Đề bài
Cho mặt phẳng [P] và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài [P]. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mp [P] thì các giao điểm đó thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của AB, AC, BC với mp[P]. A, B, C không thẳng hàng nên có mp[ABC].
Ta có:
\[\begin{array}{l}
I = AB \cap \left[ P \right]\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in AB \subset \left[ {ABC} \right]\\
I \in \left[ P \right]
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I \in \left[ {ABC} \right] \cap \left[ P \right]\,\,\,\left[ 1 \right]\\
J = AC \cap \left[ P \right]\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
J \in AC \subset \left[ {ABC} \right]\\
J \in \left[ P \right]
\end{array} \right.\\
\Rightarrow J \in \left[ {ABC} \right] \cap \left[ P \right]\,\,\,\left[ 2 \right]
\end{array}\]
Từ [1] và [2]\[\Rightarrow \left[ {ABC} \right] \cap \left[ P \right] = IJ\]
Lại có,
\[\begin{array}{l}
K = BC \cap \left[ P \right]\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
K \in BC \subset \left[ {ABC} \right]\\
K \in \left[ P \right]
\end{array} \right.\\
\Rightarrow K \in \left[ {ABC} \right] \cap \left[ P \right] = IJ
\end{array}\]
Vậy I, J, K thẳng hàng.