Bài 3.33 trang 131 sbt đại số và giải tích 11
\(\begin{array}{l}{x_n} = \frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}\\ \Rightarrow {u_n} - 1 = {x_n}\left( {{u_n} + 3} \right)\\ \Leftrightarrow - 1 - 3{x_n} = {u_n}\left( {{x_n} - 1} \right)\\ \Rightarrow {u_n} = \frac{{ - 1 - 3{x_n}}}{{{x_n} - 1}} = \frac{{3{x_n} + 1}}{{1 - {x_n}}}\\ = \frac{{3.\left[ { - \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}} \right] + 1}}{{1 - \left[ { - \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}} \right]}}\\ = \frac{{ - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}{{1 + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}}}\end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\) LG a Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là cấp số nhân. Phương pháp giải: Xét tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và chứng minh \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = q\) không đổi. Lời giải chi tiết: Từ giả thiết có \({u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\) Lập tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}.\dfrac{{{u_n} + 3}}{{{u_n} - 1}}\) \( = \dfrac{{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}{\rm{ }}\left( 2 \right)\) Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1,}}\) thay vào (2) ta được \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\)\( = \dfrac{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}\) \( = \dfrac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = \dfrac{1}{5}.\) Vậy \({x_{n + 1}} = \dfrac{1}{5}{x_n},\) ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = \dfrac{1}{5}\) và \({x_1} = - \dfrac{1}{3}.\) LG b Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theon. Phương pháp giải: Từ đó suy ra công thức của số hạng tổng quát \({x_n}\) và suy ra \({u_n}\). Lời giải chi tiết: Ta có \({x_n} = - \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{n - 1}}.\) Lại có: \(\begin{array}{l}
|