì hai đường thẳng song song nhau.
+ Nếu \[\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\] thì hai đường thẳng trùng nhau.
+ Nếu \[{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0\] thì hai đường thẳng vuông góc.
Cập nhật lúc: 16:13 19-01-2017 Mục tin: LỚP 10
Loại 1: Các dạng phương trình đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình tổng quát
* Định nghĩa: Phương trình: \[\Delta :ax+by+c=0, a^{2}+b^{2}\neq 0\] là PTTQ của đường thẳng \[\Delta\] nhận \[\overrightarrow{n}\left [ a;b \right ]\] làm vectơ pháp tuyến.
* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.
+]\[\Delta\]: ax+c=0, \[\left [ a\neq 0 \right ]\] nên \[\Delta\] song song hoặc trùng với Oy.
+]\[\Delta\]: ay+c=0, \[\left [ a\neq 0 \right ]\] nên \[\Delta\] song song hoặc trùng với Ox.
+]\[\Delta\]: ax+by=0, \[a^{2}+b^{2}\neq 0\] nên \[\Delta\] đi qua gốc tọa độ.
+] Phương trình dạng đoạn chắn \[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\] nên \[\Delta\] qua A [a; 0] B[0;b] [ab khác 0]
+] Phương trình đường thẳng dạng hệ số góc y= kx+m [k được gọi là hệ số góc của đường thẳng]
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết sẽ chia sẻ với các bạn các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, cách viết phương trình đường thẳng và các dạng bài tập phương trình đường thẳng lớp 10 đầy đủ, chi tiết, dễ hiểu nhất.
Các vectơ của đường thẳng
Vectơ chỉ phương
Vectơ pháp tuyến
Các phương trình đường thẳng
Phương trình tổng quát
Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng
- ∆∶ ax + c = 0 [a≠0] khi ∆ song song hoặc trùng với Oy
- ∆∶ by + c = 0 [b≠0] khi ∆ song song hoặc trùng với Ox
- ∆∶ ax + by = 0 [a2 + b2 ≠ 0] khi ∆ đi qua gốc tọa độ.
Phương trình đoạn chắn
Đường thẳng cắt Ox và Oy lần lượt tại 2 điểm A[a; 0] và B[0; b] có phương trình đoạn theo chắn là
Phương trình tham số
Phương trình chính tắc
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Xét 2 điểm A[xA; yA], B[xB; yB] với xA ≠ xB , yA ≠ yB. Phương trình đường thẳng AB là:
xA = xB , phương trình đường thẳng AB: x = xA
yA= yB , phương trình đường thẳng AB: y = yB
Hệ số góc
Phương trình đường thẳng [∆] đi qua điểm Mo[xo; yo] và có hệ số góc k thỏa mãn:
y – yo = k [x – xo]
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét 2 đường thẳng D1 : a1x + b1y + c1 = 0 ; D2 : a2x + b2y + c2 = 0. Tọa độ giao điểm D1, D2 là nghiệm của hệ phương trình:
Ta có các trường hợp sau:
- Hệ [I] có một nghiệm [xo; yo], khi D1 cắt D2 tại Mo[xo; yo]
- Hệ [I] có vô số nghiệm khi D1 trùng D2
- Hệ [I] vô nghiệm khi D1 // D2
Lưu ý: Nếu a2, b2, c2 ≠ 0 thì
Góc giữa hai đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 và điểm Mo[xo; yo]. Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng ∆, ký hiệu là d[Mo,∆] được tính bằng công thức:
Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: viết phương trình tham số của đường thẳng
Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau:
Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau:
Lưu ý:
- Nếu đường thẳng ∆1 cùng phương với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 có phương trình tổng quát là: ax + by + c’ = 0
- Nếu đường thẳng ∆1 vuông góc có với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 có phương trình tổng quát là: –bx + ay + c’ = 0
Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 ; ∆2 : a2x + b2y + c2 = 0, ta xét các trường hợp sau:
Tọa độ giao điểm ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình
Góc giữa 2 đường thẳng ∆1 và ∆2 được tính bởi công thức:
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Để tính khoảng cách từ điểm Mo[xo; yo] đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0, ta dùng công thức:
Trên đây là những kiến thức về phương trình đường thẳng lớp 10. Nếu có bất kỳ thắc mắc gì về phần kiến thức này, hãy comment bên dưới bài viết nhé!