Bất phương trình có nghiệm thực khi nào

Câu hỏi: Lưu ý khi giải bất phương trình?

Trả lời:

- Lưu ý khi giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b >0 là dạng tổng quát để hướng dẫn học sinh giải toán. Đầu tiên, các em tìm ra nghiệm của bất phương trình, sau đó hướng dẫn các em biểu diễn trên trục số kết quả tìm được và đưa vào tập nghiệm của bất phương trình. Bất phương trình bậc nhất một ẩn khá dễ chinh phục, các gia sư cũng cần đưa ra những bài mẹo, những bài có kết quả vô nghiệm để kích thích tính tư duy sáng tạo trong toán học của các em. Lưu ý điều kiện trước khi giải bất kỳ bài toán nào nhé.

- Lưu ý khi giải bất phương trình tích

Bất phương trình dạng này khá phức tạp, tất nhiên trước tiên các em cần sử dụng các phép biến đổi để đưa các bất phương trình về dạng bất phương trình tích. Tìm tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất nhỏ trong tích, sau đó xét dấu bằng bảng biến thiên. Tìm nghiệm tùy vào dấu của bất phương trình, nếu bất phương trình là 0

+ Trường hợpa # 0

- Nếua> 0, tập nghiệm là:

- Nếua< 0, tập nghiệm là:

+ Trường hợpa= 0

- Nếub> 0, Phương trình vô số nghiệm.

- Nếub< 0, Phương trình vô nghiệm.

* Bất phương trình bậc 2một ẩn

Là bất phương trình dạng:a.x2+ b.x + c > 0 với a # 0

ĐặtΔ = b2− 4.a.c. Ta có các trường hợp sau:

+ Nếu Δ < 0:

- a < 0 thì BPT không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là:∅.

- a > 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: R.

+ Nếu Δ = 0:

- a < 0 thì BPT không nghiệm đúng với mọi giá trị thực củax. Tập nghiệm là:∅.

- a > 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi giá trị thực củax. Tập nghiệm là:

+ Nếu Δ > 0, gọix1, x2[x1< x2]là hai nghiệm củaphương trình bậc haia.x2+ b.x + c = 0với

+ Khi đó:

- Nếua> 0 thì tập nghiệmlà:[−∞; x1] ∪ [x2; +∞]

- Nếua< 0 thì tập nghiệmlà:[x1; x2]

*Bất phương trình logarit cơ bản

- Với cơ số a dương và khác 1, các bất phương trình có 1 trong các dạng sau gọi là bất phương trình logarit cơ bản:

- Với mỗi dạng bất phương trình trên, tùy thuộc vào cơ số cách giải có điểm khác nhau. Tuy nhiên các bạn có thể nhớ 1 điểm chung là giá trị củabiến x phải dươngđể logarit xác định. Đồng thời các bất phương trình cơ bản này đều có thể giải theo kiểumũ hóa 2 vế với cơ số a. Và khi mũ hóa như vậy thì a>1 bất phương trình sẽ không đổi chiều. Ngược lại với 00 \] với mọi \[ x\in \mathbb{R} \] khi và chỉ khi \[\begin{cases}
a>0\\ \Delta 0 \] với mọi \[ x\in \mathbb{R} \] tương đương với \[\begin{cases}
a\end{cases}\]

Bài toán 3. Cho \[ f[x]=ax^2 +bx+c \], tìm điều kiện của tham số \[m\] để \[ f[x] \ge 0\] với mọi \[ x \] thuộc \[ \mathbb{R} \].

Xét hai trường hợp :

• Khi \[ a=0 \], ta kiểm tra xem lúc đó \[ f[x] \] như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
• Khi \[ a\ne 0 \], thì \[ f[x]>0 \] với mọi \[ x\in \mathbb{R} \] tương đương với \[\begin{cases}a>0\\ \Delta \le 0

  \end{cases}\]

Bài toán 4. Cho hàm số \[ f[x]=ax^2 +bx+c \], tìm điều kiện của tham số \[m\] để \[ f[x] \le 0\] với mọi \[ x \] thuộc \[ \mathbb{R} \].

Để xử lý bài toán trên, tất cả chúng ta cần xét hai trường hợp :

• Khi \[ a=0 \], ta kiểm tra xem lúc đó \[ f[x] \] như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
• Khi \[ a\ne 0 \], thì \[ f[x]>0 \] với mọi \[ x\in \mathbb{R} \] tương đương với \[\begin{cases}
  a\end{cases}\]

Ví dụ 1. Tìm \[m\] để hàm số \[f[x]=3 x^{2}+ x+m+1>0\] với mọi \[x\in \mathbb{R}\].

Hướng dẫn. Hàm số \[f[x]=3 x^{2}+ x+m+1>0\] với mọi \[x\in \mathbb{R}\] khi và chỉ khi \[\begin{cases}
a=3>0\\ \Delta =-12m-110\] tương đương với \[ 3 x+2>0 \Leftrightarrow x>-\frac{2}{3} \] Rõ ràng tập nghiệm này không đáp ứng được mong muốn của đề bài [đề bài yêu cầu là \[f[x]>0\] với mọi \[ x\in R \]], do đó \[ m=1 \] không thỏa mãn yêu cầu.

Đây chính là 4 bài toán đã xét ở phần trước. Sau đây tất cả chúng ta sử dụng những tác dụng trên để xử lý một số ít bài tập .

Ví dụ 1.Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để bất phương trình \[ [m-1]{{{x}}^{2}}+2[m-1]x+1\ge 0 \] nghiệm đúng với \[ \forall x\in \mathbb{R} \].

Hướng dẫn. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \[x\in \mathbb{R}\] thì cũng chính là \[f[x]\ge 0,\, \forall x\in \mathbb{R},\] trong đó \[f[x]=[m-1]{{x}^{2}}+2[m-1]x+1\]. Do đó, chúng ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1. Khi \[m=1\], bất phương trình trở thành \[0x^2+0x+1\ge 0\] Rõ ràng bất phương trình này luôn đúng với mọi \[x\in \mathbb{R}\]. Nên giá trị \[m=1\] thỏa mãn yêu cầu.
• Trường hợp 2. Khi \[ m\ne 1 \], thì \[f[x]\] là tam thức bậc hai nên \[f[x] \ge 0,\, \forall x\in \mathbb{R}\] khi và chỉ khi\begin{align}&\begin{cases}m-1>0 \\{{[m-1]}^{2}}-[m-1]\le 0 \\\end{cases}\\\Leftrightarrow & \begin{cases}m>1 \\{{m}^{2}}-3m+2\le 0 \\\end{cases}\\\Leftrightarrow & \begin{cases}m>1 \\1\le m\le 2 \\

  \end{cases} \Leftrightarrow 1\end{align}

Kết luận. Kết hợp cả 2 trường hợp, chúng ta có đáp số \[ m\in \left[ 1;2 \right] \].

Ví dụ 2. Cho hàm số \[f[x]=[m-1]{{x}^{2}}+2mx-3\] trong đó \[m\] là tham số. Tìm tất cả giá trị của \[m\] để bất phương trình \[f[x]>0\] vô nghiệm.

Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:

• Khi \[ m=1 \], bất phương trình \[f[x]>0\] trở thành \[ 2x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{2}. \] Suy ra \[m=1\] không thỏa mãn yêu cầu.
• Khi \[ m\ne 1 \] thì \[f[x]\] là tam thức bậc hai. Yêu cầu bài toán tương đương với \[f[x]\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\]Điều kiện cần và đủ là \[ \left\{ \begin{align}
  & m-1& \Delta={{m}^{2}}+3[m-1]\le 0 \\
  \end{align} \right. \]Giải hệ bất phương trình trên, tìm được đáp số \[ m\in \left[ \frac{-3-\sqrt{21}}{2};\frac{-3+\sqrt{21}}{2} \right]. \]

Ví dụ 3. Cho \[f[x]=[m-2]{{x}^{2}}-2[2-m]x+2m-1\], với \[m\] là tham số.

1. Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để phương trình \[f[x]=0\] nhận \[ x=-2 \] làm nghiệm.
2. Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để hàm số \[ y=\sqrt{f[x]} \] được xác định với mọi giá trị của \[ x\in \mathbb{R} \].

Hướng dẫn.

1. Phương trình \[f[x]=0\] nhận \[x=-2\] làm nghiệm khi và chỉ khi \[f[-2]=0\]. Điều này tương đương với
\[ [m-2]{{[-2]}^{2}}-2[2-m][-2]+2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2} \] Vậy \[ m=\frac{1}{2} \] là giá trị cần tìm.

2. Hàm số \[ y=\sqrt{f[x]} \] được xác định với mọi giá trị của \[x\in \mathbb{R}\] khi và chỉ khi:\[f[x]\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow [m-2]{{x}^{2}}-2[2-m]x+2m-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\,\,\,\,[1] \] Chúng ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1: \[ m-2=0\Leftrightarrow m=2 \] thì [1] có dạng \[3\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\] [luôn đúng]
• Trường hợp 2: \[ m-2\ne 0\Leftrightarrow m\ne 2 \]. Lúc đó [1] xảy ra khi và chỉ khi: \begin{align}&\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\\Delta \le 0\\m 2 > 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\{[2 m]^2} [m 2][2m 1] \le 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\[2 m][m + 1] \le 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2

  \end{align}

Kết luận: Vậy các số thực \[ m\ge 2 \] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Bài giảng về bất phương trình bậc 2

Chi tiết về những dạng toán trên, mời những bạn xem trong video sau :

Source: //hoibuonchuyen.com
Category: Hỏi Đáp