Bài 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 trang 16 sbt hình học 12 nâng cao

Bài 16

Hình hộp đứngABCD.ABCDcó đáy là một hình thoi với diện tíchS1. Hai mặt chéoACCAvàBDDBcó diện tích lần lượt bằngS2vàS3. Khi đó thể tích của hình hộp là

\(\eqalign{ & (A)\;\sqrt {{{{S_1}{S_2}{S_3}} \over 2}} ; \cr & (B)\;{{\sqrt 2 } \over 3}\sqrt {{S_1}{S_2}{S_3}} ; \cr & (C)\;{{\sqrt 3 } \over 3}\sqrt {{S_1}{S_2}{S_3}} ; \cr & (D)\;{{{S_1}} \over 2}\sqrt {{S_2}{S_3}} . \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (A).

Các tứ giác ACCA và BDDB đều là hình chữ nhật nên:

\(\begin{array}{l}{S_2} = AC.AA = AC.h\\{S_3} = BD.BB' = BD.h\\ \Rightarrow {S_2}{S_3} = AC.BD.{h^2} = 2{S_1}{h^2}\\ \Rightarrow h = \sqrt {\frac{{{S_2}{S_3}}}{{2{S_1}}}} \\ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_1}h\\ = {S_1}.\sqrt {\frac{{{S_2}{S_3}}}{{2{S_1}}}} = \sqrt {\frac{{{S_1}{S_2}{S_3}}}{2}} \end{array}\)

Bài 17

Cho hình lập phươngABCD.ABCD cạnha, tâmO. Khi đó thể tích khối tứ diệnAABOlà

\(\eqalign{ & (A)\;{{{a^3}} \over 8}; \cr & (B)\;{{{a^3}} \over {12}}; \cr & (C)\;{{{a^3}} \over 9}; \cr & (D)\;{{{a^3}\sqrt 2 } \over 3}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (B).

\(\begin{array}{l}
{V_{AA'B'O}} = {V_{O.AA'B}} = \frac{1}{2}{V_{O.ABB'A'}}\\
= \frac{1}{2}.\frac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\
= \frac{1}{{12}}{a^3}
\end{array}\)

Bài 18

Cho biết thể tích của một hình hộp chữ nhật làV, đáy là hình vuông cạnha. Khi đó diện tích toàn phần của hình hộp bằng

\(\eqalign{ & (A)\;2\left( {{V \over a} + {a^2}} \right); \cr & (B)\;4{V \over a} + 2{a^2};\cr & (C)\;2\left( {{V \over {{a^2}}} + a} \right); \cr & (D)\;4\left( {{V \over {{a^2}}} + a} \right). \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (B).

Diện tích đáy \({S_d} = {a^2}\)

Chiều cao \(h = \frac{V}{{{S_d}}} = \frac{V}{{{a^2}}}\)

Diện tích xung quanh hình hộp: \({S_{xq}} = 4ah = 4a.\frac{V}{{{a^2}}} = \frac{{4V}}{a}\)

Diện tích toàn phần: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = \frac{{4V}}{a} + 2{a^2}\).

Bài 19

Cho một hình chóp tam giác có đường cao bằng100cmvà các cạnh đáy bằng20cm, 21cm,29cm. Thể tích của hình chóp đó bằng

\(\eqalign{ & (A)\;6000c{m^3}; \cr & (B)\;6213c{m^3}; \cr & (C)\;7000c{m^3}; \cr & (D)\;7000\sqrt 2 c{m^3} \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (C).

Nửa chu vi đáy: \(p = \frac{{20 + 21 + 29}}{2} = 35\)

Diện tích đáy:

\(\begin{array}{l}{S_d} = \sqrt {35\left( {35 - 20} \right)\left( {35 - 21} \right)\left( {35 - 29} \right)} \\ = 210\\ \Rightarrow V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}.210.100 = 7000\left( {c{m^3}} \right)\end{array}\)

Bài 20

Cho hình chóp tam giácS.ABCvới \(SA \bot SB,SB \bot SC,SC \bot SA,\)

\(SA = a,SB = b,SC = c.\) Thể tích của hình chóp bằng

\(\eqalign{ & (A)\;{1 \over 3}abc; \cr & (B)\;{1 \over 6}abc; \cr & (C)\;{1 \over 9}abc; \cr & (D)\;{2 \over 3}abc. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (B).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot SB\\SA \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {SBC} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{SBC}}\\ = \frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}SB.SC = \frac{1}{6}abc\end{array}\)

Bài 21

Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằngbvà chiều caoh. Khi đó, thể tích của hình chóp bằng

\(\eqalign{ & (A){{\sqrt 3 } \over 4}\left( {{b^2} - {h^2}} \right)h; \cr & (B){{\sqrt 3 } \over {12}}\left( {{b^2} - {h^2}} \right)h; \cr & (C){{\sqrt 3 } \over 4}\left( {{b^2} - {h^2}} \right)b; \cr & (D){{\sqrt 3 } \over 8}\left( {{b^2} - {h^2}} \right)h; \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (A).

Xét hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có chiều cao \(SG = h\), cạnh bên \(SA = b\).

Gọi M là trung điểm của BC ta có:

\(AG = \sqrt {S{A^2} - S{G^2}} = \sqrt {{b^2} - {h^2}} \)

Tam giác ABC đều có \(R = AG = \sqrt {{b^2} - {h^2}} \) nên:

\(AB = 2R\sin C = 2\sqrt {{b^2} - {h^2}} \sin {60^0}\) \( = \sqrt 3 .\sqrt {{b^2} - {h^2}} \)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( = \frac{{3\left( {{b^2} - {h^2}} \right)\sqrt 3 }}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SG\\ = \frac{1}{3}.\frac{{3\left( {{b^2} - {h^2}} \right)\sqrt 3 }}{4}.h\\ = \frac{{\sqrt 3 \left( {{b^2} - {h^2}} \right)}}{4}.h\end{array}\)

Bài 22

Cho hình chóp tam giácS.ABCcó \(SA \bot SB,SB \bot SC,SC \bot SA\) vàAB=13cm, BC=15cm, CA=\(\sqrt {106} \)cm. Thể tích của hình chóp bằng

\(\eqalign{ & (A)\;90c{m^3}; \cr & (B)\;80c{m^3}; \cr & (C)\;92c{m^3}; \cr & (D)\;80\sqrt 2 c{m^3}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (A).

Các tam giác SAB, SBC, SCA đều vuông tại S nên ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} + S{B^2} = A{B^2}\\S{B^2} + S{C^2} = B{C^2}\\S{C^2} + S{A^2} = A{C^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S{A^2} + S{B^2} = 169\\S{B^2} + S{C^2} = 225\\S{C^2} + S{A^2} = 106\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S{A^2} = 25\\S{B^2} = 144\\S{C^2} = 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = 5\\SB = 12\\SC = 9\end{array} \right.\\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC\\ = \frac{1}{6}.5.12.9 = 90\end{array}\)

Bài 23

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằngavà mặt bên tạo với mặt đáy một góc450. Thể tích của hình chóp đó bằng

\(\eqalign{ & (A){{{a^3}} \over 3}; \cr & (B){{{a^3}} \over 6}; \cr & (C){{2{a^3}} \over 3}; \cr & (D){{{a^3}} \over 9}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (B).

Gọi H là tâm đáy, M là trung điểm của BC.

Khi đó \(\widehat {SMH} = {45^0}\) nên tam giác SHM vuông cân tại H.

Ta có: \(HM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SH = HM = \frac{a}{2}\\ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH\\ = \frac{1}{3}{a^2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}\end{array}\)

Bài 24

Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằngavà diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Khi đó, thể tích của hình chóp bằng

\(\eqalign{ & (A){{{a^3}\sqrt 3 } \over 6}; \cr & (B){{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}; \cr & (C){{{a^3}\sqrt 3 } \over 2}; \cr & (D){{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (A).

Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = {a^2}\)

Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = 2{S_{ABCD}} = 2{a^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{SBC}} = \frac{1}{4}{S_{xq}} = \frac{1}{4}.2{a^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\\ \Rightarrow SM = \frac{{2{S_{SBC}}}}{{BC}} = \frac{{2.\frac{{{a^2}}}{2}}}{{{a^2}}} = a\\ \Rightarrow SH = \sqrt {S{M^2} - H{M^2}} \\ = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH\\ = \frac{1}{3}.{a^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\end{array}\)

Bài 25

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằngavà cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc600. Thể tích của hình chóp đó bằng

\(\eqalign{ & (A){{{a^3}\sqrt 6 } \over 2}; \cr & (B){{{a^3}\sqrt 6 } \over 3}; \cr & (C){{{a^3}\sqrt 3 } \over 2}; \cr & (D){{{a^3}\sqrt 6 } \over 6}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (D).

Gọi O là tâm đáy, khi đó \(\widehat {SAO} = {60^0}\).

ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác SAO vuông tại O nên \(SO = AO\tan \widehat {SAO}\) \( = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO\) \( = \frac{1}{3}{a^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\)

Bài 26

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằngavà cạnh bên bằngb. Khi đó thể tích của hình chóp bằng

\(\eqalign{ & (A){1 \over 3}{a^2}\sqrt {{b^2} - 2{a^2}} ; \cr & (B){1 \over 6}{a^2}\sqrt {{b^2} - 2{a^2}} ; \cr & (C){1 \over 6}{a^2}\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} ; \cr & (D){2 \over 3}{a^2}\sqrt {2{b^2} - {a^2}} . \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (C ).

ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác SAO vuông tại O nên \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \) \( = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} \)

Thể tích khối chóp: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO\) \( = \frac{1}{3}{a^2}.\frac{1}{2}\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} \) \( = \frac{1}{6}{a^2}\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} \)

Bài 27

Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằngavà các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc600. Thể tích của hình chóp đó bằng

\(\eqalign{ & (A){{{a^3}\sqrt 3 } \over {24}}; \cr & (B){{{a^3}\sqrt 3 } \over 8}; \cr & (C){{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}; \cr & (D){{{a^3}\sqrt 2 } \over 6}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (A).

Gọi H là tâm đáy, M là trung điểm của BC.

Khi đó \(\widehat {SMH} = {60^0}\).

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(MH = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Tam giác SMH vuông có \(\widehat {SMH} = {60^0}\) nên

\(SH = MH\tan {60^0}\) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \frac{a}{2}\)

Thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH\) \( = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

Bài 28

Đường chéo của một hình hộp chữ nhật bằngd, góc giữa đường chéo và mặt đáy là \(\alpha \), góc nhọn giữa hai đường chéo của đáy bằng \(\beta \). Thể tích của hình hộp đó bằng

\(\eqalign{ & (A)\;{1 \over 2}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta ; \cr & (B)\;{1 \over 3}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta ; \cr & (C)\;{d^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \sin \beta ; \cr & (D)\;{1 \over 2}{d^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \sin \beta . \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (A).

Gọi O là tâm đáy \(ABCD\), giả sử \(\widehat {AOB}\) nhọn thì \(\widehat {AOB} = \beta \).

Ta có: \(A'C = d,\widehat {A'CA} = \alpha \)

Tam giác AAC vuông tại A nên \(A'A = A'C\sin \alpha = d\sin \alpha \)

\(AC = A'C\cos \alpha = d\cos \alpha \)

\( \Rightarrow AO = BO = CO = DO\) \( = \frac{1}{2}AC = \frac{{d\cos \alpha }}{2}\)

\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = 4{S_{AOB}}\\ = 4.\frac{1}{2}AO.BO.\sin \widehat {AOB}\\ = 2A{O^2}\sin \widehat {AOB}\\ = 2.{\left( {\frac{{d\cos \alpha }}{2}} \right)^2}\sin \beta \\ = \frac{{{d^2}{{\cos }^2}\alpha \sin \beta }}{2}\\ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA'\\ = \frac{{{d^2}{{\cos }^2}\alpha \sin \beta }}{2}.d\sin \alpha \\ = \frac{1}{2}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta \end{array}\)

Bài 29

Cho lăng trụ tứ giác đềuABCD.ABCD có cạnh đáy bằnga, đường chéoACtạo với mặt bên(BCCB)một góc \(\alpha \left( {0 < \alpha < {{45}^0}} \right)\). Khi đó, thể tích của khối lăng trụ bằng

\(\eqalign{ & (A)\;{a^3}\sqrt {{{\cot }^3}\alpha + 1} ; \cr & (B)\;{a^3}\sqrt {{{\cot }^3}\alpha - 1} ; \cr & (C)\;{a^3}\sqrt {\cos 2\alpha } ; \cr & (D)\;{a^3}\sqrt {{{\tan }^2}\alpha - 1} . \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (B).

Ta có: \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(\left( {AC',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \widehat {AC'B} = \alpha \)

Tam giác \(ABC'\) vuông tại B nên \(BC' = AB\cot \alpha = a\cot \alpha \)

Tam giác BCC vuông tại B nên \(CC' = \sqrt {BC{'^2} - B{C^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {a\cot \alpha } \right)}^2} - {a^2}} \)\( = a\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \)

Thể tích: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.CC'\) \( = {a^2}.a\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \) \( = {a^3}\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \).

Bài 30

Đáy của hình chópS.ABCDlà một hình vuông cạnha.Cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằnga. Thể tích khối tứ diệnSBCDbằng

\(\eqalign{ & (A)\;{{{a^3}} \over 3}; \cr & (B)\;{{{a^3}} \over 4}; \cr & (C)\;{{{a^3}} \over 6}; \cr & (D)\;{{{a^3}} \over 8}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (C).

\(\begin{array}{l}
{V_{S.BCD}} = \frac{1}{3}{S_{BCD}}.SA\\
= \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{S_{ABCD}}.SA\\
= \frac{1}{6}{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{6}
\end{array}\)

Bài 31

Cho hình chópS.ABCDcó đáy là một hình vuông cạnha. Cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy, còn cạnh bênSCtạo với mặt phẳng(SAB)một góc300. Thể tích của khối chóp đó bằng

\(\eqalign{ & (A){{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}; \cr & (B){{{a^3}\sqrt 2 } \over 4}; \cr & (C){{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}; \cr & (D){{{a^3}\sqrt 2 } \over 3}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (D).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CB \bot AB\\CB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right)\)

Do đó góc \(\left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \widehat {CSB} = {30^0}\).

Tam giác SBC vuông tại B nên \(SB = \frac{{BC}}{{\tan {{30}^0}}} = \frac{a}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = a\sqrt 3 \)

Tam giác SAB vuông tại A nên \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} \) \( = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \)

Thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA\) \( = \frac{1}{3}{a^2}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

Bài 32

Cho hình chópS.ABCDcó đáy là một hình vuông cạnha. Các mặt phẳng(SAB), (SAD)cùng vuông góc với mặt phẳng đáy , còn cạnh bênSCtạo với mặt phẳng đáy một góc300.Thể tích của hình chóp đã cho bằng

\(\eqalign{ & (A){{{a^3}\sqrt 6 } \over 9}; \cr & (B){{{a^3}\sqrt 6 } \over 3}; \cr & (C){{{a^3}\sqrt 6 } \over 4}; \cr & (D){{{a^3}\sqrt 3 } \over 9}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (A).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \) góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\widehat {SCA} = {30^0}\).

ABCD là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \)

Tam giác SAC vuông tại A nên:

\(SA = AC\tan \widehat {SCA}\) \( = a\sqrt 2 .\tan {30^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA\) \( = \frac{1}{3}{a^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\)