Định lý Vi-et học sinh được học từ lớp 9, gồm có định lý thuận và định lý đảo. Định lý cho ta mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai và các hệ số của nó.
Định lý
Định lý Viet bậc 2
Trong đó:
- Với x là ẩn số; x1 x2 là nghiệm của phương trình
- a, b, c là các số đã biết sao cho a≠0; a, b, c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x
- a là hệ số bậc hai
- b là hệ số bậc một
- c là hằng số hay số hạng tự do
Phương pháp giải phương trình bậc 2
Giải phương trình bậc 2: ax²+bx+c=0 [a≠0] theo biệu thức delta [Δ]:
Đặt Δ=b²−4ac
- Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = −b / 2a
- Nếu Δ > 0 thì phương trình bậc 2 có hai nghiệm x1, x2
Nghiệm của phương trình bậc 2
Dấu nghiệm của phương trình bậc 2
Xác định dấu nghiệm của phương trình bậc 2
Một số đẳng thức cần lưu ý
Một số đẳng thức cần lưu ý
Các trường hợp nghiệm của phương trình bậc 2
Các trường hợp nghiệm của phương trình bậc 2
Các trường hợp đặc biệt
- a + b + c = 0 [với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0] thì nghiệm của phương trình là: x1 = 1; x2 = c / a
- a – b + c =0 [với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0] thì nghiệm phương trình là: x1 = −1; x2= −c / a
- Nếu ac < 0 [a, c trái dấu nhau] thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Ứng dụng định lý Viet bậc 2
Dạng 1: Biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm
Phân tích: Trong khi làm các bài tập dạng này, học sinh cần lưu ý sự tồn tại nghiệm của phương trình, sau đó biểu diễn các biểu thức qua x1 + x2 và x1.x2 để có thể sử dụng định lý Vi-et. Các hằng đẳng thức hay dùng là:
a² + b² = [a+b]² – 2ab
a³ + b³ = [a+b]³ -3ab[a+b]
Ví dụ 1:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 1
Ví dụ 2:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 2
Ví dụ 3:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 3
Ví dụ 4:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 4
Dạng 2: Giải hệ đối xứng kiểu 1
Phân tích:Hệ đối xứng hai ẩn kiểu 1 là hệ gồm hai phương trình, hai ẩn, trong đó nếu ta hoán đổi vai trò các ẩn trong từng phương trình thì mỗi phương trình đều không thay đổi. Để giải hệ đối xứng kiểu 1 bằng cách sử dụng định lý Vi-et, ta thường biểu diễn các phương trình qua tổng và tích của hai ẩn đó. Các hằng đẳng thức hay dùng là:
a² + b² = [a+b]² – 2ab
a³ + b³ = [a+b]³ -3ab[a+b]
[a²]² + [b²]² = [a²+b²]² – 2a²b²
Ví dụ 5
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 5
Ví dụ 6
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 6
Ví dụ 7
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 7
Ví dụ 8
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 8
Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức
Phân tích: Định lý Vi-et vẫn có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng thức. Tất nhiên ở đây ta hiểu là dùng nó để biến đổi trung gian.
Để có thể sử dụng định lý Vi-et, thông thường các dữ kiện của bài toán thường đưa về được
dưới dạng tổng và tích các ẩn. Quá trình chứng minh ta có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, bất đẳng thức cổ điển, các phép biến đổi tương đương…
Ví dụ 9:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 9
Ví dụ 10:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 10
Ví dụ 11:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 11
Ví dụ 12:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 12
Ví dụ 13:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 13
Dạng 4: Ứng dụng vào bài toán tính cực trị của hàm số
Phân tích: Đây là dạng bài tập phổ biến trong các đề thi Đại học, cao đẳng những năm gần đây. Điều quan trọng ở trong dạng bài tập này là học trò làm sao biểu diễn được tọa độ điểm cực trị một cách gọn gàng và nhanh chóng nhất. Để làm được điều đó, học sinh phải biết tọa độ các điểm cực trị nghiệm đúng phương trình nào?
Để tiện trong việc giải các bài tập về cực trị, ta cần lưu ý các kiến thức liên quan đến: Định lý Phec-ma
Dạng 5: Ứng dụng vào bài toán tiếp tuyến
Phân tích: Bài tập về tiếp tuyến thường liên quan tới các điều kiện tiếp xúc của đường cong và đường thẳng. Cần làm cho học sinh thấy rõ tọa độ điểm tiếp xúc thường là nghiệm của một phương trình nào đó mà ta có thể đưa về bậc hai để sử dụng định lý Vi-et. Các kỹ thuật về nhẩm nghiệm cần được sử dụng tốt ở dạng bài tập này.
Ví dụ 14:
Ứng dụng định lý Viet – ví dụ 14
Ví dụ 15:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 15
Ví dụ 16:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 16
Dạng 6: Tương giao của 2 đồ thị và tập hợp điểm.
Phân tích: Đây cũng là dạng bài tập hay gặp trong các kỳ thi tuyển sinh. Công việc đầu tiên học sinh cần làm là viết phương trình hoành độ giao điểm. Từ phương trình đó, sử dụng định lý Viet để biểu diễn các biểu thức đề bài yêu cầu qua hệ số của phương trình. Cuối cùng là đánh giá biểu thức đó thông qua các hệ số vừa thay vào.
Ví dụ 17:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 17
Ví dụ 18:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 18
Dạng 7: Ứng dụng của 1 hệ thức truy hồi
Hệ thức truy hồi
Việc ứng dụng hệ thức truy hồi trên giúp ta giải quyết được nhiều dạng bài tập thú vị. Ta hãy theo dõi qua các ví dụ sau!
Ví dụ 19:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 19
Ví dụ 20:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 20
Ví dụ 21:
Ứng dụng định lý Viet – ví dụ 21
Dạng 8: So sánh nghiệm của tam thức bậc 2 với 1 số
Phân tích: Từ năm học 2006-2007 trở đi , bài toán định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai và bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực bất kỳ không còn được trình bày trong chương trình chính khóa. Đây là ý tưởng giảm tải của Bộ giáo dục và đào tạo.
Tuy nhiên qua quá trình giảng dạy và cho học sinh làm bài tập, tôi thấy nhiều bài toán nếu biết sử dụng định lý đảo và bài toán so sánh nghiệm thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn nhiều. Định lý đảo về dấu được phát biểu như sau:
Định lý đảo về dấu
Ví dụ 22:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 22
Ví dụ 23:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 23
Định lý Viet bậc 3
Nếu phương trình bậc ba: ax³+bx²+cx+d=0 [a≠0] có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì:
Định lý Viet bậc 3
Trong đó:
- Với x là ẩn số; x1 x2 x3 là nghiệm của phương trình
- a, b, c, d là các số đã biết sao cho a≠0; a, b, c, d là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x
- a là hệ số bậc ba
- b là hệ số bậc hai
- c là hệ số bậc một
- d là hằng số hay số hạng tự do
Định lý Viet bậc 4
Nếu phương trình bậc ba: a[x²]²+bx²+cx+d=0 [a≠0] có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thì:
Định lý Viet bậc 4
Trong đó:
- Với x là ẩn số; x1 x2 x3 x4 là nghiệm của phương trình
- a, b, c, d, e là các số đã biết sao cho a≠0; a, b, c, d, e là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x
- a là hệ số bậc bốn
- b là hệ số bậc ba
- c là hệ số bậc hai
- d là hệ số bậc một
- e là hằng số hay số hạng tự do
Định lý Viet tổng quát
Định lý
Định lý Viet tổng quát
Ngược lại nếu có các số x1 ;x2 ;…xn thỏa mãn hệ [I] thì chúng là nghiệm của phương trình [1]
Ứng dụng
Ứng dụng giải hệ phương trình
Phân tích : Thông thường các hệ thường gặp ở dạng đối xứng. Khi đó ta tìm cách biểu diễn các phương trình trong hệ qua các biểu thức đối xứng sơ cấp đó là : x+y+z ; xy+yz+zx ; xyz [đối với hệ 3 ẩn]. Ta cần sử dụng các hằng đẳng đối xứng:
a² + b² = [a+b]² – 2ab
a³ + b³ = [a+b]³ -3ab[a+b]
để biến đổi hệ, sau đó sử dụng định lý Vi-et đảo để đưa về phương trình đa thức và giải phương trình đó. Cuối cùng nghiệm của hệ chính là các bộ số hoán vị các nghiệm.
Ví dụ 24:
Ứng dụng định lý Viet – ví dụ 24
Ví dụ 25:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 25
Ứng dụng tính các biểu thức lượng giác
Phân tích: Đây là dạng bài tập hay gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi tỉnh. Ở dạng bài tập này, học sinh cần chỉ ra được các số hạng trong biểu thức chính là nghiệm của phương trình đại số nào.
Sau khi chỉ ra được rồi, cần sử dụng định lý Viet để kết nối các mối quan hệ giữa các số hạng đó. Học sinh cần thuần thục trong các biểu diễn lượng giác, đặc biệt là các công thức về góc nhân.
Tìm hiểu thêm các công thức lượng giác tại đây: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC!
Ví dụ 26:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 26
Ví dụ 27:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 27
Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức
Phân tích: Khi cần chứng minh các bất đẳng thức giữa các hệ số của phương trình, ta cần biến đổi chúng về các tỉ số thích hợp, thông thường là bằng cách chia cho hệ số chứa xn để có thể sử dụng được định lý Vi-et. Việc chứng minh bất đẳng thức về hệ số chuyển sang chứng minh bất đẳng thức giữa các nghiệm.
Do định lý Viet phải biểu theo các biểu thức đối xứng, nên cuối cùng bất đẳng thức thu được cũng thường đối xứng. Đây là một điều thuận lợi, vì bất đẳng thức đối xứng thường dễ chứng minh hơn.
Ví dụ 28:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 28
Ví dụ 29:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 29
Ví dụ 30:
Ứng dụng định lý Vi-et – ví dụ 30
Bài viết có sử dụng nguồn: THPT Phan Bội Châu – Bình Dương
Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Talet!
Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Pytago!
Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý hàm Cosin!
Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Ceva!
Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Menelaus
Chuyên mục tham khảo: Toán học
Website liên kết: KHS247
Nếu các bạn có bất cứ thắc mắc hay cần tư vấn về thiết bị dịch vụ vui lòng comment phía dưới hoặc Liên hệ chúng tôi!
Chúng tôi luôn sẵn sàng đem lại những giá trị tốt đẹp cho cộng đồng!
Youtobe Facebook Twitter