Đề bài - bài 11 trang 48 tài liệu dạy – học toán 8 tập 1
|
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1 \cr & = \left( {{n^4} + 2{n^2} + 1} \right) + \left( {2{n^3} + 2n} \right) \cr & = {\left( {{n^2} + 1} \right)^2} + 2n\left( {{n^2} + 1} \right) \cr & < {\left( {{n^2} + 1} \right)^2} + 2n\left( {{n^2} + 1} \right) + 1 \cr & = {\left( {{n^2} + 1 + n} \right)^2} = {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} \cr} \) Đề bài Chứng minh rằng với mọi \(n \in N*\) thì \(A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1\) không phải là số chính phương. Lời giải chi tiết Với mọi \(n \in {N^*}\) ta có: \({n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1 > {n^4} + 2{n^3} + {n^2} = {\left( {{n^2} + n} \right)^2}\) Và \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1 \cr & = \left( {{n^4} + 2{n^2} + 1} \right) + \left( {2{n^3} + 2n} \right) \cr & = {\left( {{n^2} + 1} \right)^2} + 2n\left( {{n^2} + 1} \right) \cr & < {\left( {{n^2} + 1} \right)^2} + 2n\left( {{n^2} + 1} \right) + 1 \cr & = {\left( {{n^2} + 1 + n} \right)^2} = {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} \cr} \) Do đó \({\left( {{n^2} + n} \right)^2} < A < {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2}\) Mà \({\left( {{n^2} + n} \right)^2}\) và \({\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2}\) là hai số chính phương liên tiếp. Nên A không phải là số chính phương.
|
