Bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ trong chương trình lớp 10 các bạn sẽ gặp rất nhiều. Đặc biệt là các em lại mới tiếp xúc với kiến thức về vectơ nên sẽ gặp nhiều khó khăn. Vì vậy hôm nay thầy muốn gửi tới các em phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Trước thầy cũng có một bài giảng viết về chủ đề này rồi nhưng với tiêu đề là “Chứng minh hai vectơ cùng phương“. Bản chất nó vẫn giống với bài viết hôm nay nhưng thầy vẫn muốn viết thêm bài giảng này nữa. Các bạn có thể xem thêm bài giảng trên.
Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
Ba điểm A, B, C được gọi là thẳng hàng nêú chúng cùng nằm trên một đường thẳng hay có một đường thẳng đi qua 3 điểm này. Từ cơ sở này chúng ta sẽ đưa bài toán trên về việc chứng minh 2 vectơ cùng phương.
Với 3 điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng giả sử là d thì ta sẽ có được 3 đoạn thẳng là: AB, BC và AC. Từ đây ta sẽ xác định được các vectơ là: $\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{AC}, \vec{CA}, \vec{BC}, \vec{CB}$. Tất cả các vectơ trên đều cùng phương. Nếu bạn nào chưa rõ những khái niệm như: Hai vectơ cùng phương, hai vec tơ cùng hướng, hai vectơ bằng nhau thì hãy xem bài giảng này của thầy nhé: Các khái niệm cơ bản của vectơ cực dễ hiểu
Từ phân tích ở trên chúng ta sẽ đi tới một kết luận:
Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta sẽ đi chứng minh các vectơ cùng phương. Cụ thể là $\vec{AB}=k\vec{AC}$ hoặc $\vec{AB}=k\vec{BC}$ hoặc $\vec{AC}=k\vec{BC}$… Các bạn có thể chọn bất kì 2 cặp vectơ nào trong 6 vectơ thầy nêu ở trên để chứng minh.
Việc chứng minh vectơ nọ bằng k lần vectơ kia có thể chứng minh trực tiếp cũng có thể phải chứng minh gián tiếp. Tức là phải thông qua những vectơ trung gian nào đó.
Thầy muốn nói thêm 1 chút chỗ này nữa để nhiều bạn chưa rõ các xác định một điểm nằm ở đâu khi giả thiết cho 1 đẳng thức vectơ.
Nếu giả thiết cho $\vec{MB}=2\vec{MC}$ có nghĩa là đoạn MB=2MC và $\vec{MB}$ cùng hướng với $\vec{MC}$, tức là B và C nằm về 1 phía so với điểm M. Do đó trên cạnh BC các bạn kéo dài về phía C lấy điểm M sao cho MB=2MC.
Nếu giả thiết cho $\vec{NA}=-2\vec{NC}$ có nghĩa là đoạn NA=2NC và $\vec{NA}$ ngược hướng với $\vec{NC}$, tức là điểm N nằm giữa 2 điểm A và C. Do đó trên đoạn AC các bạn lấy điểm N sao cho NA=2NC.
Phương pháp như vậy là rõ ràng rồi phải không các bạn, giờ chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một vài ví dụ xem như thế nào nhé.
Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa các hệ thức: $\vec{MB}-2\vec{MC}=\vec{0}$ và $\vec{NA}+2\vec{NC}=\vec{0}$. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Như phân tích ở phần phương pháp thì với bài toán này để chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng các em cần chứng minh 2 cặp véctơ bất kì trong những vectơ sau cùng phương: $\vec{MN}, \vec{NM}, \vec{MP}, \vec{PM}, \vec{NP}, \vec{PN}$.
Ở đây thầy sẽ chọn ra 2 cặp vectơ và chứng minh chúng cùng phương theo 2 cách với mục đích giúp các e hiểu sâu hơn cách làm.
Cách thứ 1: Thầy sẽ đi chứng minh: $\vec{MN}=k\vec{MP}$
Cách thứ 2: Thầy sẽ đi chứng minh $\vec{PN}=k\vec{PM}$
Với cả 2 cách chứng minh này thầy sẽ đưa các vectơ trên về các vectơ trung gian khác là: $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA}$
Cách thứ 1: Biến đổi 2 vectơ $\vec{MN}, \vec{MP}$ theo 2 vectơ $\vec{CB}, \vec{CA}$
Xét:
$\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}=\vec{CB}+\frac{1}{3}\vec{CA}$
$\Rightarrow 3\vec{MN}=3\vec{CB}+\vec{CA}$ [1]
Xét:
$\vec{MP}=\vec{MB}+\vec{BP}=2\vec{CB}+\frac{1}{2}\vec{BA}$
$=2\vec{CB}+\frac{1}{2}[\vec{CA}-\vec{CB}]=2\vec{CB}+\frac{1}{2}\vec{CA}-\frac{1}{2}\vec{CB}$
$=\frac{3}{2}\vec{CB}+\frac{1}{2}\vec{CA}$
$\Rightarrow 2\vec{MP}=3\vec{CB}+\vec{CA}$ [2]
Từ [1] và [2] ta có: $3\vec{MN}=2\vec{MP} \Leftrightarrow \vec{MN}=\frac{2}{3}\vec{MP}$
Từ đây ta có: $ \vec{MN}$ cùng phương với $\vec{MP}$
Do đó 3 điểm M, N, P thẳng hàng [đpcm]
Cách 2: Biến đổi 2 vectơ $\vec{PN}, \vec{PM}$ theo 2 vectơ $\vec{AC}, \vec{AB}$
Xét:
$\vec{PN}=\vec{AN}-\vec{AP}=\frac{2}{3}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AB}$
$\Rightarrow 6\vec{PN}=4\vec{AC}-3\vec{AB}$ [3]
Xét:
$\vec{PM}=\vec{PB}+\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{AB}+2\vec{BC}$
$=\frac{1}{2}\vec{AB}+2[\vec{AC}-\vec{AB}]=\frac{1}{2}\vec{AB}+2\vec{AC}-2\vec{AB}$
$=2\vec{AC}-\frac{3}{2}\vec{AB}$
$\Rightarrow 2\vec{PM}=4\vec{AC}-3\vec{AB}$ [4]
Từ [3] và [4] ta có: $6\vec{PN}=2\vec{PM} \Leftrightarrow \vec{PN}=\frac{1}{3}\vec{PM}$
Từ đây ta có: $ \vec{PN}$ cùng phương với $\vec{PM}$
Do đó 3 điểm M, N, P thẳng hàng [đpcm]
Lời kết
Đọc tới đây rồi thì thầy hy vọng tất cả các bạn sẽ hiểu và làm được những bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng vectơ như thế này. Thầy đã cố gắng diễn đạt sao cho các bạn dễ hiểu và tiếp thu nhất nhưng chắc không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy thầy hy vọng nhận được những góp ý từ các bạn để thầy có thể hoàn thiện bài giảng hơn nữa. Nếu có phương pháp nào hay nữa xin hãy chia sẻ dưới khung bình luận của bài giảng này để chúng ta làm phong phú hơn hướng đi.
Các bạn có thể xem thêm bài giảng về chủ đề này trong link thầy đặt phía bên trên đầu bài viết nhé.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Ba điểm thẳng hàng. Trong không gian $Oxyz$, ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng nếu $ \overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ cùng phương.
Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$ chứng minh rằng ba điểm $A\left[ {1;3;1} \right],B\left[ {0;1;2} \right],C\left[ {3;7; - 1} \right]$ thẳng hàng.
Giải. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left[ { - 1; - 2;1} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ {2;4; - 2} \right] \Rightarrow \overrightarrow {AC} = - 2\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương. Suy ra $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
Bốn điểm đồng phẳng. Trong không gian $Oxyz$, bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng nếu ba vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ đồng phẳng.
Ví dụ 2. Chứng minh bốn điểm $A\left[ {1; - 1;1} \right],B\left[ {1;3;1} \right],C\left[ {4;3;2} \right],D\left[ {4;1;3} \right]$ không đồng phẳng.
Giải. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left[ {0;4;0} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ {3;4;1} \right],\overrightarrow {AD} = \left[ {3;2;2} \right].$ Giả sử $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng, khi đó $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ cũng đồng phẳng. Suy ra tồn tại hai số thực $x$ và $y$ sao cho
$$\overrightarrow {AB} = x\overrightarrow {AC} + y\overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \left[ {0;4;0} \right] = x\left[ {3;4;1} \right] + y\left[ {3;2;2} \right]$$
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x + 3y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\
4x + 2y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\\
x + 2y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right]
\end{array} \right.$$
Từ $\left[ 1 \right]\& \left[ 2 \right] \Rightarrow x = 2,y = - 2.$ Tuy nhiên hai giá trị này không thoả mãn $\left[ 3 \right]$ $ \Rightarrow $ hệ vô nghiệm.
Vậy $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng
[nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán]
Lý thuyết 3 điểm thẳng hàng
Tổng quát 3 điểm thẳng hàng
- Khi ba điểm cùng thuộc một đường thẳng, ta nói ba điểm thẳng hàng.
-Trong ba điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
Với 3 điểm thẳng hàng A,B,C ta có thể nói:
-Điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
-Hai điểm A và B nằm cùng phía đối với điểm C, hai điểm B và C nằm cùng phía đối với điểm A.
-Hai điểm A và C nằm khác phía đối với điểm B
Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Sử dụng tính chất góc bẹt
- Chứng minh ∠ABC = 180o
⇒ A,B,Cthẳng hàng
Sử dụng tiên đề Ơ-clit
- Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo thành từ ba điểm đã cho, cùng song song với một đường thẳng nào đó.
Chẳng hạn chứng minh:
AM ΙΙ xyvàBM ΙΙ xy ⇒ A,M,Bthẳng hàng
Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc
- Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo từ 3 điểm đã cho cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó.
Chẳng hạn chứng minh :
Sử dụng tính duy nhất của tia phân giác của một góc khác góc bẹt
- Chứng minh: Tia OA và OB cùng là tia phân giác của góc ∠xOy
⇒ O, A, Bthẳng hàng
Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
- Chứng minh H,I,K cùng thuộc đường trung trực của AB
⇒ H, I, Kthẳng hàng
Sử dụng tính chất các đường đồng quy của tam giác
- Chứng minh :
+ I là trọng tâm củaΔABC
+ AD là trung tuyến củaΔABC
⇒ A, I, Dthẳng hàng
Sử dụng phương pháp vecto
Muốn chứng minh ba điểmA,B,Cthẳng hàng bằng vectơ, chúng ta có hai cách sau:
Ứng dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Bài toán 1:Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ sốAE/AC = ⅔. Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Giải
Từ đây ta có:
Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Bài toán 2: ChoΔABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm củaΔABC. CMR O, G, H thẳng hàng.
Giải
Ta có:
Gọi E là trung điểm BC vàA1là điểm đối xứng với A qua O, ta được:
Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Ví dụ 1:Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.
Cách giải:
Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Ví dụ 1:Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.
Cách giải:
XétΔABDvàΔMCD, ta có:
∠B = ∠C
AB = CM [gt]
BD = DC [D là trung điểm của BC]
ΔABD=ΔMCD[2 cạnh góc vuông]
⇒A,D,M thẳng hàng [góc bẹt]
Ví dụ 2:Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M,N thỏa mãn các hệ thức:
Chứng minh rằng 3 điểm M,N,P thẳng hàng.
Cách giải: