Bài 52 trang 12 sbt hình học 12 nâng cao
Cho hình lăng trụ đứngABC.ABCmà đáy là tam giác vuông tạiBcóAB=a, BD=b, AA=c\(\left( {{c^2} \ge {a^2} + {b^2}} \right).\) Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi quaAvà vuông góc vớiCA.
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho hình lăng trụ đứngABC.ABCmà đáy là tam giác vuông tạiBcóAB=a, BD=b, AA=c\(\left( {{c^2} \ge {a^2} + {b^2}} \right).\) Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi quaAvà vuông góc vớiCA. LG a Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi \(mp\left( P \right).\) Lời giải chi tiết: Trong \(mp\left( {AA'C'C} \right)\), dựng đường thẳng quaAvuông góc vớiCA lần lượt cắtCA vàCC tạiIvàM. Vì \(AC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le c\) nên \(IC \le IA',\) do đóMphải thuộc đoạnCC. Bây giờ ta tìm giao điểmNvà \(\left( P \right)\) vàBB. Dễ thấy \(AN \bot BC,AN \bot CA'\) \( \Rightarrow AN \bot A'B.\) Vậy để tìmN, ta kẻ quaA(trong \(mp\left( {A'B'BA} \right)\)) đường thẳng vuông góc vớiABcắtBBtạiN. Vậy thiết diện là tam giácAMN. LG b Tính diện tích thiết diện nói trên. Lời giải chi tiết: Ta có : \({V_{A'.AMN}} = {V_{M.AA'N}} \) \(= {V_{M.AA'B}} = {V_{C.A'AB}} = {1 \over 6}abc\) (do \(NB//AA',MC// AA').\) Mặt khác : \({V_{A'.AMN}} = {1 \over 3}.{S_{AMN}}.A'I \) \(\Rightarrow {S_{AMN}} = {{3{V_{A'.AMN}}} \over {A'I}} = {{abc} \over {2A'I}}.\) Xét tam giác vuôngAACta có : \(A'I.A'C = AA{'^2} = {c^2} \) \(\Rightarrow A'I = {{{c^2}} \over {A'C}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\). Vậy \({S_{AMN}} = {{ab\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} } \over {2c}}.\) .com |