Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0\]. Viết phương trình mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] chứa trục Oy và cắt mặt cầu [S] theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng\[\,8\pi .\]
trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án bên dưới
Đáp án đúng: C
Ta có \[\left[ S \right]:{\left[ {x – 1} \right]^2} + {\left[ {y – 2} \right]^2} + {\left[ {z – 3} \right]^2} = 16 \Rightarrow \left[ S \right]\,\]có tâm \[I\left[ {1;2;3} \right]\] và bán kính \[R = 4\]
Bán kính của đường tròn là: \[r = \frac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4 = R \Rightarrow \]đường tròn đi qua tâm của mặt cầu [S]
Vtcp của Oy là \[\overrightarrow u \left[ {0;1;0} \right]\], điểm \[A\left[ {0;1;0} \right] \in Oy\]
Ta có \[\overrightarrow {IA} \left[ {1;1;3} \right] \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow u } \right] = \left[ { – 3;0;1} \right]\]
Mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]đi qua A và nhận \[\overrightarrow n \] làm VTPT\[ \Rightarrow \]Phương trình mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]là:
\[\left[ \alpha \right]: – 3\left[ {x – 0} \right] + 0\left[ {y – 1} \right] + 1\left[ {z – 0} \right] = 0\]hay \[\left[ \alpha \right]:3x – z = 0.\]
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách làm bài tập viết phương trình mặt phẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu [S]
2. Nếu mặt phẳng [P] tiếp xúc với mặt cầu [S] tại M ∈[S] thì mặt phẳng [P] đi qua điểm M và có vecto pháp tuyến là MI→
3. Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được vecto pháp tuyến của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax +By +Cz +D =0 [D chưa biết]
Sử dụng điều kiện khoảng cách để tìm D
Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q]: x +2y -2z +1 =0 và tiếp xúc với mặt cầu [S]: x2 +y2 +z2 +2x -4y -2z -3 =0
Hướng dẫn:
Mặt cầu [S] có tâm I [-1; 2; 1] và bán kính R=3
Do [P] song song với mặt phẳng [Q] nên phương trình mặt phẳng [P] có dạng:
x +2y -2z +D =0 [D≠1].
Vì [P] tiếp xúc với mặt cầu [S] nên d[I;[P]] =R =3
⇔ |1+D|=9 ⇔
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là:
x +2y -2z +8 =0
x +2y -2z -10 =0
Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hình cầu: [S]: [x-1]2 +[y-2]2 +[z-3]2 =1. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa trục Oz và tiếp xúc với [S].
Hướng dẫn:
Mặt cầu [S] có tâm I[1;2;3] và bán kính R = 1
Trục Oz có vecto chỉ phương u→=[0;0;1]
Gọi n→=[a;b;c] là vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P]
Do [P] chứa trục Oy nên n→⊥u→ ⇒ n→ .u→=0
⇔ c=0 ⇒ n→=[a;b;0]
Phương trình mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→=[a;b;0] và đi qua điểm O[0; 0; 0] là: ax +by =0
Mặt phẳng [P] tiếp xúc với mặt cầu S nên d[I;[P]] =R =1
⇔ 4ab +3b2 =0 ⇔
Vậy phương trình mặt phẳng [P] là: x = 0 hoặc: 3x -4y =0
Quảng cáo
Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi [P] là mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu[S]: [x-1]2 +[y+2]2 +z2 =12 theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng [P] là:
Hướng dẫn:
Mặt cầu [S] có tâm I[1; -2; 0] và bán kính R=2√3
Mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng Oxz nên phương trình mặt phẳng [P] có dạng: y + D = 0 [D≠0]
Mặt phẳng [P] cắt mặt cầu [S] theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng [P] đi qua tâm I của mặt cầu.
Khi đó: -2 +D =0 ⇒ D=2
Phương trình mặt phẳng [P] là: y +2 =0
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt phẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp
Phương trình mặt phẳng Oxyzchứa trục Ozvà cắt mặt cầu [S]:x2+y2+z2-2x+2y-6=0theo đường tròn có bán kính bằng 3là
A. x+y=0
Đáp án chính xác
B. x-y=0
C. x+2y=0
D. x-2y=0
Xem lời giải