- LG a
- LG b
Giải các hệ phương trình sau
LG a
\[\left\{ \matrix{ {4^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {\left[ {xy} \right]^{{{\log }_3}2}} \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 3x - 3y = 12 \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
\[\left[ {x;y} \right]\] là \[\left[ {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right],\left[ {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right]\]
ĐKXĐ: \[xy > 0\]
Áp dụng công thức \[{a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}\] , phương trình đầu của hệ có thể viết thành
\[{\left[ {{2^2}} \right]^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {2^{{{\log }_3}xy}}\]
Đặt \[t = {2^{{{\log }_3}xy}}\left[ {t > 0} \right]\] ta có \[{t^2} = 2 + t\]. Giải phương trình ta tìm được \[t = - 1\] [loại] và \[t = 2\]. Từ đó \[{\log _3}xy = 1\] hay \[xy = 3\]
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ thành
\[{\left[ {x + y} \right]^2} - 3\left[ {x + y} \right] - 18 = 0\]
Giải ra, ta được \[x + y = 6\] và \[x + y = - 3\]
Như vậy, ta có hai hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{ x + y = 6 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr} \right.\] và \[\left\{ \matrix{ x + y = - 3 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr} \right.\]
Vậy\[\left[ {x;y} \right]\] là \[\left[ {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right],\left[ {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right]\]
LG b
\[\left\{ \matrix{ y = 1 + {\log _2}x \hfill \cr{x^y} = 64 \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Thếytừ phương trình đầu vào phương trình thứ hai rồi lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế.
\[\eqalign{
& \left[ {1 + {{\log }_2}x} \right]{\log _2}x = 6\cr
& \Leftrightarrow \log _2^2x + {\log _2}x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 2 \hfill \cr
{\log _2}x = - 3 \hfill \cr} \right. \cr
&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 4 \Rightarrow y = 3 \hfill \cr
x = {1 \over 8} \Rightarrow y = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy nghiệm của hệ là:\[\left[ {4;3} \right],\left[ {{1 \over 8}; - 2} \right]\]