Toán lớp 6 được coi là kiến thức cơ bản nhất so với chương trình Toán trung học cơ sở. Trong đó, Ước và Bội là kiến thức các bạn được học trong chương đầu tiên của Toán lớp 6. Do đó, để bổ trợ cho các bạn trong quá trình học tập và ôn tập. Chúng tôi có tổng hợp một số kiến thức về Ước và Bội là gì? và một số bài tập vận dụng. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
Ước và Bội là gì?
Nếu số tự nhiên m chia hết cho số tự nhiên n thì gọi m là bội của n còn n được gọi là ước của m. Ví dụ: 16 chia hết cho 4, suy ra 16 là bội của 4 và 4 được gọi là ước của 16.
Trong đó, bội số m là một số khác không chia hết cho các số tự nhiên từ 1 đến m. Từ điều này, các bạn có thể vận dụng để giải được bài toán tìm ước và bội.
Cách tìm Ước chung lớn nhất và Bội chung lớn nhất
Để tìm ước chung lớn nhất, bài toán sẽ có ba bước giải:
- Bước 1: Phân tích mỗi số cần tìm ước chung ra thừa số nguyên tố.
- Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
- Bước 3: Lập tích các thừa số nguyên tố chung đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ước chung lớn nhất [UCLN] phải tìm.
Để tìm bội chung nhỏ nhất, bài toán sẽ ba bước giải tương tự với tìm ước chung lớn nhất:
- Bước 1: Phân tích mỗi số cần tìm bội chung ra thừa số nguyên tố.
- Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
- Bước 3: Lập tích các thừa số nguyên tố chung và riêng đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là bội chung nhỏ nhất [UCLN] phải tìm.
Để làm tốt dạng bài tập này, các bạn cần rèn luyện nhiều bài tập. Hãy tham khảo tài liệu bên dưới để có thêm nhiều bài tập rèn luyện về Ước và Bội.
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Có thể bạn quan tâm: Số nguyên tố cùng nhau là gì? Bài tập vận dụng
Sưu tầm: Thu Hoài
Các dạng toán về bội và ước của một số nguyên – Toán lớp 6
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Định nghĩa:
Số nguyên a là bội của số nguyên b [b ≠ 0 ] nếu có số nguyên q sao cho : a = bq.
Với a,b,q ∈ Z, b ≠ 0 :
a = bq ⇔ a chia hết cho b [a:b]
a = bq ⇔ a là bội của b.
a = bq ⇔ b là ước của a.
2. Tính chất:
a] Nếu a là bội của b và b là bội của c thì a là bội của c : a chia hết cho b và b chia hết cho c
=> a chia hết cho c
b] Nếu a là bội của b thì am cũng là bội của b [với mọi m ∈ Z]:
Với mọi m ∈ Z : a chia hết cho b => am chia hết cho b
c] Nếu a và b là bội của c thì tổng và hiệu của chúng cũng là bội của c :
a chia hết cho c và b chia hết cho c => [a + b] chia hết cho c và [a – b] chia hết cho c.
B. CÁC DẠNG TOÁN.
Dạng 1. TÌM CÁC BỘI CỦA MỘT SỐ NGUYÊN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
Dạng tổng quát bội của số nguyên a là am [m ∈ Z].
Ví dụ 1. [Bài 101 trang 97 SGK]
Tìm năm bội của : 3 ; – 3.
Giải
Cả 3 và -3 đều có chung các bội dạng 3.m [m ∈ Z ], nghĩa là :
0 ; – 3 ; 3 ; -6 ; 6 ; -9 ; 9 ;…
Chẳng hạn, năm bội của 3 và – 3 là : 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15.
Dạng 2. TÌM TẤT CẢ CÁC ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
– Nếu số nguyên đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ, ta có thể nhẩm xem nó chia hết cho những
số nào để tìm ước của nó nhưng cần nêu đủ các ước âm và ước dương.
– Nếu số nguyên đã cho có giá trị tuyệt đối lớn, ta thường phân tích số đó ra thừa số
nguyên tố rồi từ đó tìm tất cả các ước của số đã cho.
Ví dụ 2. [Bài 102 trang 97 SGK]
Tìm tất cả các ước của – 3 ; 6 ; 11 ; -1.
Giải
Kí hiệu Ư[a] là tập hợp các ước của số nguyên a, ta có :
Ư[-3] = {-1 ; 1 ; – 3 ; 3} hoặc viết gọn là : Ư[- 3] = {±1; ±3} ;
Ư[6] = {±1; ±2; ±3; ±6 } ; Ư[11] = {±1; ±11} ; Ư[-1] = {±1}.
Ví dụ 3. Tìm tất cả các ước của 36.
Giải
Phân tích 36 ra thừa số nguyên tố : 36 = 22.32 .
Để tìm tất cả các ước của 36 không bị sót, bị trùng, ta có thể làm như sau :
Ta viết :
2° 21 22 hay 1 2 4
3° 31 32 hay 1 3 9.
Các ước nguyên dương của 36 là :
1 2 4
1.3 2.3 4.3
1.9 2.9 4.9.
Tất cả có 9 ước nguyên dương là: 1 ; 2 ; 4 ; 3 ; 6 ; 12 ; 9 ; 18 ; 36.
Tập hợp tất cả các ước nguyên của 36 là :
Ư[36] = {±1; ± 2; ± 3; ± 4 ; ± 6; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36}.
Dạng 3. TÌM số CHƯA BIẾT X TRONG MỘT ĐẲNG THỨC DẠNG a.x = b
Phương pháp giải
Trong đẳng thức dạng a.x = b [a,b ∈ Z , a ≠ 0] ta tìm x như sau :
Tìm giá trị tuyệt đối của x : |x| = .
Xác định dấu của x theo quy tắc đặt dấu của phép nhân số nguyên.
Chẳng hạn : – 7.x = – 343. Ta có : |x| = 343 / 7 = 49
Vì tích – 343 là số âm nên x trái dấu với – 7. Vậy : x = 49.
Ví dụ 4. [Bài 104 trang 97 SGK]
Tìm x, biết:
a] 15x = – 75 ; b] 3|x| = 18 .
Đáp số
a] x = – 5 ; b] |x| = 6 => x = 6 hoặc x = – 6.
Dạng 4. TÌM SỐ BỊ CHIA, SỐ CHIA, THƯƠNG TRONG MỘT PHÉP CHIA
Phương pháp giải
Nếu a = bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a : b = q.
Nếu a = 0, b ≠ 0 thì a : b = 0.
Ví dụ 5. [Bài 105 trang 97 SGK]
Điền số vào ô trống cho đúng :
Giải
Dạng 5. CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT VỀ SỰ CHIA HẾT
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa a = b.q a chia hết cho b [a,b,q ∈ Z , b ≠ 0] ,và các tính chất giao
hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng nếu a chia hết cho b thì – a chia hết cho b và – b.
Giải
a chia hết cho b => a = b.q [q ∈ Z ] => -a = b.[-q] .Do -q ∈ Z nên -a chia hết cho b.
Ta cũng có : -a = -b.q nên -a chia hết cho -b.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m và n, nếu a và b chia hết cho c thì am + bn
chia hết cho c.
Giải
Ta có : a chia hết cho c => am chia hết cho c [với mọi m ∈ Z ] [1]
b chia hết cho c => bn chia hết cho c [với mọi n ∈ Z] [2]
Từ [1], [2] suy ra : [am + bn] chia hết cho c.
Dạng 6. TÌM số NGUYÊN X THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ CHIA HẾT
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất : Nếu a + b chia hết cho c và a chia hết cho c thì b chia hết cho c.
Ví dụ 8. Tìm x ∈ Z sao cho :
a] 3x + 2 chia hết cho x – 1 ;
b] x2 + 2x – 7 chia hết cho x + 2.
Giải
a] Ta có : 3x + 2 = 3x – 3 + 5 = 3[x -1] + 5.
3[x – 1] chia hết cho x – 1. Do đó 3x + 2 chia hết cho x – 1 khi 5 chia hết cho x -1, tức là x – 1 là
ước của 5. Ước của 5 gồm các số ±1, ± 5. Suy ra x ∈ {0 ; 2 ; – 4 ; 6}.
b] x2 + 2x – 7 = x[x + 2] – 7 . Ta tìm x để 7 chia hết cho x + 2.
Đáp số : x ∈ {-3 ; — 1 ; — 9 ; 5}.
Ví dụ 9. [Bài 103 trang 97 SGK]
Cho hai tập hợp số : A = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, B = {21 ; 22 ; 23}.
a] Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng [a + b] với a ∈ A, b ∈ B ?
b] Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia ết cho 2 ?
Giải
a] Ta lập bảng cộng sau :
Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng được tạo thành, trong đó có 7 tổng khác nhau : 23, 24, 25, 26,
27, 28, 29.
b] Có 7 tổng chia hết cho 2 là : 24 , 24 , 26 , 26 , 26 , 28 , 28.
[Có 3 tổng khác nhau chia hết cho 2 : 24 , 26 , 28].
Ví dụ 10. [Bài 106 trang 93 SGK]
Có hai số nguyên a, b khác nhau mà chia hết cho b và b chia hết cho a không ?
Giải
a chia hết cho b => a = bq1 [q1 ∈ Z , b ≠ 0] ; b chia hết cho a => b = aq2 [q2 ∈ Z , a ≠ 0]
Suy ra : a = bq1= [aq2]q1 = a[q2q1] => q2q1 = 1 ,
=> q2 = q1 = 1 hoặc q2 = q1 = -1.
Vì a ≠ b nên q2 = q1 = -1. Do đó : a = b [-1] = – b.
Vậy, mọi cặp số nguyên đối nhau và khác 0 đều có tính chất
a chia hết cho [-a] và [-a] chia hết cho a và chỉ những cặp sốđó.
Luyện tập về bội và ước của một số nguyên – Toán lớp 6