Đề bài
Chứng minh rằng:
a] \[{a^3} + {b^3} = {\left[ {a + b} \right]^3} - 3ab\left[ {a + b} \right]\]
b] \[{a^3} - {b^3} = {\left[ {a - b} \right]^3} + 3ab\left[ {a - b} \right]\]
Áp dụng: Tính \[{a^3} + {b^3}\], biết \[a . b = 6\] và \[a + b = -5.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Biến đổi vế phải của đẳng thức về vế trái đẳng thức.
- Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ: lập phương của một tổng hoặc một hiệu, tổng [hiệu] hai lập phương, nhân đơn thức với đa thức.
Lời giải chi tiết
a]\[{a^3} + {b^3} = {\left[ {a + b} \right]^3} - 3ab\left[ {a + b} \right]\]
Biến đổi vế phải:
\[\eqalign{
& {\left[ {a + b} \right]^3} - 3ab\left[ {a + b} \right] \cr
& = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} + \left[ { - 3ab} \right].a + \left[ { - 3ab} \right].b \cr
& = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} \cr
& = {a^3} + \left[ {3{a^2}b - 3{a^2}b} \right] + \left[ {3a{b^2} - 3a{b^2}} \right] + {b^3} \cr
& = {a^3} + {b^3} \cr} \]
Vậy\[{a^3} + {b^3} = {\left[ {a + b} \right]^3} - 3ab\left[ {a + b} \right]\]
b]\[{a^3} - {b^3} = {\left[ {a - b} \right]^3} + 3ab\left[ {a - b} \right]\]
Biến đổi vế phải:
\[\eqalign{
& {\left[ {a - b} \right]^3} + 3ab\left[ {a - b} \right] \cr
& = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} + 3ab.a + 3ab.\left[ { - b} \right] \cr
& = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} + 3{a^2}b - 3a{b^2} \cr
& = {a^3} + \left[ {3{a^2}b - 3{a^2}b} \right] + \left[ {3a{b^2} - 3a{b^2}} \right] - {b^3} \cr
& = {a^3} - {b^3} \cr} \]
Vậy\[{a^3} - {b^3} = {\left[ {a - b} \right]^3} + 3ab\left[ {a - b} \right]\]
Áp dụng:
Với \[ab = 6, a + b = -5\], ta được:
\[\eqalign{
& {a^3} + {b^3} = {\left[ {a + b} \right]^3} - 3ab\left[ {a + b} \right] \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left[ { - 5} \right]^3} - 3.6.\left[ { - 5} \right] \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 125 + 90 = - 35 \cr} \]