Đề bài
Cho tứ giác \[ABCD\]. Gọi \[M, N\] lần lượt là trung điểm của \[AC\] và \[BD\]. Chứng minh rằng:
\[A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2}\]\[ = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng công thức trung tuyến trong các tam giác:
+ BMD để tính MN.
+ BAC để tính BM.
+ DAC để tính DM.
- Từ đó biến đổi suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Áp dụng công thức tính trung tuyến, \[MN\] là trung tuyến của tam giác \[BMD\], ta có
\[M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\]
\[\Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2[B{M^2} + D{M^2}] - B{D^2}\]
Mà \[BM, DM\] lần lượt là trung tuyến của tam giác \[ABC, ADC\] nên
Cách khác:
* Áp dụng công thức trung tuyến của tam giác ta có:
\[\begin{array}{l}m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} = m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{2}\,\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
* Áp dụng công thức [*]
Trong tam giác ABD ta có :
AB2+ AD2= 2AN2+ BD2/2 [1]
Trong tam giác CBD ta có :
CD2+ CB2= 2CN2+ BD2/2 [2]
Cộng vế với vế của [1] và [2] ta có :
AB2+ BC2+ CD2+ DA2
= 2[AN2+ CN2] + BD2[3]
Xét tam giác CAN ta có :
AN2+ CN2= 2MN2+ AC2/2 [4] [vì M là trung điểm AC]
Thay [4] vào [3] ta được :
AB2+ BC2+ CD2+ DA2
= 2[2MN2+ AC2/2] + BD2
= AC2+ BD2+ 4MN2